پاسخ مستقیم این است: ظرفیت گرمایی C به کل جسم وابسته است، اما گرمای ویژه c ویژگی ماده است. در بازهای که حالت ماده عوض نمیشود، Q = CΔT = mcΔT و در نتیجه C = mc. روی نمودار انرژی گرمایی Q برحسب دما T، شیب برابر C است؛ پس اگر جرم معلوم باشد، با تقسیم شیب بر جرم به c میرسی. روی نمودار دما برحسب انرژی، شیب برعکس و برابر 1/C است. تشخیص درست محورهای نمودار مهمترین قدم حل است.
ظرفیت گرمایی با گرمای ویژه چه تفاوتی دارد؟
ظرفیت گرمایی C نشان میدهد برای افزایش دمای یک جسم به اندازه یک درجه، چه مقدار انرژی لازم است. چون یک جسم بزرگتر از همان جنس ماده بیشتری دارد، ظرفیت گرمایی آن بیشتر است. یکای C در SI برابر J/K است؛ برای اختلاف دما میتوان J/°C نیز نوشت، زیرا اندازه یک درجه تغییر دما در مقیاس کلوین و سلسیوس یکسان است.
گرمای ویژه c ظرفیت گرمایی یک کیلوگرم از ماده است و به مقدار ماده وابسته نیست. یکای آن J/(kg·K) است. رابطه C = mc این دو را وصل میکند. بنابراین دو قطعه همجنس گرمای ویژه یکسان دارند، اما قطعه پرجرمتر ظرفیت گرمایی بیشتری دارد و برای تغییر دمای برابر، انرژی بیشتری میخواهد.
- C: ویژگی کل جسم و وابسته به جرم
- c: ویژگی ماده در یک حالت مشخص
- رابطه اتصال: C = mc
- تغییر دما: ΔT = T_f − T_i
مسئلههای ظرفیت گرمایی را در پنج گام حل کن
یک: مشخص کن سؤال درباره کل جسم است یا جنس ماده؛ این انتخاب C یا c را تعیین میکند. دو: جرم را در صورت نیاز به کیلوگرم تبدیل کن. سه: تغییر دما را با ΔT = T_f − T_i و همراه علامت بساز. چهار: از Q = CΔT یا Q = mcΔT استفاده کن. پنج: علامت و یکا را کنترل کن؛ در قرارداد رایج، گرمادهی به جسم Q مثبت و سردشدن آن Q منفی است.
اگر سؤال فقط اندازه انرژی مبادلهشده را میخواهد، معمولاً قدرمطلق Q گزارش میشود. اما در تعادل گرمایی باید علامت حفظ شود: مجموع گرمای گرفتهشده و ازدسترفته در دستگاه منزوی صفر است. در آن مسئلهها ظرفیت گرمایی هر جزء اجازه میدهد بنویسی Q = C(T_f − T_i).
شیب نمودار انرژی–دما را درست بخوان
اگر محور عمودی Q و محور افقی T باشد، از Q = CΔT نتیجه میشود شیب خط ΔQ/ΔT برابر C است. خط پرشیبتر در این نمودار به جسمی با ظرفیت گرمایی بیشتر تعلق دارد. اگر دو نمونه همجرم باشند، خط پرشیبتر گرمای ویژه بیشتری نیز دارد؛ بدون دانستن جرم، مقایسه c ممکن نیست.
اگر محورها جابهجا شوند و T روی محور عمودی و Q روی محور افقی باشد، شیب ΔT/ΔQ برابر 1/C است. اینبار خط پرشیبتر ظرفیت گرمایی کمتری دارد. نام محورها را پیش از هر قاعده حفظی بخوان؛ بسیاری از خطاها از یکیگرفتن این دو نمودار میآیند.
- Q عمودی و T افقی: شیب = C
- T عمودی و Q افقی: شیب = 1/C
- برای یافتن c: ظرفیت گرمایی را بر جرم تقسیم کن.
مثال حلشده: یافتن گرمای ویژه از نمودار Q–T
برای گرمکردن نمونهای 400 گرمی، انرژی دریافتی آن از 0 به 6 kJ میرسد و دما از 20°C به 50°C افزایش مییابد. ظرفیت گرمایی و گرمای ویژه نمونه را پیدا کن. فرض میکنیم تغییر حالت و اتلاف گرما نداریم.
از دو نقطه نمودار داریم ΔQ = 6000 J و ΔT = 30°C. پس C = ΔQ/ΔT = 6000/30 = 200 J/K. جرم باید به کیلوگرم تبدیل شود: m = 0.400 kg. اکنون c = C/m = 200/0.400 = 500 J/(kg·K).
کنترل جواب: اگر همین نمونه 10 درجه گرم شود، باید Q = CΔT = 200×10 = 2000 J انرژی بگیرد. همچنین حاصل mc برابر 0.400×500 = 200 J/K است و با ظرفیت گرمایی بهدستآمده سازگار میماند.
از نمودار دما–زمان و توان گرمکن چه اطلاعاتی میگیریم؟
اگر گرمکن با توان ثابت P کار کند و همه انرژی آن به جسم برسد، Q = Pt است. ترکیب این رابطه با Q = CΔT میدهد ΔT = (P/C)t؛ بنابراین روی نمودار T–t، شیب برابر P/C است. با توان یکسان، جسمی که نمودارش کمشیبتر است ظرفیت گرمایی بیشتری دارد.
برای نمونه، گرمکن 100 W دمای جسمی را در 50 s به اندازه 10 K بالا میبرد. انرژی ورودی 5000 J و ظرفیت گرمایی C = Q/ΔT = 500 J/K است. همین نتیجه از C = P/(ΔT/Δt) نیز به دست میآید. اگر بخشی از توان تلف شود، نمیتوان کل Pt را انرژی دریافتی جسم گرفت مگر بازده یا آهنگ اتلاف داده شده باشد.
چرا رابطه Q = mcΔT هنگام تغییر حالت کافی نیست؟
در ذوب یا جوش، ممکن است ماده انرژی بگیرد ولی دمایش در طول تغییر حالت ثابت بماند. در این بخش ΔT = 0 است، اما Q صفر نیست؛ انرژی صرف تغییر حالت میشود. پس شیبگیری برای ظرفیت گرمایی را فقط روی قسمتهای مایل نمودار گرمکردن انجام بده، نه روی سکوی تغییر حالت.
اگر مسیر شامل چند بازه باشد، انرژی هر بخش را جدا حساب کن: برای گرمشدن در یک فاز از mcΔT و برای تغییر حالت از گرمای نهان استفاده میشود. سپس انرژی بخشها را جمع میکنی. راهنمای نمودار گرمکردن و تغییر حالت، این مسیر چندبخشی را با جزئیات بیشتری توضیح میدهد.
چهار دام رایج را پیش از انتخاب گزینه بررسی کن
دام اول، یکیگرفتن C و c و فراموشکردن جرم است. دام دوم، استفاده از جرم برحسب گرم در رابطهای است که c با واحد J/(kg·K) داده شده. دام سوم، خواندن شیب بدون توجه به جای محورهای Q و T است. دام چهارم، بهکاربردن Q = mcΔT روی بخش افقی تغییر حالت.
یک کنترل ابعادی سریع انجام بده: Q/ΔT باید J/K و Q/(mΔT) باید J/(kg·K) شود. سپس از رفتار فیزیکی کمک بگیر؛ در توان و زمان برابر، جسم با C بیشتر تغییر دمای کمتری دارد. اگر نتیجه محاسبه خلاف این روند است، احتمالاً شیب، جرم یا ترتیب محورها را نادرست وارد کردهای.
ظرفیت گرمایی را برای یک جسم و گرمای ویژه را برای جنس ماده به کار ببر: C = Q/ΔT و c = Q/(mΔT)، بنابراین C = mc. در نمودار Q–T شیب C و در نمودار T–Q شیب 1/C است. در گرمکردن با توان ثابت نیز شیب T–t برابر P/C میشود. این رابطهها فقط در بخشی معتبرند که تغییر حالت رخ ندهد و اتلاف گرما ناچیز یا در صورت سؤال لحاظ شده باشد. پیش از محاسبه، ترتیب محورها، جرم و یکاها را کنترل کن.