برای پیدا کردن دمای تعادل، سامانه را مشخص کن و بنویس مجموع گرمای مبادلهشده اجزای آن صفر است: ΣQ = 0. اگر ماده فقط تغییر دما بدهد، Q = mc(Tf − Ti) است؛ بنابراین جسم گرم Q منفی و جسم سرد Q مثبت دارد. دمای نهایی Tf تنها وقتی مستقیماً از این رابطه به دست میآید که تغییر حالت رخ ندهد و تبادل گرما با محیط ناچیز باشد. اگر گرماسنج نیز گرم یا سرد شود، گرمای آن را با Ccal(Tf − Ti) به معادله اضافه کن. این چارچوب، مسئله را از حفظکردن رابطههای جداگانه به یک موازنه روشن انرژی تبدیل میکند.
تعادل گرمایی و معادله اصلی گرماسنجی
وقتی چند جسم با دماهای متفاوت امکان تبادل گرما دارند، انرژی از بخش گرمتر به بخش سردتر منتقل میشود تا در مدل مسئله به یک دمای مشترک برسند. این دمای مشترک را دمای تعادل مینامیم. برابرشدن دما به معنی برابرشدن گرمای ویژه، جرم یا انرژی درونی اجزا نیست.
اگر سامانه از محیط گرما نگیرد و به آن گرما ندهد، گرمای ازدسترفته یک جزء به اجزای دیگر میرسد. با قرارداد علامت Q = mc(Tf − Ti)، این اصل به صورت ΣQ = 0 نوشته میشود. بهکاربردن همین قرارداد برای همه اجزا، نیاز به حفظ عبارت جداگانه «گرمای گرفتهشده برابر گرمای ازدسترفته» را از بین میبرد.
- برای گرمشدن Tf > Ti و در نتیجه Q > 0 است.
- برای سردشدن Tf < Ti و در نتیجه Q < 0 است.
- گرمای ویژه c واحد J/(kg·K) و ظرفیت گرمایی C واحد J/K دارد.
مسیر ششمرحلهای حل مسائل دمای تعادل
اول مرز سامانه را مشخص کن: آب، جسم جامد، ظرف و هر جزء دیگری که تبادل گرما دارد. دوم، جرم، دمای آغازین و گرمای ویژه هر جزء را در یک جدول کوچک بنویس. سوم بررسی کن آیا در بازه دمایی محتمل، ذوب، انجماد یا جوش رخ میدهد یا نه.
چهارم یک نماد مشترک Tf برای دمای تعادل قرار بده. پنجم Q هر جزء را با همان قرارداد علامت بنویس و مجموع را صفر قرار بده. ششم پاسخ را کنترل کن: در یک اختلاط بدون تغییر حالت و اتلاف، Tf باید میان کمترین و بیشترین دمای آغازین باشد. بیرونافتادن از این بازه معمولاً از خطای علامت، واحد یا فرض حکایت دارد.
- جرمها را همگی برحسب kg یا همگی برحسب g نگه دار، به شرط آنکه واحد c با آن سازگار باشد.
- اختلاف دما برحسب کلوین و درجه سلسیوس مقدار عددی یکسان دارد.
- پیش از حل جبری، جهت انتقال گرما را بهصورت کیفی تعیین کن.
مثال حلشده: اختلاط دو مقدار آب
۲۰۰ گرم آب با دمای ۸۰ درجه سلسیوس را با ۳۰۰ گرم آب با دمای ۲۰ درجه سلسیوس مخلوط میکنیم. اتلاف گرما و ظرفیت گرمایی ظرف ناچیز است. چون هر دو جزء آباند، گرمای ویژه مشترک در معادله حذف میشود: 0.2c(Tf − 80) + 0.3c(Tf − 20) = 0.
پس 0.5Tf − 22 = 0 و Tf = 44 °C به دست میآید. جواب بین ۲۰ و ۸۰ درجه است و به ۲۰ درجه نزدیکتر است، چون جرم آب سرد بیشتر بوده است. میانگین ساده ۵۰ درجه درست نیست؛ دمای تعادل در این حالت میانگین وزنی دماها با وزن جرمهاست.
مثال حلشده: یافتن گرمای ویژه یک جسم جامد
یک قطعه فلزی ۱۰۰ گرمی با دمای ۱۰۰ °C درون ۲۰۰ گرم آب ۲۰ °C انداخته میشود و دمای تعادل ۲۴ °C است. ظرفیت گرمایی ظرف و اتلاف را ناچیز و گرمای ویژه آب را 4200 J/(kg·K) میگیریم. برای فلز و آب مینویسیم: 0.1cₘ(24 − 100) + 0.2(4200)(24 − 20) = 0.
گرمای آب 3360 J و گرمای فلز −7.6cₘ است. از −7.6cₘ + 3360 = 0، گرمای ویژه فلز تقریباً 442 J/(kg·K) به دست میآید. علامت منفی جمله فلز نشاندهنده ازدستدادن گرماست؛ خود گرمای ویژه باید مثبت گزارش شود.
ظرف گرماسنج را چه زمانی وارد معادله کنیم؟
اگر ظرفیت گرمایی گرماسنج ناچیز اعلام نشده باشد، خود ظرف نیز بخشی از تبادل گرماست. اگر ظرفیت گرمایی آن Ccal و دمای آغازینش Tcal باشد، جمله Qcal = Ccal(Tf − Tcal) را به مجموع اضافه کن. اگر گرماسنج پیش از آزمایش با آب سرد در تعادل بوده باشد، Tcal همان دمای آغازین آب است.
گاهی بهجای ظرفیت گرمایی ظرف، جرم و گرمای ویژه آن داده میشود؛ در این صورت از mcal ccal ΔT استفاده کن. «معادل آبی گرماسنج» نیز جرمی از آب است که ظرفیت گرماییاش با ظرف برابر است، یعنی Ccal = mw cw. این سه نمایش را همزمان وارد نکن، زیرا یک اثر را دوبار میشماری.
اگر تغییر حالت ممکن باشد، حل را مرحلهبندی کن
رابطه mcΔT فقط برای بخشی از فرایند است که ماده در یک حالت و بدون تغییر فاز گرم یا سرد میشود. اگر یخ، بخار یا مادهای نزدیک نقطه تغییر حالت در مسئله باشد، ابتدا انرژی لازم برای رسیدن به دمای تغییر حالت را حساب کن و با گرمای در دسترس مقایسه کن. برای بخش تغییر حالت از Q = mL استفاده میشود.
دمای نهایی را پیشاپیش از یک معادله کلی فرض نکن. ممکن است فقط بخشی از یخ ذوب شود و دمای تعادل روی دمای ذوب بماند، یا همه یخ ذوب شود و آب حاصل سپس گرم شود. راهنمای نمودار گرمکردن و تغییر حالت، ترتیب این مرحلهها و تشخیص ناحیههای mcΔT و mL را تکمیل میکند.
اتلاف گرما، واحدها و خطاهای رایج
اگر صورت سؤال تبادل با محیط را ناچیز بداند، ΣQ اجزای انتخابشده صفر است. در آزمایش واقعی یا مسئلهای که اتلاف را مطرح میکند، محیط نیز انرژی میگیرد یا میدهد و باید جمله مربوط به آن یا مقدار اتلاف در موازنه بیاید. نادیدهگرفتن اتلاف بدون اجازه صورت سؤال میتواند نتیجه دمایی را تغییر دهد.
رایجترین خطاها استفاده از ΔT با علامتهای متفاوت، حذف ظرفیت گرمایی ظرف بدون مجوز، مخلوطکردن گرم و کیلوگرم با واحد ناسازگار گرمای ویژه و عبور بیبررسی از دمای تغییر حالتاند. راهنمای تحلیل ابعادی برای کنترل J = kg×J/(kg·K)×K و مقاله پایستگی انرژی برای درک ساختار موازنه، پیوندهای مفید بعدی هستند.
- برای همه اجزا ΔT را به شکل Tf − Ti بنویس.
- دمای تعادل را با بازه دماهای آغازین و جهت انتقال گرما بسنج.
- پیش از استفاده از mcΔT، نبود تغییر حالت را بررسی کن.
- ظرف، همزن یا محیط را فقط مطابق اطلاعات و فرضهای مسئله وارد سامانه کن.
در مسائل گرماسنجی، مرز سامانه و دمای آغازین هر جزء را پیش از محاسبه بنویس. برای اجزایی که فقط تغییر دما دارند از Q = mcΔT و برای گرماسنج از Q = CcalΔT استفاده کن، سپس ΣQ = 0 را ببند. دمای تعادل باید در بازهای باشد که با جهت انتقال گرما و نبود تغییر حالت سازگار است. اگر پاسخ از یک نقطه تغییر حالت عبور کرد، حل را مرحلهبندی کن؛ اگر اتلاف مطرح بود، محیط را نیز جزئی از موازنه بدان. این چند کنترل، بیشتر خطاهای علامت، واحد و فرض مسئله را آشکار میکند.