برای هر فوتون یا ذره مادی، ارتباط موج و تکانه به صورت λ = h/p نوشته میشود. تفاوت در روش یافتن تکانه است: برای فوتون p = E/c = h/λ و برای ذره غیرنسبیتی p = mv است. اگر ذره باردار از سکون با اختلاف پتانسیل V شتاب بگیرد، ابتدا qV = p²/(2m) و سپس λ = h/√(2m|q|V) را به کار ببر. پس کلید حل این است که پیش از جایگذاری مشخص کنی با فوتون روبهرو هستی یا ذره مادی و داده مسئله انرژی، سرعت یا ولتاژ است.
فوتون را از ذره مادی جدا تحلیل کن
فوتون جرم سکون ندارد و نباید برای آن p = mv نوشت. با E = hf و c = fλ میتوان تکانه فوتون را به سه شکل همارز p = E/c = hf/c = h/λ نوشت. اگر انرژی فوتون داده شده باشد، p = E/c کوتاهترین مسیر است؛ اگر طول موج داده شده باشد، مستقیماً p = h/λ را به کار ببر.
برای ذره مادی در سرعتهای بسیار کمتر از سرعت نور، تکانه p = mv و انرژی جنبشی K = p²/(2m) است. در نتیجه λ = h/(mv) یا λ = h/√(2mK) به دست میآید. انتخاب میان این دو فقط به داده سؤال بستگی دارد؛ هر دو از یک تکانه غیرنسبیتی ساخته شدهاند.
مسیر حل را از داده مسئله انتخاب کن
ابتدا نوع موضوع را مشخص کن. برای فوتون، دادههای انرژی، بسامد و طول موج با E = hf و c = fλ به هم وصلاند. برای ذره مادی، اگر سرعت داری از p = mv استفاده کن؛ اگر انرژی جنبشی داری p = √(2mK) مناسب است؛ و اگر ذره باردار از سکون در اختلاف پتانسیل شتاب گرفته، K = |q|V را بنویس.
سپس λ = h/p را در آخر مسیر قرار بده. این ترتیب از آمیختن انرژی فوتون hf با انرژی جنبشی ذره جلوگیری میکند. پیش از محاسبه نیز ژول، کیلوگرم، متر و ثانیه را یکدست کن؛ الکترونولت واحد انرژی است و در صورت نیاز باید با 1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J تبدیل شود.
- فوتون با انرژی E: ابتدا p = E/c، سپس λ = h/p.
- ذره با سرعت v: ابتدا p = mv، سپس λ = h/p.
- ذره با انرژی جنبشی K: ابتدا p = √(2mK)، سپس λ = h/p.
- ذره باردارِ شتابگرفته از سکون: K = |q|V و λ = h/√(2m|q|V).
مثال حلشده: طول موج الکترون شتابگرفته
الکترونی از سکون با اختلاف پتانسیل ۱۵۰ ولت شتاب میگیرد. اندازه بار الکترون e = 1.60 × 10⁻¹⁹ C، جرم آن m = 9.11 × 10⁻³¹ kg و h = 6.63 × 10⁻³⁴ J·s است. انرژی جنبشی نهایی K = eV = 2.40 × 10⁻¹⁷ J میشود.
تکانه غیرنسبیتی برابر p = √(2mK) = √[2 × (9.11 × 10⁻³¹) × (2.40 × 10⁻¹⁷)] ≈ 6.61 × 10⁻²⁴ kg·m/s است. بنابراین λ = h/p ≈ 1.00 × 10⁻¹⁰ m، یعنی حدود 0.100 nm به دست میآید.
کنترل پاسخ: اگر ولتاژ چهار برابر شود، تکانه با √V تغییر میکند و دو برابر میشود؛ در نتیجه طول موج نصف خواهد شد. این نتیجه از λ ∝ 1/√V به دست میآید و راهی سریع برای حل سؤالهای مقایسهای است.
مثال حلشده: مقایسه تکانه دو فوتون
دو فوتون با طول موجهای ۴۰۰ nm و ۶۰۰ nm را مقایسه کن. چون p = h/λ، نسبت تکانهها p₄₀₀/p₆₀₀ = λ₆₀₀/λ₄₀₀ = 600/400 = 1.5 است. پس فوتون ۴۰۰ نانومتری تکانهای یکونیم برابر فوتون ۶۰۰ نانومتری دارد.
همین فوتون انرژی بیشتری نیز دارد، زیرا E = hc/λ است. در مقایسههای نسبتی لازم نیست h یا c را عددگذاری کنی؛ حذف ثابتهای مشترک هم محاسبه را کوتاهتر میکند و هم خطای توانهای ده را کاهش میدهد.
دامهای رایج و کنترل واحد را بشناس
در رابطه K = |q|V، V نماد اختلاف پتانسیل است و نباید آن را با سرعت اشتباه گرفت. همچنین علامت بار فقط جهت شتاب را تعیین میکند؛ افزایش انرژی جنبشی از اندازه |q|V به دست میآید. اگر ذره از سکون شروع نکرده باشد، |q|V برابر تغییر انرژی جنبشی است، نه الزاماً کل انرژی جنبشی نهایی.
واحد h/p برابر (J·s)/(kg·m/s) است. چون J = kg·m²/s²، حاصل متر میشود. برای ذره غیرنسبیتی نیز افزایش جرم، سرعت یا ولتاژ شتابدهنده باید طول موج را کاهش دهد. اگر پاسخ خلاف این روند بود، نسبت یا ریشه دوم اشتباه نوشته شده است.
دامنه مدل و منبع رابطهها را بررسی کن
رابطههای p = mv و K = p²/(2m) تقریب غیرنسبیتیاند و وقتی سرعت ذره در مقایسه با سرعت نور کوچک باشد به کار میروند. در انرژیهای بالا باید تکانه و انرژی نسبیتی استفاده شود. رابطه مستقیم λ = h/p همچنان برقرار است، اما روش کلاسیکی یافتن p دیگر دقیق نیست.
رابطه دوبروی، تکانه فوتون و نمونه پراش الکترون در این راهنما با فصل Photons and Matter Waves از کتاب آزاد University Physics, Volume 3 نوشته OpenStax تطبیق داده شده است. مقدار ثابتها را در مسئله از داده صورت سؤال بگیر؛ عددهای این مقاله گرد شدهاند و برای آموزش مسیر حل به کار رفتهاند. برای پیوند انرژی فوتون با تابع کار، راهنمای اثر فوتوالکتریک و برای تمرین کنترل ابعاد، مقاله تحلیل ابعادی را در ادامه بخوان.
رابطه مشترک λ = h/p پلی میان رفتار موجی و تکانه است، اما فوتون و ذره مادی تکانه یکسانی ندارند: برای فوتون از E = pc و برای ذره کندتر از نور از p = mv استفاده کن. در شتابگیری الکتریکی نیز کار میدان، |q|V، به انرژی جنبشی تبدیل میشود و رابطه λ = h/√(2m|q|V) را میسازد. تشخیص نوع ذره، تبدیل واحدها، بررسی شرط غیرنسبیتی و کنترل اینکه تکانه بیشتر باید طول موج کوتاهتری بدهد، پاسخ را قابل اعتماد میکند.