اثر فوتوالکتریک و انرژی فوتون؛ حل تابع کار و پتانسیل توقف

انرژی فوتون و تابع کار چه نقشی دارند؟

نور در برهم‌کنش فوتوالکتریک به بسته‌هایی با انرژی E = hf در نظر گرفته می‌شود؛ h ثابت پلانک و f بسامد نور است. با استفاده از f = c/λ می‌توان همان انرژی را به صورت E = hc/λ نوشت. پس نور با بسامد بیشتر یا طول موج کمتر، فوتون پرانرژی‌تری دارد.

تابع کار W کمترین انرژی لازم برای جداکردن الکترون از سطح یک فلز مشخص است. در مدل ساده این مبحث، انرژی یک فوتون به یک الکترون می‌رسد. بخشی از انرژی صرف غلبه بر تابع کار می‌شود و باقی‌مانده می‌تواند انرژی جنبشی الکترون باشد؛ بنابراین بیشینه آن Kₘₐₓ = hf − W است. واژه «بیشینه» مهم است، زیرا همه الکترون‌های گسیل‌شده الزاماً با یک انرژی از سطح خارج نمی‌شوند.

• انرژی فوتون: E = hf = hc/λ.
• معادله انرژی فوتوالکتریک: hf = W + Kₘₐₓ.
• فلز با تابع کار بزرگ‌تر برای گسیل به فوتون پرانرژی‌تری نیاز دارد.

بسامد و طول موج آستانه را چگونه پیدا کنیم؟

در آستانه گسیل، فوتوالکترون فقط از سطح جدا می‌شود و Kₘₐₓ = 0 است. پس hf₀ = W و بسامد آستانه f₀ = W/h خواهد بود. برای f < f₀ حتی با افزایش شدت نور گسیل رخ نمی‌دهد، چون انرژی هر فوتون هنوز از تابع کار کمتر است.

از رابطه f = c/λ نتیجه می‌شود طول موج آستانه λ₀ = hc/W است. گسیل برای λ ≤ λ₀ ممکن است، نه برای طول موج‌های بزرگ‌تر. این وارونگی یکی از دام‌های رایج است: شرط بسامد «بزرگ‌تر از آستانه» و شرط طول موج «کوچک‌تر از آستانه» است.

مسیر پنج‌مرحله‌ای حل مسئله‌های فوتوالکتریک

اول داده نور را مشخص کن: اگر طول موج داده شده است، انرژی فوتون را مستقیم از hc/λ بساز. دوم، تابع کار را با همان واحد انرژی بنویس. سوم، شرط آستانه را بررسی کن؛ اگر انرژی فوتون کمتر از تابع کار است، ادامه محاسبه انرژی جنبشی معنا ندارد.

چهارم، برای گسیل ممکن از Kₘₐₓ = hf − W استفاده کن. پنجم، اگر پتانسیل توقف خواسته شده است، Kₘₐₓ = eVₛ را بنویس. در پایان علامت و اندازه جواب را کنترل کن: انرژی جنبشی نمی‌تواند منفی باشد و باید از انرژی فوتون کمتر بماند.

• همه انرژی‌ها را یا برحسب ژول یا برحسب الکترون‌ولت نگه دار.
• پیش از تفریق، شرط hf ≥ W را بررسی کن.
• برای پتانسیل توقف، اندازه بار الکترون e را به کار ببر.
• در سؤال مفهومی، ابتدا معلوم کن شدت تغییر کرده یا بسامد.

مثال حل‌شده: تابع کار و پتانسیل توقف

فوتون‌هایی با انرژی 3.5 eV به سطح فلزی با تابع کار 2.0 eV می‌تابند. چون 3.5 > 2.0 است، گسیل رخ می‌دهد. بیشینه انرژی جنبشی برابر Kₘₐₓ = 3.5 − 2.0 = 1.5 eV است.

از eVₛ = Kₘₐₓ استفاده می‌کنیم. وقتی انرژی برحسب eV نوشته شده باشد، مقدار عددی پتانسیل توقف برحسب ولت همان مقدار انرژی جنبشی برحسب eV است؛ پس Vₛ = 1.5 V. این میان‌بُر نتیجه تعریف الکترون‌ولت است و فقط وقتی واحدها را آگاهانه یکسان نگه داشته‌ای معتبر است.

مثال حل‌شده: تشخیص گسیل از روی طول موج

تابع کار فلزی 2.5 eV و طول موج نور تابشی 620 nm است. برای محاسبه سریع می‌توان از hc ≈ 1240 eV·nm استفاده کرد؛ انرژی هر فوتون تقریباً 1240/620 = 2.0 eV می‌شود. چون 2.0 eV از تابع کار 2.5 eV کمتر است، فوتوالکترونی گسیل نمی‌شود.

در این وضعیت نوشتن Kₘₐₓ = 2.0 − 2.5 و پذیرفتن انرژی جنبشی منفی خطاست. نتیجه منفی فقط می‌گوید شرط گسیل برقرار نیست. افزایش شدت همین نور نیز مسئله را حل نمی‌کند؛ باید بسامد بیشتر یا طول موج کوتاه‌تر شود.

اثر شدت نور را با اثر بسامد اشتباه نگیر

در توصیف دبیرستانی، افزایش بسامد انرژی هر فوتون را زیاد می‌کند. اگر گسیل برقرار باشد، با افزایش بسامد Kₘₐₓ و در نتیجه پتانسیل توقف بیشتر می‌شود. اما افزایش شدت در بسامد ثابت به معنی رسیدن فوتون‌های بیشتر در واحد زمان است؛ برای نور بالاتر از آستانه، تعداد فوتوالکترون‌های گسیل‌شده و جریان می‌تواند بیشتر شود.

اگر بسامد زیر آستانه باشد، شدت بیشتر به‌تنهایی گسیل ایجاد نمی‌کند. همچنین در یک سؤال که شدت تغییر می‌کند اما بسامد و جنس فلز ثابت‌اند، تابع کار و انرژی هر فوتون ثابت می‌مانند؛ بنابراین Kₘₐₓ و Vₛ تغییر نمی‌کنند. این تفکیک، پاسخ بیشتر پرسش‌های مفهومی این بخش است.

نمودار انرژی جنبشی و پتانسیل توقف را بخوان

از Kₘₐₓ = hf − W می‌فهمیم نمودار Kₘₐₓ برحسب f، پس از آستانه، خطی با شیب h است و محور بسامد را در f₀ = W/h قطع می‌کند. عرض از مبدأ امتداد ریاضی خط برابر −W است، اما ناحیه f < f₀ به معنی انرژی جنبشی منفی نیست؛ در آن ناحیه گسیلی وجود ندارد.

با جای‌گذاری Kₘₐₓ = eVₛ، رابطه Vₛ = (h/e)f − W/e به دست می‌آید. پس شیب نمودار Vₛ برحسب f برابر h/e است. برای جلوگیری از وارونه‌خوانی شیب، مانند نمودارهای جریان–ولتاژ ابتدا نام و واحد هر محور را کنار آن بنویس.

تبدیل واحدها و خطاهای رایج را کنترل کن

یک الکترون‌ولت انرژی‌ای است که بار بنیادی با عبور از اختلاف پتانسیل یک ولت می‌گیرد و برابر 1.602×10⁻¹⁹ J است. اگر h را با واحد J·s به کار می‌بری، تابع کار را نیز به ژول تبدیل کن. اگر از hc ≈ 1240 eV·nm استفاده می‌کنی، طول موج باید برحسب نانومتر و انرژی برحسب eV باشد.

خطاهای رایج شامل جمع‌کردن تابع کار و انرژی جنبشی به‌جای تفریق برای یافتن Kₘₐₓ، جابه‌جاکردن شرط طول موج آستانه، نسبت‌دادن انرژی بیشتر به شدت بیشتر و مخلوط‌کردن ژول با الکترون‌ولت است. راهنمای تحلیل ابعادی و کنترل واحد برای بررسی این تبدیل‌ها و مقاله میدان یا پتانسیل الکتریکی برای مرور ارتباط انرژی و اختلاف پتانسیل، ادامه‌های مرتبط این مسیرند.

• Kₘₐₓ منفی گزارش نمی‌شود؛ مقدار منفی یعنی گسیل رخ نمی‌دهد.
• f ≥ f₀ با λ ≤ λ₀ متناظر است.
• شدت، انرژی تک‌فوتون را در بسامد ثابت عوض نمی‌کند.
• در هر محاسبه فقط یک دستگاه واحد انرژی را دنبال کن.