مدل اتمی بور و طیف خطی هیدروژن؛ حل گذار بین ترازهای انرژی

ترازهای انرژی در مدل بور چه معنایی دارند؟

در مدل بور، انرژی الکترون در اتم هیدروژن پیوسته نیست و فقط مقدارهای Eₙ = −13.6/n² eV را می‌پذیرد؛ n عدد صحیح مثبت است. تراز n = 1 حالت پایه و ترازهای n = 2، 3 و بالاتر حالت‌های برانگیخته‌اند. منفی‌بودن انرژی یعنی الکترون به هسته مقید است و برای جداکردن کامل آن باید به اتم انرژی بدهیم.

هرچه n بزرگ‌تر شود، انرژی به صفر نزدیک‌تر و فاصله ترازهای مجاور کمتر می‌شود. مقدار صفر انرژی متناظر با الکترون آزاد در فاصله بسیار دور است. بنابراین گذار به n بزرگ‌تر الزاماً به معنای بیشترشدن قدرمطلق انرژی نیست؛ خودِ انرژی از عددی منفی‌تر به عددی کمتر منفی افزایش می‌یابد.

• حالت پایه هیدروژن: E₁ = −13.6 eV.
• انرژی یونش از یک تراز، فاصله انرژی همان تراز تا صفر است.
• ترازها با افزایش n به یکدیگر نزدیک‌تر می‌شوند.

جذب و گسیل فوتون را چگونه تشخیص دهیم؟

تغییر انرژی اتم را به صورت ΔE_atom = E_final − E_initial بنویس. اگر نتیجه مثبت باشد، اتم باید این انرژی را جذب کند و الکترون به تراز بالاتر برود. اگر نتیجه منفی باشد، انرژی اتم کاهش یافته و فوتونی با انرژی |ΔE_atom| گسیل می‌شود.

انرژی فوتون منفی نیست. علامت فقط جهت انتقال انرژی میان اتم و تابش را مشخص می‌کند. در نمودار ترازها، پیکان رو به بالا جذب و پیکان رو به پایین گسیل را نشان می‌دهد؛ اما در محاسبه بهتر است همچنان انرژی نهایی را منهای انرژی اولیه بنویسی تا تشخیص به شکل وابسته نماند.

• ΔE_atom > 0: جذب فوتون.
• ΔE_atom < 0: گسیل فوتون.
• E_photon = |ΔE_atom| در هر دو حالت.

مسیر حل گذار بین دو تراز انرژی

گام اول، n آغاز و n پایان را از متن یا پیکان نمودار مشخص کن. گام دوم، E_initial و E_final را جداگانه بر حسب الکترون‌ولت حساب کن. گام سوم، ΔE_atom را به دست آور و جذب یا گسیل را تعیین کن. گام چهارم، اندازه تغییر انرژی را برابر انرژی فوتون قرار بده.

اگر بسامد خواسته شده باشد، پس از تبدیل انرژی به ژول از f = E_photon/h استفاده کن. برای طول موج می‌توان از λ = hc/E_photon بهره برد. وقتی انرژی بر حسب eV است، تبدیل 1 eV = 1.60×10⁻¹⁹ J لازم است؛ مگر اینکه صورت سؤال مقدار hc را با واحد eV·nm داده باشد که در آن صورت تبدیل جداگانه لازم نیست.

• ابتدا جهت گذار، سپس اندازه انرژی را تعیین کن.
• یکاهای h، c و انرژی را با هم سازگار نگه دار.
• برای طول موج بر حسب نانومتر، توان‌های ده را در پایان کنترل کن.

مثال حل‌شده: فوتون گسیلی در گذار از تراز سوم به دوم

الکترون اتم هیدروژن از n = 3 به n = 2 می‌رود. انرژی ابتدا E₃ = −13.6/9 ≈ −1.51 eV و انرژی انتها E₂ = −13.6/4 = −3.40 eV است. پس ΔE_atom = −3.40 − (−1.51) = −1.89 eV؛ منفی‌بودن نتیجه نشان می‌دهد اتم فوتون گسیل می‌کند.

انرژی فوتون 1.89 eV است. اگر hc ≈ 1240 eV·nm داده شده باشد، طول موج از λ = 1240/1.89 به دست می‌آید و تقریباً 656 nm می‌شود. چون گذار رو به پایین است، پاسخ «جذب با انرژی منفی» معنا ندارد؛ اتم انرژی از دست می‌دهد ولی انرژی فوتون گسیلی مثبت است.

آیا اتم هر فوتونی را جذب می‌کند؟

اتم مقید برای گذار میان دو تراز معین، فوتونی را جذب می‌کند که انرژی آن دقیقاً با فاصله همان دو تراز برابر باشد. برای نمونه، اتم هیدروژن در حالت پایه برای رفتن مستقیم به n = 2 به 10.2 eV انرژی نیاز دارد؛ فوتون 9 eV این گذار را ایجاد نمی‌کند.

اگر انرژی فوتون دست‌کم برابر انرژی یونشِ تراز فعلی باشد، الکترون می‌تواند از اتم جدا شود. انرژی اضافه پس از یونش می‌تواند به انرژی جنبشی الکترون آزاد تبدیل شود. این وضعیت با گذار مقید به مقید فرق دارد که در آن انرژی فوتون باید با اختلاف دو تراز برابر باشد.

تعداد خط‌های طیفی را بدون شمردن تکراری پیدا کنیم

اگر الکترون بتواند میان N تراز مشخص همه گذارهای رو به پایین ممکن را انجام دهد، هر جفت تراز یک اختلاف انرژی و در حالت ایدئال یک خط طیفی می‌سازد. تعداد جفت‌ها برابر N(N−1)/2 است. این رابطه زمانی کاربرد دارد که سؤال همه گذارهای ممکن میان همان ترازها را بخواهد.

مثلاً برای سه تراز n = 1، 2 و 3، گذارهای 3→2، 3→1 و 2→1 ممکن‌اند؛ پس سه خط داریم. اما اگر سؤال فقط فروافتادن مستقیم الکترون از 3 به 1 را توصیف کند، نباید خودکار سه خط بنویسی. میان «یک گذار مشخص» و «همه مسیرهای ممکنِ مجموعه‌ای از اتم‌ها» تفاوت بگذار.

مقایسه انرژی، بسامد و طول موج دو گذار

گذار با اختلاف انرژی بزرگ‌تر، فوتون پرانرژی‌تر و پربسامدتری می‌سازد، زیرا E = hf. همان فوتون طول موج کوتاه‌تری دارد، چون λ = hc/E. بنابراین برای مقایسه بسیاری از سؤال‌ها لازم نیست عدد دقیق h یا c را وارد کنی؛ کافی است فاصله عمودی ترازها یا |ΔE| را مقایسه کنی.

فاصله ترازهای اتم هیدروژن در nهای پایین بیشتر است. برای مثال انرژی گذار 2→1 از گذار 3→2 بیشتر و طول موج آن کوتاه‌تر است. راهنمای نوسان و موج ارتباط وارون بسامد و طول موج را مرور می‌کند و مقاله اثر فوتوالکتریک کاربرد دیگری از انرژی فوتون را نشان می‌دهد.

خطاهای رایج و کنترل نهایی پاسخ

خطاهای رایج شامل حذف علامت منفی از انرژی ترازها، کم‌کردن nها به‌جای انرژی‌ها، منفی نوشتن انرژی فوتون، و مخلوط‌کردن eV با ثابت پلانک بر حسب J·s است. همچنین رابطه تعداد خطوط طیفی را فقط وقتی به کار ببر که همه گذارهای ممکن خواسته شده باشند.

برای کنترل پاسخ، جهت گذار را با علامت ΔE تطبیق بده، مثبت‌بودن انرژی و طول موج فوتون را بررسی کن و ببین اختلاف تراز بزرگ‌تر واقعاً طول موج کوتاه‌تری داده است یا نه. راهنمای تحلیل ابعادی نیز برای کنترل سازگاری ژول، ثانیه و متر در رابطه hc/λ مفید است.

• انرژی تراز مقید را با علامت منفی نگه دار.
• اختلاف انرژی ترازها را حساب کن، نه اختلاف شماره ترازها را.
• انرژی فوتون را برابر قدرمطلق تغییر انرژی اتم بگیر.
• پیش از جای‌گذاری، eV و J را در یک دستگاه یکا قرار بده.