برای حل سؤالهای طیف الکترومغناطیسی سه رابطه کافی است: در خلأ c = λf، انرژی هر فوتون E = hf و در نتیجه E = hc/λ. پس با افزایش بسامد، طول موج کم و انرژی فوتون زیاد میشود. ترتیب طیف از طول موج بلند به کوتاه چنین است: رادیویی، ریزموج، فروسرخ، مرئی، فرابنفش، پرتو X و گاما. در محاسبهها ابتدا واحد طول موج را به متر تبدیل کن، سپس از c = 3.00 × 10⁸ m/s و در صورت نیاز h = 6.63 × 10⁻³⁴ J·s استفاده کن.
ترتیب طیف را بر یک محور معنادار بچین
ناحیههای طیف، موجهای جدا از هم با قانونهای متفاوت نیستند؛ همگی موج الکترومغناطیسیاند و در خلأ با تندی c منتشر میشوند. نام ناحیه فقط بازهای از طول موج یا بسامد را مشخص میکند و مرز بعضی بازهها قراردادی و تا حدی همپوشان است. بنابراین برای مقایسه، به جای حفظ مرزهای عددی متعدد، جای نسبی ناحیهها را بشناس.
روی محوری که طول موج از چپ به راست کم میشود بنویس: رادیویی ← ریزموج ← فروسرخ ← مرئی ← فرابنفش ← X ← گاما. در همین جهت بسامد و انرژی هر فوتون افزایش مییابند. در بخش مرئی نیز نور قرمز طول موج بلندتر و بسامد و انرژی فوتون کمتر از نور بنفش دارد.
- به سوی امواج رادیویی: طول موج بلندتر و بسامد و انرژی فوتون کمتر.
- به سوی پرتو گاما: طول موج کوتاهتر و بسامد و انرژی فوتون بیشتر.
- مرئی فقط بخش باریکی میان فروسرخ و فرابنفش است.
طول موج و بسامد را با c = λf تبدیل کن
در خلأ حاصلضرب طول موج λ در بسامد f برابر تندی نور است: c = λf. چون c ثابت است، دو کمیت λ و f نسبت وارون دارند. اگر طول موج نصف شود، بسامد دو برابر میشود؛ لازم نیست برای چنین مقایسهای عدد c را وارد کنی.
برای محاسبه عددی، λ باید با واحد متر و f با هرتز وارد رابطه SI شود. پیشوندها را پیش از جایگذاری باز کن: nm یعنی 10⁻⁹ m، μm یعنی 10⁻⁶ m، mm یعنی 10⁻³ m و MHz یعنی 10⁶ Hz. بیشترین خطاهای عددی این مبحث از همین تبدیل واحد، نه از خود رابطه، میآیند.
مثال حلشده: از طول موج تا بسامد و ناحیه طیف
موجی الکترومغناطیسی در خلأ طول موج 600 nm دارد. بسامد آن را پیدا کن و ناحیه طیف را تشخیص بده.
ابتدا 600 nm = 600 × 10⁻⁹ m = 6.00 × 10⁻⁷ m. از f = c/λ داریم: f = (3.00 × 10⁸)/(6.00 × 10⁻⁷) = 5.00 × 10¹⁴ Hz. طول موج 600 نانومتر در ناحیه مرئی و نزدیک بخش نارنجی قرار میگیرد.
کنترل کیفی: طول موج مرئی بسیار کوچکتر از یک متر است، پس بسامد باید بسیار بزرگ باشد. همچنین اگر طول موج نمونه دیگری کمتر از 600 nm باشد، بسامد آن باید از 5.00 × 10¹⁴ Hz بیشتر شود.
انرژی موج را از انرژی یک فوتون جدا نگه دار
انرژی یک فوتون از E = hf به دست میآید. با جایگذاری f = c/λ میتوان نوشت E = hc/λ. بنابراین فوتونِ پرتوی با بسامد بیشتر، انرژی بیشتری دارد و فوتونِ پرتوی با طول موج بلندتر، انرژی کمتری دارد. دامنه موج یا شدت منبع در این رابطه انرژی تکفوتون ظاهر نمیشود.
شدت بیشترِ یک نور تکفام معمولاً به معنای رسیدن انرژی کل بیشتر در واحد زمان و سطح است؛ این افزایش میتواند با تعداد فوتونهای بیشتر رخ دهد، در حالی که انرژی هر فوتون تا وقتی بسامد ثابت است تغییر نمیکند. پس در صورت سؤال زیر عبارتهای «هر فوتون»، «انرژی کل» و «تعداد فوتون» خط بکش.
مثال حلشده: انرژی یک فوتون و تعداد فوتونها
یک تپ نور تکفام با طول موج 500 nm، انرژی کل 3.98 × 10⁻¹⁶ J دارد. انرژی هر فوتون و تعداد تقریبی فوتونهای تپ را حساب کن.
طول موج برابر 5.00 × 10⁻⁷ m است. انرژی یک فوتون از E = hc/λ به دست میآید: E = (6.63 × 10⁻³⁴)(3.00 × 10⁸)/(5.00 × 10⁻⁷) = 3.98 × 10⁻¹⁹ J.
تعداد فوتونها برابر انرژی کل تقسیم بر انرژی هر فوتون است: N = (3.98 × 10⁻¹⁶)/(3.98 × 10⁻¹⁹) = 10³؛ پس تپ تقریباً 1000 فوتون دارد. N بیواحد و در یک شمارش دقیق باید عدد صحیح باشد؛ اختلاف جزئی میتواند از گردکردن دادهها ایجاد شود.
ورود به محیط را بدون تغییر اشتباه بسامد تحلیل کن
وقتی نور از خلأ وارد محیط شفاف دیگری میشود، بسامد آن را منبع تعیین میکند و در مرز تغییر نمیکند. تندی موج در محیط عوض میشود، پس طبق v = λf طول موج نیز تغییر میکند. در محیطی با ضریب شکست n، تندی v = c/n و طول موج λmedium = λvacuum/n است.
چون f ثابت میماند، انرژی هر فوتون E = hf نیز هنگام این مقایسه ثابت است. استفاده از c = λf با طول موج داخل ماده خطاست؛ در محیط باید v = λf را بنویسی. اگر صورت سؤال طول موج خلأ را داده باشد، ابتدا روشن کن کدام طول موج در هر رابطه استفاده میشود.
با این مسیر پنجگامی سؤال طیف را حل کن
یک: معلوم کن سؤال درباره یک فوتون است یا کل تابش. دو: طول موج، بسامد و انرژی دادهشده را با پیشوند و واحد یادداشت کن. سه: اگر موج در خلأ است از c = λf و اگر در محیط است از v = λf استفاده کن. چهار: برای انرژی تکفوتون E = hf یا E = hc/λ را انتخاب کن. پنج: پاسخ را با روند طیف و واحد آن کنترل کن.
اگر فقط مقایسه خواسته شده، از تناسبها استفاده کن: f ∝ 1/λ و E ∝ f ∝ 1/λ. اگر عدد میخواهی، توانهای ده را جدا محاسبه کن و فقط در پایان گرد کن. قاطیکردن nm با m، استفاده از انرژی کل به جای انرژی هر فوتون و تصور تغییر بسامد در مرز سه دام پرتکرار این سؤالها هستند.
- کاهش λ باید با افزایش f و E همراه باشد.
- واحد انرژی هر فوتون ژول یا الکترونولت است، نه وات.
- در عبور از مرز، f ثابت میماند اما v و λ میتوانند تغییر کنند.
در سؤال طیف الکترومغناطیسی، اول خواسته و واحد را مشخص کن؛ سپس λ را به متر تبدیل کن و با c = λf بسامد را به دست آور. اگر انرژی یک فوتون خواسته شده، E = hf یا E = hc/λ را به کار ببر و اگر انرژی چند فوتون یا تعداد فوتونها مطرح است، انرژی کل را از انرژی تکفوتون جدا نگه دار. ترتیب ناحیهها را بر محور طول موج بنویس: رادیویی تا گاما؛ حرکت به سوی گاما یعنی λ کمتر، f بیشتر و انرژی فوتون بیشتر. کنترل توان ده، واحد و رابطه معکوس λ و f سه آزمون سریع پایان حلاند.