برای یک سیم یا میله که در راستای طول کشیده میشود، تنش کششی برابر σ = F/A و کرنش طولی برابر ε = ΔL/L₀ است. در محدوده کشسانی خطی، نسبت این دو مدول یانگ ماده است: Y = σ/ε؛ بنابراین تغییر طول از ΔL = FL₀/(AY) به دست میآید. مسیر مطمئن حل این است که نیروی محوری، سطح مقطع اولیه و طول اولیه را با واحد SI مشخص کنی، سپس بررسی کنی که مسئله رفتار خطی و کشسان را فرض کرده است.
تنش را با نیروی خالص اشتباه نگیر
تنش کششی نشان میدهد نیروی عمود بر سطح مقطع چگونه روی مساحت پخش شده است: σ = F/A. یکای آن N/m² یا پاسکال است. دو سیم ممکن است نیروی یکسانی تحمل کنند، اما سیم باریکتر به دلیل سطح مقطع کمتر تنش بیشتری داشته باشد.
برای سیم دایرهای با قطر d، سطح مقطع A = πd²/4 است؛ اگر شعاع r داده شده باشد، A = πr². قطر یا شعاع را پیش از توان دوم به متر تبدیل کن. نیروی F نیز نیروی محوری وارد بر مقطع است؛ در جسم آویزان و ساکن، ممکن است ابتدا لازم باشد آن را از تعادل نیروها، مثلاً F = mg، پیدا کنی.
- تنش کششی: σ = F/A
- یکای تنش و مدول یانگ: Pa
- سطح مقطع سیم دایرهای: A = πd²/4
کرنش را از تغییر نسبی طول بساز
اگر طول اولیه میله L₀ و افزایش طول آن ΔL باشد، کرنش طولی ε = ΔL/L₀ است. صورت و مخرج هر دو طولاند، پس کرنش یکا ندارد. کرنش 0.002 یعنی افزایش طول برابر 0.002 طول اولیه است، نه افزایش طول 0.002 متر.
در کشش، ΔL را مثبت و در فشار میتوان آن را منفی در نظر گرفت. در بسیاری از مسئلههای دبیرستانی فقط اندازه تغییر شکل خواسته میشود؛ با این حال تشخیص کشش یا فشار کمک میکند جهت تغییر طول را درست گزارش کنی. L₀ طول پیش از واردشدن بار است، نه طول نهایی L₀ + ΔL.
مدول یانگ را در محدوده خطی به کار ببر
در بخش خطی رفتار کشسان ماده، تنش با کرنش متناسب است: σ = Yε. ضریب Y مدول یانگ نام دارد و چون کرنش بیواحد است، یکای Y نیز پاسکال است. Y بزرگتر یعنی برای ایجاد کرنش یکسان، تنش بیشتری لازم است؛ پس ماده در کشش یا فشار محوری سختتر تغییر شکل میدهد.
با جایگذاری σ = F/A و ε = ΔL/L₀ داریم Y = FL₀/(AΔL) و ΔL = FL₀/(AY). این رابطه به شکل و بارگذاری مشخص وابسته است: میله یکنواخت، نیروی محوری و تغییر شکل کوچک در محدوده خطی. مدول یانگ ویژگی ماده است، اما ثابت فنر k به جنس و هندسه جسم هر دو وابسته است.
- رابطه خطی: σ = Yε
- مدول یانگ: Y = FL₀/(AΔL)
- تغییر طول: ΔL = FL₀/(AY)
مثال حلشده: افزایش طول یک سیم فلزی
سیمی به طول اولیه 2.0 m و سطح مقطع 1.0 mm² تحت نیروی کششی 100 N قرار دارد. اگر مدول یانگ ماده 2.0×10¹¹ Pa باشد، تنش، کرنش و افزایش طول را پیدا کن. رفتار سیم را کشسان و خطی فرض میکنیم.
ابتدا سطح مقطع را تبدیل میکنیم: 1.0 mm² = 1.0×10⁻⁶ m². پس σ = F/A = 100/(1.0×10⁻⁶) = 1.0×10⁸ Pa. کرنش برابر ε = σ/Y = (1.0×10⁸)/(2.0×10¹¹) = 5.0×10⁻⁴ است.
اکنون ΔL = εL₀ = (5.0×10⁻⁴)(2.0) = 1.0×10⁻³ m، یعنی 1.0 mm. کنترل مستقیم با ΔL = FL₀/(AY) نیز همین مقدار را میدهد. کوچکبودن تغییر طول نسبت به دو متر با فرض تغییر شکل کوچک سازگار است.
مدول یانگ را از شیب نمودار تنش–کرنش بخوان
اگر محور عمودی نمودار تنش و محور افقی کرنش باشد، شیب بخش خطی برابر Y است: Y = Δσ/Δε. برای محاسبه شیب، دو نقطه دور از هم روی همان خط مستقیم انتخاب کن و مقیاس و توان ده محور تنش را با دقت بخوان.
اگر محورها نیرو و تغییر طول باشند، شیب نمودار F–ΔL مستقیماً مدول یانگ نیست؛ از F = (AY/L₀)ΔL نتیجه میشود شیب برابر AY/L₀ است. بنابراین برای یافتن Y باید شیب را در L₀/A ضرب کنی. نام و یکای محورها مشخص میکند کدام شیب را در اختیار داری.
مسئله تنش و کرنش را در پنج گام حل کن
یک: مشخص کن جسم در کشش است یا فشار و نیروی محوری F را پیدا کن. دو: سطح مقطع اولیه را از شکل به m² تبدیل کن. سه: طول اولیه L₀ و تغییر طول ΔL را جدا بنویس. چهار: بر اساس خواسته از σ = F/A، ε = ΔL/L₀ یا σ = Yε استفاده کن. پنج: یکا، روند تغییر و اعتبار فرض خطی را کنترل کن.
برای مقایسه دو میله همجنس، لازم نیست همیشه عددگذاری کنی: از ΔL ∝ FL₀/A نتیجه بگیر. اگر قطر سیم دو برابر شود، سطح مقطع چهار برابر و تغییر طول، با ثابتبودن بقیه دادهها، یکچهارم میشود. اگر دو میله سری باشند، نیروی هر بخش را از تعادل پیدا کن و تغییر طول بخشها را جداگانه حساب و جمع کن.
خطاهای واحد و محدوده کشسانی را کنترل کن
رایجترین خطاها تبدیلنکردن mm² به m²، استفاده از قطر به جای سطح مقطع، یکیگرفتن کرنش با ΔL و خواندن شیب کل نمودار به جای بخش خطیاند. توجه کن 1 mm² برابر 10⁻⁶ m² است، نه 10⁻³ m²؛ زیرا ضریب تبدیل طول نیز باید به توان دوم برسد.
رابطه σ = Yε فقط در ناحیهای معتبر است که نمودار تقریباً خطی و تغییر شکل کشسان باشد. پس از عبور از محدوده کشسانی، ممکن است جسم بعد از برداشتن نیرو به طول اولیه برنگردد و مدول یانگ بهتنهایی رفتار آن ناحیه را توصیف نمیکند. برای مقایسه با نیروی فنر، راهنمای قانون هوک و برای تغییر طول ناشی از دما، مقاله انبساط گرمایی را بخوان؛ تحلیل ابعادی نیز کنترل یکاهای این مسیر را کامل میکند.
تنش اثر نیرو را نسبت به سطح مقطع و کرنش تغییر طول را نسبت به طول اولیه میسنجد. در محدوده کشسانی خطی، σ = Yε و در نتیجه ΔL = FL₀/(AY) است. پس نیروی بیشتر و میله بلندتر تغییر طول را زیاد میکنند، اما سطح مقطع بزرگتر و مدول یانگ بیشتر آن را کاهش میدهند. سطح مقطع را از ابعاد هندسی بساز، کرنش را بیواحد نگه دار و مدول یانگ را فقط از بخش خطی نمودار به دست آور؛ بیرون این محدوده، رابطه ساده پاسخ کامل رفتار ماده نیست.