انبساط گرمایی جامدات؛ محاسبه تغییر طول، سطح، حجم و شکاف

انبساط طولی چیست و رابطه آن چگونه خوانده می‌شود؟

اگر طول اولیه میله L₀ و تغییر دما ΔT = T₂ − T₁ باشد، تغییر طول آن در مدل خطی برابر ΔL = αL₀ΔT است. α ضریب انبساط طولی ماده و یکای آن بر کلوین یا بر درجه سلسیوس است. چون اختلاف یک کلوین با اختلاف یک درجه سلسیوس برابر است، برای ΔT می‌توان از هر یک از این دو مقیاس استفاده کرد.

طول نهایی از L = L₀ + ΔL به دست می‌آید. اگر جسم سرد شود، ΔT منفی و در نتیجه ΔL نیز برای ماده‌ای با α مثبت منفی است. رابطه خطی یک تقریب برای بازه‌ای است که α را بتوان ثابت در نظر گرفت؛ پس آن را فراتر از فرض‌های صورت سؤال تعمیم نده.

• ΔT را دمای نهایی منهای دمای اولیه بنویس.
• در رابطه ΔL، از طول اولیه L₀ استفاده کن.
• تغییر طول ΔL را با طول نهایی L اشتباه نگیر.

از ضریب طولی به انبساط سطحی و حجمی برس

برای یک جامد همگن و همسانگرد که در همه جهت‌ها ضریب طولی یکسان α دارد، تغییرات کوچک مساحت از ΔA = βA₀ΔT و تغییرات کوچک حجم از ΔV = γV₀ΔT محاسبه می‌شود. در تقریب مرتبه اول، β ≈ 2α و γ ≈ 3α است.

دلیل ضریب ۲ را می‌توان با یک صفحه مربعی دید: هر دو ضلع تقریباً به نسبت αΔT افزایش می‌یابند، بنابراین تغییر نسبی مساحت تقریباً جمع دو تغییر نسبی و برابر 2αΔT است. جمله بسیار کوچک (αΔT)² در تقریب خطی کنار گذاشته می‌شود. برای حجم نیز سهم سه راستا جمع می‌شود.

• طول: ΔL/L₀ = αΔT
• مساحت: ΔA/A₀ ≈ 2αΔT
• حجم: ΔV/V₀ ≈ 3αΔT

سوراخ صفحه و شکاف میان دو قطعه چگونه تغییر می‌کند؟

سوراخِ یک صفحه هنگام گرم‌شدن کوچک نمی‌شود. برای تجسم، فرض کن سوراخ را با همان ماده پر کرده‌ای؛ قطعه فرضی همراه صفحه منبسط می‌شود و مرز سوراخ را به بیرون می‌راند. پس همه ابعاد خطی سوراخ نیز با همان ضریب انبساط صفحه تغییر می‌کنند.

اما درباره فاصله میان دو میله باید هندسه را رسم کرد. اگر دو سرِ آزاد به سوی شکاف میانی منبسط شوند، کاهش شکاف برابر مجموع افزایش طول بخش‌هایی است که به سمت شکاف حرکت می‌کنند. اگر جهت تکیه‌گاه‌ها متفاوت باشد، ممکن است نتیجه فرق کند؛ بنابراین رابطه‌ای حفظی برای هر شکل وجود ندارد.

• قطر سوراخ صفحه با گرم‌شدن افزایش می‌یابد.
• برای شکاف، محل سر ثابت و جهت حرکت سر آزاد را روی شکل علامت بزن.
• تغییر شکاف را از جابه‌جایی مرزهای دو طرف بساز.

مثال حل‌شده: افزایش طول میله و بسته‌شدن شکاف

دو میله هم‌جنس، هرکدام به طول 1.5 m، از دو سوی بیرونی ثابت شده‌اند و سرهای آزاد آن‌ها روبه‌روی هم یک شکاف 1.8 mm ساخته‌اند. اگر α = 12×10⁻⁶ K⁻¹ باشد، با چه افزایش دمایی شکاف دقیقاً بسته می‌شود؟ هر میله به سوی شکاف به اندازه αL₀ΔT بلندتر می‌شود.

کاهش کل شکاف برابر مجموع انبساط دو میله است: 1.8×10⁻³ = 2(12×10⁻⁶)(1.5)ΔT. از این معادله ΔT = 50 K به دست می‌آید؛ یعنی افزایش دما 50 درجه سلسیوس نیز هست.

کنترل پاسخ: افزایش طول هر میله 0.9 mm است و جمع آن‌ها همان 1.8 mm شکاف اولیه می‌شود. پس پیش از تماس، مدل انبساط آزاد با هندسه مسئله سازگار است.

در مسئله ظرف و مایع، انبساط واقعی و ظاهری را جدا کن

وقتی ظرفِ حاوی مایع گرم می‌شود، هم مایع و هم گنجایش ظرف افزایش می‌یابد. اگر حجم اولیه مشترک V₀ باشد، افزایش حجم مایع γمایعV₀ΔT و افزایش گنجایش ظرف γظرفV₀ΔT است. حجم سرریز یا افزایش حجم ظاهری مایع، اختلاف این دو مقدار است.

پس تنها نوشتن انبساط مایع معمولاً مقدار سرریز را بیش از واقع نشان می‌دهد. در مدل ساده، ΔVظاهری = (γمایع − γظرف)V₀ΔT. اگر ظرف تا لبه پر نباشد، ابتدا باید حجم فضای خالی اولیه را هم در مقایسه وارد کنی.

• حجم واقعی مایع و گنجایش ظرف را جدا حساب کن.
• سرریز زمانی رخ می‌دهد که افزایش حجم مایع از فضای ایجادشده در ظرف بیشتر باشد.
• برای ظرف جامد همسانگرد می‌توان γظرف ≈ 3αظرف گرفت.

مسیر حل استاندارد مسئله‌های انبساط گرمایی

گام اول، شکل ساده‌ای بکش و بعد اولیه و بعد نهایی را مشخص کن. گام دوم، ΔT را با علامت بنویس و یکاهای طول، مساحت یا حجم را یکدست کن. گام سوم، تشخیص بده خواسته تغییر بعد است یا مقدار نهایی و ضریب α، β یا γ را مطابق آن انتخاب کن.

گام چهارم، اگر چند جسم یا یک ظرف و مایع وجود دارد برای هرکدام یک رابطه جدا بنویس و سپس شرط هندسی مانند بسته‌شدن شکاف یا سرریز را اعمال کن. در پایان بررسی کن گرم‌شدن با ضریب مثبت باید ابعاد آزاد را افزایش دهد و مقدار تغییر معمولاً در مقایسه با بعد اولیه کوچک است.

• بعد اولیه و تغییر دما را مشخص کن.
• ضریب متناظر با طول، سطح یا حجم را انتخاب کن.
• انبساط هر جسم را جداگانه پیدا کن.
• شرط تماس، شکاف یا سرریز را در مرحله آخر وارد کن.

خطاهای رایج و مرز کاربرد رابطه‌ها

رایج‌ترین خطاها استفاده از طول نهایی به‌جای طول اولیه، حذف علامت ΔT، به‌کاربردن α برای تغییر حجم، کوچک فرض‌کردن سوراخ صفحه هنگام گرم‌شدن و نادیده‌گرفتن انبساط ظرف‌اند. خطای دیگر این است که تغییر دو میله را بدون توجه به جهت سرهای آزاد با هم جمع یا از هم کم کنیم.

رابطه‌های این مقاله انبساط آزاد را توصیف می‌کنند. اگر میله میان دو دیوار صلب گرفتار باشد، انبساط کامل رخ نمی‌دهد و در جسم تنش گرمایی ایجاد می‌شود؛ محاسبه آن به اطلاعات مکانیکی ماده و مدل دیگری نیاز دارد. همچنین برای تغییر دمای بسیار بزرگ، ثابت‌فرض‌کردن ضریب انبساط ممکن است مناسب نباشد.