قانون هوک و فنرهای سری و موازی؛ محاسبه ثابت فنر و تغییر طول

قانون هوک و جهت نیروی فنر را درست بنویس

ثابت فنر k نشان می‌دهد برای ایجاد یک تغییر طول مشخص چه نیرویی لازم است و واحد آن نیوتن بر متر است. اگر محور x را از وضعیت طول طبیعی و در جهت کشیدگی مثبت بگیریم، نیرویی که فنر به جسم وارد می‌کند Fₛ = −kx است. علامت منفی یعنی نیرو خلاف تغییر مکان از طول طبیعی است، نه اینکه اندازه نیرو عددی منفی باشد.

فنر کشیده دو سر خود را به‌سوی هم می‌کشد و فنر فشرده دو سر خود را از هم دور می‌کند. برای تعیین جهت، به‌جای حفظ علامت بپرس فنر برای بازگشت به طول طبیعی باید جسم متصل به هر سر را به کدام سو هل دهد یا بکشد. سپس مؤلفه نیرو را مطابق محور انتخابی وارد معادله کن.

• تغییر طول: x = L − L₀؛ طول طبیعی L₀ با تغییر طول x یکی نیست.
• اندازه نیروی فنر در محدوده هوک: F = k|x|.
• شیب نمودار اندازه نیرو برحسب تغییر طول، k است.

مسیر پنج‌مرحله‌ای حل مسئله‌های فنر

ابتدا جسم یا نقطه‌ای را که می‌خواهی بررسی کنی مشخص و طول طبیعی هر فنر را ثبت کن. دوم، طول فعلی را به تغییر طول تبدیل کن. سوم، برای هر فنر جهت نیروی بازگرداننده را روی نمودار جسم آزاد بکش. چهارم، اگر چند فنر وجود دارد اتصال را از روی هندسه و شرط حرکت تشخیص بده و در صورت امکان ثابت معادل بساز.

در مرحله آخر رابطه مناسب را انتخاب کن: برای سکون یا سرعت ثابت ΣF = 0، برای حرکت شتاب‌دار ΣF = ma و برای مقایسه دو وضعیت بدون نیاز به زمان، روش انرژی می‌تواند کوتاه‌تر باشد. از واردکردن هم‌زمان کار نیروی فنر و انرژی پتانسیل کشسانی در یک حساب خودداری کن، چون اثر فنر دوبار شمرده می‌شود.

• طول‌ها را پیش از استفاده به متر تبدیل کن.
• هر جسم را جدا کن و فقط نیروهای وارد بر همان جسم را بکش.
• پس از یافتن k معادل، تغییر طول کل مجموعه را در رابطه F = kₑq x قرار بده.

فنرهای موازی؛ تغییر طول برابر و نیروهای جمع‌شونده

دو فنر وقتی موازی‌اند که دو سر متناظرشان به تکیه‌گاه و جسم مشترک وصل باشد؛ در نتیجه هر دو به اندازه x تغییر طول می‌دهند. نیروی کل برابر F = k₁x + k₂x است، پس kₑq = k₁ + k₂. برای هر تعداد فنر موازی نیز ثابت‌ها مستقیم جمع می‌شوند.

برای مثال، فنرهای 200 N/m و 300 N/m به‌صورت موازی جسمی را نگه داشته‌اند و مجموعه 4 cm کشیده شده است. ثابت معادل 500 N/m و نیروی کل 500×0.04 = 20 N است. سهم نیروی فنر اول 8 N و فنر دوم 12 N است؛ برابر بودن تغییر طول به معنی برابر بودن نیروها نیست.

فنرهای سری؛ نیروی برابر و تغییر طول‌های جمع‌شونده

در اتصال سری ایده‌آل، فنرها پشت سر هم‌اند و جرم اتصال میانی ناچیز فرض می‌شود. در حالت تعادل، اندازه نیروی کششی هر دو فنر F است، اما تغییر طول‌ها x₁ = F/k₁ و x₂ = F/k₂ هستند. چون تغییر طول کل x = x₁ + x₂ است، رابطه 1/kₑq = 1/k₁ + 1/k₂ به دست می‌آید.

اگر k₁ = 300 N/m و k₂ = 600 N/m باشند، kₑq = (k₁k₂)/(k₁+k₂) = 200 N/m است. با نیروی 12 N، تغییر طول کل 12/200 = 0.06 m می‌شود. جداگانه نیز x₁ = 0.04 m و x₂ = 0.02 m است و جمع آن‌ها همان 0.06 m را می‌دهد. فنر نرم‌تر بیشتر کشیده می‌شود.

• ثابت معادل سری از کوچک‌ترین ثابت مجموعه هم کمتر است.
• برای دو فنر یکسان k در سری، kₑq = k/2 است.
• برابری نیروها به فرض اتصال ایده‌آل و جرم ناچیز رابط وابسته است.

مثال حل‌شده: تعادل جرم آویزان از دو فنر سری

جرم 1.2 kg از مجموعه سری دو فنر با ثابت‌های 150 N/m و 300 N/m آویزان است. با فرض g = 10 m/s²، ابتدا ثابت معادل را می‌یابیم: kₑq = (150×300)/(150+300) = 100 N/m. در تعادل، نیروی رو به بالای فنر با وزن برابر است؛ پس kₑq x = mg.

تغییر طول کل x = 12/100 = 0.12 m یا 12 cm است. برای کنترل، نیروی هر فنر در اتصال سری 12 N است؛ بنابراین فنر اول 12/150 = 0.08 m و فنر دوم 12/300 = 0.04 m کشیده می‌شود. جمع این دو دقیقاً 0.12 m است. وزن را با تغییر طول برابر نگیر؛ برابری درست میان نیروهای mg و kx است.

با بریدن فنر، ثابت فنر چگونه تغییر می‌کند؟

برای یک فنر یکنواخت، ثابت فنر با طول آن نسبت وارون دارد. اگر فنر را به n بخش مساوی ببری، ثابت هر قطعه nk می‌شود؛ چون قطعه کوتاه‌تر برای همان تغییر طول به نیروی بیشتری نیاز دارد. این نتیجه را می‌توان با تصور فنر اولیه به‌صورت n فنر یکسانِ سری نیز به دست آورد.

مثلاً اگر ثابت فنر کامل 80 N/m باشد و آن را به دو نیمه مساوی ببریم، ثابت هر نیمه 160 N/m است. اگر سپس همین دو نیمه را موازی ببندیم، ثابت معادل 320 N/m خواهد شد. این قاعده فقط برای فنر یکنواخت و قطعه‌های هم‌جنس و هم‌ساختار معتبر است.

انرژی پتانسیل کشسانی را چه زمانی به کار ببریم؟

انرژی ذخیره‌شده در فنر ایده‌آل Uₛ = ½kx² است و به مربع تغییر طول وابسته است؛ فشردگی و کشیدگی هم‌اندازه، انرژی یکسان دارند. این رابطه از مساحت زیر نمودار اندازه نیرو برحسب تغییر طول از صفر تا x نیز به دست می‌آید. اگر فنر از x₁ به x₂ برود، تغییر انرژی آن ½k(x₂² − x₁²) است، نه ½k(x₂ − x₁)².

وقتی مسئله سرعت جسم را میان دو وضعیت می‌خواهد و نیروهای اتلافی وجود ندارند، راهنمای پایستگی انرژی یا کار و انرژی مسیر مناسبی است. برای نوشتن نیروها و شتاب لحظه‌ای، راهنمای نمودار جسم آزاد را به کار ببر؛ و اگر جسم حول تعادل نوسان می‌کند، مفاهیم دوره و فاز در راهنمای نوسان و موج ادامه همین بحث‌اند.

محدوده اعتبار و کنترل‌های پایانی

قانون هوک یک مدل خطی در محدوده کشسانی است. اگر فنر بیش از حد کشیده شود، ممکن است رابطه نیرو و تغییر طول دیگر خطی نباشد یا فنر پس از برداشتن نیرو به طول اولیه برنگردد. بنابراین فرمول‌های این مقاله را برای فنر ایده‌آل و در محدوده‌ای به کار ببر که صورت سؤال رفتار هوکی را فرض کرده است.

پاسخ را با سه آزمون کنترل کن: واحد k باید N/m باشد؛ فنرهای موازی باید مجموعه را سخت‌تر و فنرهای سری نرم‌تر کنند؛ و با افزایش k در نیروی ثابت، تغییر طول باید کاهش یابد. این بررسی‌های کیفی معمولاً خطای اتصال، تبدیل سانتی‌متر و وارونه‌نوشتن نسبت‌ها را آشکار می‌کنند.