برای حل مسئله سایه، ابتدا نوع چشمه را مشخص کن. چشمه نقطهای پشت جسم کدر فقط سایه کامل با مرز تیز میسازد؛ دو پرتو مماس از چشمه به لبههای جسم، مرز آن را تعیین میکنند. چشمه گسترده را مجموعهای از چشمههای نقطهای در نظر بگیر: ناحیهای که هیچ نقطه چشمه را نمیبیند سایه کامل و ناحیهای که فقط بخشی از چشمه را میبیند نیمسایه است. پس راه مطمئن، رسم پرتوهای مرزی و سپس استفاده از مثلثهای متشابه است؛ نه حفظکردن شکل نهایی.
چشمه نقطهای را از چشمه گسترده جدا کن
چشمه نقطهای در مدل نور هندسی از یک نقطه پرتو میفرستد. اگر جسم کدر جلوی آن باشد، هر نقطه پرده یا نور چشمه را میگیرد یا کاملاً از آن محروم است؛ بنابراین مرز سایه تیز است و نیمسایه تشکیل نمیشود. کوچکبودن ظاهری چشمه نسبت به فاصلههاست که استفاده از این مدل را توجیه میکند.
چشمه گسترده اندازه قابلتوجه دارد و میتوان آن را مجموعهای از نقاط نورانی دانست. جسم ممکن است برای یک نقطه پرده فقط بخشی از چشمه را بپوشاند؛ آن نقطه در نیمسایه است. اگر کل چشمه پوشیده شود، نقطه در سایه کامل قرار دارد. پس نیمسایه نتیجه پوشیدهشدن جزئی چشمه است، نه عبور بخشی از نور از جسم کدر.
- چشمه نقطهای: سایه کامل با مرز تیز
- چشمه گسترده: سایه کامل و نیمسایه
- آزمون هر نقطه پرده: چه کسری از چشمه از آن نقطه دیده میشود؟
مرز سایه چشمه نقطهای را با دو پرتو بساز
در نمای جانبی، چشمه S، جسم کدر و پرده را روی یک محور قرار بده. از S یک خط به لبه بالایی جسم و خطی دیگر به لبه پایینی آن بکش و هر دو را تا پرده ادامه بده. بخش میان محل برخورد این دو خط با پرده، سایه کامل است. پرتوهایی که از کنار جسم میگذرند روشن میکنند چرا بیرون این محدوده نور میرسد.
فرض کن اندازه عمودی جسم D، فاصله چشمه تا جسم a و فاصله جسم تا پرده b باشد و صفحه جسم با پرده موازی باشد. مثلث کوچک از چشمه تا جسم و مثلث بزرگ از چشمه تا پرده متشابهاند؛ فاصله چشمه تا پرده a + b است. بنابراین Dₛ/D = (a + b)/a و اندازه سایه روی پرده Dₛ = D(1 + b/a) میشود.
- a: فاصله چشمه تا جسم
- b: فاصله جسم تا پرده
- Dₛ = D(a + b)/a
مثال حلشده: اندازه سایه با چشمه نقطهای
جسمی به ارتفاع 12 cm در فاصله 30 cm از یک چشمه نقطهای قرار دارد و پرده 45 cm پشت جسم است. ارتفاع سایه را پیدا کن. دادهها را با تعریف فاصلهها هماهنگ میکنیم: D = 12 cm، a = 30 cm و b = 45 cm.
از تشابه داریم Dₛ = 12(1 + 45/30) = 12×2.5 = 30 cm. پاسخ باید از جسم بزرگتر باشد، زیرا پرده دورتر از جسم و مخروط پرتوها در حال بازشدن است. اگر پرده را به جسم بچسبانیم و b = 0 شود، رابطه Dₛ = D میدهد؛ این یک کنترل سریع برای درستی فرمول است.
برای چشمه گسترده چهار پرتو مرزی رسم کن
در نمای جانبی، لبه بالا و پایین چشمه و جسم را علامت بزن. دو پرتو «همنام» از لبه بالای چشمه به لبه بالای جسم و از لبه پایین چشمه به لبه پایین جسم، پس از ادامه در پشت جسم مرزهای سایه کامل را میسازند. درون این دو مرز، جسم همه چشمه را میپوشاند.
دو پرتو «ضربدری» از لبه بالای چشمه به لبه پایین جسم و از لبه پایین چشمه به لبه بالای جسم، مرز بیرونی ناحیه نیمسایه را تعیین میکنند. میان مرز سایه کامل و مرز بیرونی، فقط بخشی از چشمه دیده میشود. برچسبزدن چهار لبه پیش از رسم، جلوی جابهجایی این دو جفت پرتو را میگیرد.
- لبه همنام به لبه همنام: مرز سایه کامل
- لبه مخالف به لبه مخالف: مرز بیرونی نیمسایه
- پشت جسم، هر چهار پرتو را تا محل مورد سؤال ادامه بده.
اندازه سایه کامل و پهنه نیمسایه را محاسبه کن
برای چشمه و جسم دایرهایِ هممحور، قطر چشمه را L و قطر جسم را D بگیر. اگر فاصله چشمه تا جسم a و فاصله جسم تا پرده b باشد، تشابه روی پرتوهای همنام قطر سایه کامل را میدهد: U = D + (b/a)(D − L). تشابه روی پرتوهای ضربدری نیز قطر کل ناحیه تاریک و نیمهتاریک را میدهد: P = D + (b/a)(D + L).
ضخامت نیمسایه در هر طرف برابر (P − U)/2 = bL/a است. این نتیجه نشان میدهد با دورشدن پرده از جسم یا بزرگترشدن چشمه، نیمسایه پهنتر میشود. این روابط فقط برای چیدمان هممحور و اندازهگیری قطر در صفحههای موازی نوشته شدهاند؛ در چیدمان مایل، رسم پرتو مطمئنتر از استفاده مستقیم فرمول است.
- قطر سایه کامل: U = D + (b/a)(D − L)
- قطر کل تا مرز بیرونی نیمسایه: P = D + (b/a)(D + L)
- پهنای نیمسایه در هر سمت: bL/a
از علامت اندازه سایه کامل، پایان مخروط سایه را تشخیص بده
اگر جسم از چشمه بزرگتر باشد، D > L، مقدار U با b افزایش مییابد و سایه کامل پشت جسم ادامه دارد. اگر D = L باشد، U = D ثابت میماند. اما اگر چشمه بزرگتر باشد، D < L، قطر سایه کامل با فاصله کم میشود و در فاصله b = aD/(L − D) به صفر میرسد.
پس از این نقطه، نوشتن U منفی به معنی قطر منفی فیزیکی نیست؛ یعنی دیگر سایه کامل روی محور وجود ندارد. ناظر محوری در آن سوی رأس مخروط، جسم را در برابر بخشی از چشمه میبیند. در تست، صفرشدن U مرز هندسی مهم است و باید پیش از ادامه محاسبه تفسیر شود.
مسئله سایه و نیمسایه را در پنج گام حل و کنترل کن
یک: نمای جانبی و محور چشمه، جسم و پرده را بکش. دو: نقطهای یا گستردهبودن چشمه را تعیین کن. سه: پرتوهای مماس مرزی را رسم کن؛ دو پرتو برای چشمه نقطهای و چهار پرتو برای چشمه گسترده. چهار: فاصله چشمه تا جسم را از فاصله جسم تا پرده جدا نامگذاری کن. پنج: مثلثهای متشابه را بنویس و نتیجه را با شکل مقایسه کن.
خطاهای رایج عبارتاند از بهکاربردن فاصله چشمه تا پرده بهجای a، فرض وجود نیمسایه برای چشمه نقطهای، جابهجاکردن پرتوهای همنام و ضربدری و پذیرفتن U منفی بهعنوان اندازه. برای کنترل، در b = 0 هر دو مرز باید روی لبه جسم باشند؛ با افزایش L نیز نیمسایه باید پهنتر شود. این مدل راستخطی پایه نور هندسی است و برای ادامه میتوانی مسیر پرتو را در مقاله قانون اسنل یا تشکیل تصویر با عدسی دنبال کنی.
در مسئله سایه، نوع چشمه مسیر حل را تعیین میکند. برای چشمه نقطهای دو پرتو از همان نقطه به دو لبه جسم بکش و از تشابه، Dₛ = D(1 + b/a) را به دست آور. برای چشمه گسترده چهار پرتو مرزی لازم است: پرتوهای لبههای همنام مرز سایه کامل و پرتوهای ضربدری مرز بیرونی نیمسایه را میسازند. اگر چشمه و جسم دایرهای و هممحور باشند، روابط U = D + (b/a)(D − L) و P = D + (b/a)(D + L) محاسبه را کوتاه میکنند. علامت U، وجود یا پایان سایه کامل را نشان میدهد؛ در پایان نیز پاسخ را با حالت b = 0 و روند تغییر فاصله کنترل کن.