برای حل مسئله آینه کروی، ابتدا نوع آینه و محل کانون را روی محور اصلی مشخص کن، سپس با دو پرتو شاخص جای تقریبی تصویر را بساز. بعد قرارداد علامت را یکبار کنار شکل بنویس و از رابطه 1/f = 1/do + 1/di استفاده کن. علامت di حقیقی یا مجازیبودن تصویر و m = −di/do جهت و اندازه آن را نشان میدهد. رسم پرتو پیش از محاسبه، بهترین کنترل برای علامتها و نتیجه عددی است.
اجزای شکل آینه کروی را درست نامگذاری کن
آینه کروی بخشی از یک سطح کروی است. نقطه میانی آینه رأس P، خط گذرنده از رأس و مرکز کره محور اصلی، مرکز آن کره C و نقطه کانونی F است. در تقریب پرتوهای نزدیک محور، فاصله کانونی نصف شعاع انحناست: f = R/2.
در آینه مقعر، سطح بازتابنده بهسمت مرکز انحناست و کانون حقیقی جلوی آینه قرار دارد. آینه محدب سطح برآمده دارد و پرتوهای بازتابی آن واگرا هستند؛ امتداد این پرتوها در پشت آینه به کانون مجازی میرسد. پس F و C برای آینه مقعر جلوی آینه و برای آینه محدب پشت آن رسم میشوند.
- فاصلهها را از رأس آینه و روی محور اصلی اندازه بگیر.
- رابطه f = R/2 برای آینه کروی در تقریب پیرامحوری به کار میرود.
- جلوی آینه سمتی است که جسم و نور ورودی در آن قرار دارند.
با دو پرتو شاخص جای تصویر را پیدا کن
برای رسم تصویرِ نوک جسم به دو پرتو کافی نیاز داری. پرتوی موازی محور اصلی پس از بازتاب از آینه مقعر از کانون میگذرد؛ در آینه محدب طوری بازمیتابد که امتدادش از کانون پشت آینه بگذرد. پرتویی که در راستای کانون به آینه برسد، پس از بازتاب موازی محور میشود.
پرتوی دیگری را میتوان در راستای مرکز انحنا رسم کرد؛ این پرتو بر آینه عمود میتابد و روی مسیر خود بازمیگردد. محل برخورد پرتوهای بازتابی، تصویر حقیقی است. اگر پرتوها از هم دور شوند، امتداد نقطهچین آنها را پشت آینه ادامه بده؛ برخورد امتدادها تصویر مجازی را نشان میدهد.
- پرتوها را از نوک جسم رسم کن تا ارتفاع تصویر معلوم شود.
- برای تصویر مجازی فقط امتداد پرتوها پشت آینه همدیگر را قطع میکند.
- یک پرتو بهتنهایی محل تصویر را تعیین نمیکند؛ دستکم دو مسیر مستقل لازم است.
قرارداد علامت را پیش از جایگذاری بنویس
در این راهنما از قرارداد رایجِ فاصلههای حقیقی مثبت استفاده میکنیم: فاصله جسم حقیقی do مثبت است؛ فاصله کانونی آینه مقعر مثبت و آینه محدب منفی است؛ فاصله تصویر حقیقی جلوی آینه مثبت و فاصله تصویر مجازی پشت آینه منفی در نظر گرفته میشود. همه فاصلهها باید با همین قرارداد در یک معادله وارد شوند.
پس از محاسبه، علامت پاسخ معنی فیزیکی دارد و نباید حذف شود. di مثبت یعنی تصویر در جلوی آینه و قابل تشکیل روی پرده است؛ di منفی یعنی تصویر پشت آینه و مجازی است. اگر کتاب یا کلاس از قرارداد جهتدار دیگری استفاده میکند، میتوانی همان را به کار ببری، اما نباید علامتهای دو قرارداد را با هم مخلوط کنی.
مسیر پنجمرحلهای حل مسئله آینه
ابتدا نوع آینه، جای جسم و خواسته را روی یک محور ساده رسم کن. سپس علامت f و do را طبق قرارداد تعیین کن و جای تقریبی تصویر را با دو پرتو شاخص حدس بزن. حال رابطه آینه 1/f = 1/do + 1/di را بنویس و فقط پس از جداکردن مجهول، عددها را جایگذاری کن.
برای اندازه و جهت تصویر از m = hi/ho = −di/do استفاده کن. قدرمطلق m بزرگنمایی اندازه را میدهد: |m| بزرگتر از یک یعنی تصویر بزرگتر و کمتر از یک یعنی کوچکتر است. علامت مثبت m تصویر مستقیم و علامت منفی آن تصویر وارونه را نشان میدهد.
- شکل اولیه و جای تقریبی تصویر را بساز.
- قرارداد و علامت هر فاصله را ثبت کن.
- فاصله تصویر را از رابطه آینه به دست آور.
- بزرگنمایی و ارتفاع تصویر را محاسبه کن.
- نتیجه عددی را با رسم پرتو مقایسه کن.
مثال حلشده: جسم بیرون از مرکز آینه مقعر
آینه مقعری فاصله کانونی ۱۲ سانتیمتر دارد و جسمی با ارتفاع ۴ سانتیمتر در فاصله ۳۶ سانتیمتری آن قرار گرفته است. چون آینه مقعر و جسم حقیقی است، f = +12 cm و do = +36 cm. از 1/di = 1/12 − 1/36 = 2/36 نتیجه میشود di = +18 cm.
مثبتبودن di یعنی تصویر حقیقی در جلوی آینه تشکیل میشود. بزرگنمایی m = −18/36 = −0.5 است، پس hi = mho = −2 cm. تصویر وارونه و نصف جسم است. رسم پرتو نیز باید تصویر را میان F = 12 cm و C = 24 cm نشان دهد؛ عدد ۱۸ سانتیمتر در همین بازه قرار دارد و پاسخ را تأیید میکند.
مثال حلشده: تصویر در آینه محدب
جسمی در فاصله ۳۰ سانتیمتری آینه محدبی با اندازه فاصله کانونی ۱۰ سانتیمتر قرار دارد. در قرارداد ما f = −10 cm و do = +30 cm است. بنابراین 1/di = −1/10 − 1/30 = −4/30 و di = −7.5 cm به دست میآید.
علامت منفی نشان میدهد تصویر ۷٫۵ سانتیمتر پشت آینه و مجازی است. بزرگنمایی m = −(−7.5)/30 = +0.25 میشود؛ پس تصویر مستقیم و یکچهارم جسم است. این نتیجه با رفتار همیشگی آینه محدب برای جسم حقیقی سازگار است: تصویر مجازی، مستقیم و کوچکتر در پشت آینه.
حالتهای مهم آینه مقعر و کنترل نهایی
در آینه مقعر، جای جسم نسبت به F و C نتیجه را تغییر میدهد. جسم بیرون C تصویری حقیقی، وارونه و کوچکتر میان C و F میسازد؛ جسم روی C تصویری هماندازه روی C دارد؛ جسم میان C و F تصویری حقیقی، وارونه و بزرگتر بیرون C میسازد. اگر جسم میان F و آینه باشد، تصویر مجازی، مستقیم و بزرگتر پشت آینه تشکیل میشود.
اگر جسم دقیقاً روی F باشد، پرتوهای بازتابی موازی میشوند و تصویر محدود در فاصلهای معین تشکیل نمیشود. برای کنترل هر پاسخ، ابتدا حقیقی یا مجازیبودن را از علامت di، سپس مستقیم یا وارونهبودن را از علامت m و در پایان اندازه را از |m| بخوان. برای بررسی واحدهای رابطه نیز راهنمای تحلیل ابعادی و برای مقایسه با عبور نور از مرز دو محیط، راهنمای قانون اسنل مکمل این مقالهاند.
- آینه محدب برای جسم حقیقی همیشه تصویر مجازی، مستقیم و کوچکتر میسازد.
- در آینه مقعر، عبور جسم از کانون نوع تصویر را تغییر میدهد.
- در رابطه آینه همه فاصلهها باید یک واحد داشته باشند؛ تبدیل به SI ضروری نیست.
در آینههای کروی، شکل و محاسبه باید یکدیگر را تأیید کنند. رأس، کانون و مرکز انحنا را مشخص کن، دو پرتو شاخص بکش، قرارداد علامت را ثابت نگه دار و سپس رابطه آینه و بزرگنمایی را به کار ببر. در پایان، علامت di و m، جای تصویر و نسبت اندازهها را با رسم خود مقایسه کن؛ ناسازگاری این دو معمولاً نشانه خطای علامت یا جابهجایی فاصلههاست.