برای رسانش پایای گرما از یک میله یا دیواره یکنواخت، آهنگ انتقال گرما از رابطه P = Q/Δt = kA(T₁ − T₂)/L به دست میآید. در این رابطه k ضریب رسانندگی گرمایی ماده، A سطح عمود بر مسیر گرما، L طول مسیر و T₁ − T₂ اختلاف دمای دو سر است. گرما خودبهخود از سمت گرمتر به سمت سردتر منتقل میشود؛ پس ابتدا مسیر و سطح درست را از شکل پیدا کن، سپس همه دادهها را به SI ببر و در پایان واحد W را کنترل کن.
رسانش را انتقال انرژی بدون جابهجایی توده ماده ببین
وقتی دو سر یک میله در دماهای متفاوت نگه داشته شوند، برهمکنش ذرات و حاملهای انرژی باعث انتقال انرژی از ناحیه گرمتر به ناحیه سردتر میشود، بیآنکه خود ماده مانند یک جریان سیال از یک سر به سر دیگر برود. این سازوکار رسانش گرمایی نام دارد و با همرفت، که همراه حرکت توده سیال است، تفاوت دارد.
پس از گذشت زمان کافی ممکن است دمای هر نقطه میله دیگر با زمان تغییر نکند، هرچند انرژی همچنان از آن عبور میکند. این وضعیت را رسانش پایا مینامیم. رابطه ساده این مقاله برای میله یا دیواره یکنواخت، اختلاف دمای ثابت و انتقال تقریباً یکبعدی نوشته میشود؛ یعنی اتلاف گرما از سطحهای جانبی در مدل نادیده گرفته شده است.
- جهت انتقال خودبهخودی گرما از دمای بیشتر به دمای کمتر است.
- پایا بودن دما به معنی صفر بودن انتقال انرژی نیست.
- رابطه ساده، مدلی برای جسم یکنواخت و شرایط تقریباً ثابت است.
رابطه آهنگ رسانش را با معنای هر کمیت بخوان
اندازه آهنگ انتقال گرما در مدل پایا برابر P = Q/Δt = kA|T₁ − T₂|/L است. Q انرژی منتقلشده بر حسب ژول، Δt زمان بر حسب ثانیه و P توان گرمایی بر حسب وات است. ضریب k ویژگی رسانندگی ماده است و در SI واحد W/(m·K) دارد.
در اختلاف دما میتوان کلوین یا درجه سلسیوس به کار برد، زیرا اندازه یک اختلاف دما در این دو مقیاس برابر است. این برابری فقط برای اختلاف دماست؛ برای رابطههایی که دمای مطلق میخواهند، مانند قانون گازها، جایگزینی °C با K مجاز نیست.
- k بزرگتر: ماده در شرایط یکسان رسانای گرمایی بهتری است.
- A بزرگتر: مسیرهای بیشتری برای عبور انرژی فراهم میشود.
- L بزرگتر: آهنگ رسانش در شرایط یکسان کمتر میشود.
سطح و طول را نسبت به مسیر گرما انتخاب کن
A سطح مقطعی است که جریان گرما از آن عبور میکند و باید بر مسیر انتقال عمود باشد. در یک دیوار، گرما از سطح بزرگ دیوار میگذرد و L ضخامت دیوار است. در یک سیم یا میله بلند، A سطح مقطع میله و L فاصله میان دو سر با دماهای مشخص است.
این تشخیص هندسی از حفظکردن نامها مهمتر است. اگر ضخامت یک دیوار را بهجای مساحت در A قرار دهی، هم واحد و هم وابستگی فیزیکی پاسخ نادرست میشود. یک پیکان از سطح گرم به سرد بکش؛ طول موازی پیکان L و سطح عمود بر پیکان A است.
مسئله رسانش را در پنج گام حل کن
یک: دو سطح با دمای معلوم و جهت انتقال گرما را مشخص کن. دو: سطح عمود بر جریان و طول مسیر را از شکل استخراج کن. سه: cm و cm² را به m و m² تبدیل کن؛ برای سطح، ضریب تبدیل طول باید به توان دو برسد. چهار: ابتدا P = kAΔT/L را حساب کن و اگر انرژی خواسته شده است از Q = PΔt استفاده کن. پنج: واحد و تغییرات جواب را کنترل کن.
کنترل تناسبی سریع است: دو برابرشدن سطح یا اختلاف دما باید P را دو برابر کند؛ دو برابرشدن ضخامت باید آن را نصف کند. اگر پاسخ تو خلاف این رفتار است، معمولاً A و L جابهجا شدهاند یا تبدیل واحد سطح درست انجام نشده است.
مثال حلشده: انتقال گرما از یک دیواره شیشهای
یک صفحه شیشهای با مساحت 1.5 m² و ضخامت 5.0 mm میان دو محیط قرار دارد. دمای دو سطح آن در حالت پایا 20 °C و 5 °C و ضریب رسانندگی شیشه در این مسئله k = 0.80 W/(m·K) داده شده است. آهنگ انتقال گرما و انرژی عبوری در 10 دقیقه را پیدا کن.
ابتدا L = 5.0×10⁻³ m، اختلاف دما ΔT = 15 K و زمان Δt = 600 s است. پس P = kAΔT/L = (0.80×1.5×15)/(5.0×10⁻³) = 3600 W. جهت انتقال از سطح 20 درجه به سطح 5 درجه است.
انرژی منتقلشده برابر Q = PΔt = 3600×600 = 2.16×10⁶ J میشود. کنترل مرتبه بزرگی: ضخامت فقط چند میلیمتر است و سطح نسبتاً بزرگی داریم، پس توان چند کیلوواتی در چارچوب همین مدل دور از انتظار نیست. این عدد اتلافهای دیگر و مقاومت لایههای هوا را شامل نمیشود، چون در دادههای مسئله وارد نشدهاند.
مقایسه مواد را بدون محاسبه کامل انجام بده
اگر دو میله هماندازه با اختلاف دمای یکسان داشته باشیم، نسبت آهنگ رسانش آنها P₁/P₂ = k₁/k₂ است. اگر جنس یکسان باشد اما سطح و طول فرق کند، نسبت به شکل P₁/P₂ = (A₁/L₁)/(A₂/L₂) درمیآید. نوشتن رابطه نسبتی، دادههای مشترک را حذف و محاسبه را کوتاه میکند.
برای عایقکاری، k کمتر و L بیشتر آهنگ انتقال را کاهش میدهد. اما نمیتوان نتیجه گرفت هر دیواره واقعی فقط با یک k و یک L توصیف میشود؛ دیوار چندلایه به مقاومت گرمایی هر لایه و همچنین شرایط مرزی نیاز دارد. اگر سؤال دبیرستانی داده کافی برای لایهها نداده باشد، مدل تعیینشده در صورت مسئله را دنبال کن و فرض تازه نساز.
چهار دام رایج رسانش گرمایی را کنترل کن
نخست، P و Q را یکی نگیر: P آهنگ انتقال با واحد وات و Q انرژی با واحد ژول است. دوم، ضخامت میلیمتری را بدون تبدیل در رابطه SI نگذار. سوم، مساحت سطح بزرگ دیوار را با سطح لبه آن عوض نکن. چهارم، اختلاف دما را بگیر، نه جمع دو دما را.
از تحلیل واحد نیز کمک بگیر: [kAΔT/L] = [W/(m·K)]×[m²]×[K]/[m] = W. اگر انرژی خواسته شده باشد، ضرب وات در ثانیه ژول میدهد. برای تمرین بیشترِ کنترل واحدها راهنمای تحلیل ابعادی، و برای تشخیص تفاوت انرژی گرمایی و تغییر دما راهنمای دمای تعادل و گرماسنجی را بخوان.
در رسانش پایای یکبعدی، آهنگ انتقال گرما با رسانندگی ماده، سطح و اختلاف دما نسبت مستقیم و با طول مسیر نسبت وارون دارد. سطح را عمود بر جریان گرما و L را در امتداد آن انتخاب کن، سانتیمتر را به متر ببر و انرژی را با Q = PΔt به دست آور. پیش از استفاده از رابطه ساده، یکنواختبودن ماده، ثابتبودن دماهای دو سر و ناچیزبودن اتلاف از سطح جانبی را بررسی کن.