نیمه‌عمر و فعالیت پرتوزا؛ روش حل واپاشی هسته‌ای

نیمه‌عمر دقیقاً چه چیزی را نصف می‌کند؟

نیمه‌عمر مدت زمانی است که در آن، به‌طور آماری نیمی از هسته‌های پرتوزای موجود در یک نمونه واپاشی می‌کنند. پس از یک نیمه‌عمر N₀/2، پس از دو نیمه‌عمر N₀/4 و پس از سه نیمه‌عمر N₀/8 هسته پرتوزا باقی می‌ماند. این الگو درباره یک مجموعه بزرگ از هسته‌هاست و زمان واپاشی یک هسته منفرد را پیش‌بینی نمی‌کند.

در مدل کتاب درسی، نیمه‌عمر یک هسته پرتوزای مشخص ثابت است و با مقدار آغازین نمونه تغییر نمی‌کند. آنچه در هر بازه مساوی نصف می‌شود «مقدار باقی‌مانده در آغاز همان بازه» است؛ بنابراین در هر نیمه‌عمر مقدار مساوی از ماده کم نمی‌شود و نمودار کاهش، خط راست نیست.

• پس از n نیمه‌عمر، کسر باقی‌مانده (1/2)ⁿ است.
• کسر واپاشیده‌شده برابر 1 − (1/2)ⁿ است.
• نیمه‌عمر را با عمر نمونه یا زمان لازم برای واپاشی کامل یکی نگیر.

مسیر چهارمرحله‌ای حل مسئله نیمه‌عمر

مرحله اول کمیت اولیه و خواسته را نام‌گذاری کن: تعداد هسته N، جرم ماده پرتوزا m یا فعالیت A. مرحله دوم واحد t و T₁/₂ را یکسان کن. مرحله سوم n = t/T₁/₂ را به دست آور و مقدار باقی‌مانده را با X = X₀(1/2)ⁿ بنویس؛ X نماینده همان کمیتی است که کاهش آن را دنبال می‌کنی.

مرحله چهارم متن خواسته را دوباره بخوان. اگر «باقی‌مانده» خواسته شده، همان X پاسخ است. اگر «واپاشیده‌شده» یا «تبدیل‌شده» خواسته شده، X₀ − X را گزارش کن. در پایان باید X از X₀ کوچک‌تر باشد و با گذشت زمان کاهش یابد.

• داده و خواسته را از هم جدا کن.
• واحد همه زمان‌ها را یکسان کن.
• تعداد نیمه‌عمر را گرد نکن.
• باقی‌مانده و واپاشیده‌شده را با هم اشتباه نگیر.

مثال حل‌شده: جرم باقی‌مانده و جرم واپاشیده‌شده

نمونه‌ای ۸۰ میلی‌گرمی نیمه‌عمر ۶ ساعت دارد. پس از ۱۸ ساعت چه جرمی از ماده پرتوزا باقی مانده است؟ تعداد نیمه‌عمرها n = 18/6 = 3 است؛ پس m = 80(1/2)³ = 10 mg باقی می‌ماند.

اگر سؤال جرم واپاشیده‌شده را بخواهد، پاسخ ۱۰ میلی‌گرم نیست. باید جرم باقی‌مانده را از جرم اولیه کم کنیم: 80 − 10 = 70 mg. این محاسبه جرم هسته‌های مادرِ واپاشیده‌شده را می‌دهد؛ درباره جرم کل فرآورده‌ها فقط با اطلاعات بیشتر می‌توان داوری کرد.

زمانی که مضرب صحیح نیمه‌عمر نیست چه کنیم؟

اگر زمان سپری‌شده مثلاً ۱٫۵ برابر نیمه‌عمر باشد، نصف‌کردن مرحله‌ای به‌تنهایی کافی نیست. رابطه همچنان برقرار است: N/N₀ = (1/2)^1.5 که تقریباً 0.354 می‌شود؛ یعنی حدود ۳۵٫۴ درصد هسته‌های پرتوزا باقی مانده‌اند. گردکردن ۱٫۵ به ۱ یا ۲، پاسخ را بی‌دلیل تغییر می‌دهد.

شکل هم‌ارز رابطه، N = N₀e^(−λt) است که در آن λ ثابت واپاشی و λ = ln2/T₁/₂ است. برای سؤال‌های دبیرستانی، فرم توانی معمولاً مستقیم‌تر است؛ فرم نمایی زمانی مفید است که λ داده شده یا یافتن زمان لازم باشد.

مثال حل‌شده: یافتن زمان از روی درصد باقی‌مانده

فعالیت یک نمونه به ۱۲٫۵ درصد مقدار اولیه رسیده و نیمه‌عمر آن ۴ روز است. چون 12.5% = 0.125 = 1/8 = (1/2)³، سه نیمه‌عمر گذشته است. بنابراین t = 3×4 = 12 روز.

اگر کسر باقی‌مانده یکی از توان‌های آشنای یک‌دوم نباشد، می‌توان از لگاریتم استفاده کرد: t = T₁/₂ × ln(X/X₀) / ln(1/2). هر دو لگاریتم صورت و مخرج در این وضعیت منفی‌اند، پس زمان مثبت به دست می‌آید.

فعالیت پرتوزا چه ارتباطی با تعداد هسته‌ها دارد؟

فعالیت A آهنگ واپاشی هسته‌هاست و در مدل ساده از A = λN به دست می‌آید. چون λ برای یک ایزوتوپ ثابت است، فعالیت و تعداد هسته‌های پرتوزای باقی‌مانده نسبت یکسانی دارند: A/A₀ = N/N₀ = (1/2)^(t/T₁/₂). بنابراین فعالیت نیز پس از هر نیمه‌عمر نصف می‌شود.

یکای فعالیت در SI بکرل (Bq) است و یک بکرل یعنی یک واپاشی در ثانیه. فعالیت را با تعداد کل هسته‌های موجود در ظرف اشتباه نگیر؛ هسته‌های پایدار و فرآورده‌های دختر، مگر آنکه خود پرتوزا و در مدل مسئله منظور باشند، در N این رابطه شمرده نمی‌شوند.

نمودار واپاشی و خطاهای رایج را چگونه کنترل کنیم؟

نمودار N یا A برحسب زمان کاهشی است، در ابتدا شیب منفی بزرگ‌تری دارد و به محور زمان نزدیک می‌شود. در مدل پیوسته نمایی، مقدار آن در زمان محدود دقیقاً صفر نمی‌شود. روی نمودار می‌توان فاصله افقی میان N₀ و N₀/2، یا میان N₀/2 و N₀/4 را خواند؛ هر دو فاصله یک نیمه‌عمرند.

خطاهای رایج شامل کم‌کردن مقدار ثابتی در هر بازه، استفاده از 2ⁿ به‌جای (1/2)ⁿ، مخلوط‌کردن ساعت و روز و گزارش کسر باقی‌مانده به‌جای کسر واپاشیده‌شده است. برای کنترل توان‌ها و واحدها، راهنمای تحلیل ابعادی و کنترل واحد مفید است؛ برای ادامه مطالعه فیزیک نوین نیز راهنمای اثر فوتوالکتریک ارتباط انرژی فوتون با ماده را بررسی می‌کند.

• در t = 0 باید مقدار رابطه دقیقاً X₀ باشد.
• با افزایش t، مقدار باقی‌مانده باید کمتر شود.
• در t = T₁/₂ باید نسبت باقی‌مانده دقیقاً 1/2 باشد.
• درصد باقی‌مانده و درصد واپاشیده‌شده باید در مجموع ۱۰۰ درصد شوند.