در نمودار نیروی کشنده F بر حسب تغییر طول x، شیب بخش خطی همان ثابت فنر k است و مساحت زیر نمودار، کار نیروی خارجی برای کشیدن آرام فنر را نشان میدهد. برای فنر ایدئال F = kx، نمودار خطی از مبدأ است؛ پس k = F/x و مساحت مثلث زیر خط برابر U = ½kx² میشود. اگر نمودار خطی نباشد، دیگر یک k ثابت نداریم، اما کار همچنان از مساحت زیر منحنی F–x به دست میآید.
محورها و واحدها را پیش از محاسبه مشخص کن
در این راهنما محور افقی تغییر طول x و محور عمودی اندازه نیروی خارجی F است. اگر x بر حسب سانتیمتر داده شده باشد، پیش از محاسبه شیب یا انرژی آن را به متر تبدیل کن. واحد شیب N/m و واحد مساحت N·m = J است؛ همین دو واحد نشان میدهند که شیب با ثابت فنر و مساحت با کار مرتبط است.
در کشیدن بسیار آرام، شتاب ناچیز است و اندازه نیروی خارجی در هر نقطه با اندازه نیروی بازگرداننده فنر برابر میشود. این برابریِ اندازه به معنی یکسانبودن جهت دو نیرو نیست: نیروی خارجی در جهت کشش و نیروی فنر در خلاف تغییر طول است. نموداری که F را نشان میدهد معمولاً اندازه نیروی کشنده را رسم میکند و بالای محور قرار میگیرد.
- شیب نمودار F–x: واحد N/m
- مساحت زیر نمودار F–x: واحد J
- تبدیل ضروری: 1 cm = 0.01 m
ثابت فنر را از شیب بخش خطی پیدا کن
برای فنری که از قانون هوک پیروی میکند، اندازه نیرو و تغییر طول رابطه F = kx دارند. بنابراین در نمودار F بر حسب x، k = ΔF/Δx است. اگر خط از مبدأ بگذرد، میتوان از نسبت F/x در هر نقطه خط استفاده کرد؛ استفاده از دو نقطه دور از هم معمولاً خطای خواندن نمودار را کمتر میکند.
اگر جای محورها عوض شده و x بر حسب F رسم شده باشد، شیب برابر 1/k است، نه k. پس عبارت «شیب نمودار فنر» بهتنهایی کافی نیست؛ همیشه کمیت محور عمودی را بر کمیت محور افقی تقسیم کن. همچنین بخش افقی یا خمیده نمودار را نباید با یک شیب ثابت بهعنوان فنر ایدئال تحلیل کرد.
کار و انرژی کشسانی را از مساحت زیر نمودار به دست آور
وقتی نیرو با مکان تغییر میکند، ضرب نیروی نهایی در کل جابهجایی کار درست را نمیدهد. کار نیروی خارجی از x₁ تا x₂ برابر مساحت علامتدار زیر نمودار F–x در همان بازه است. برای خط F = kx از صفر تا x، این ناحیه مثلثی است و W_ext = ½x(kx) = ½kx² میشود.
اگر فنر آرام کشیده شود و اتلافی وجود نداشته باشد، این کار در انرژی پتانسیل کشسانی ذخیره میشود: ΔU = W_ext. اما کار خود نیروی فنر در همان کشش منفی است، چون جهت نیرو خلاف جابهجایی است: W_spring = −ΔU. جداکردن «کار روی فنر» از «کار نیروی فنر» جلوی یکی از خطاهای علامت را میگیرد.
مثال حلشده: شیب، انرژی و کار در یک بازه
نمودار F–x فنری خطی و گذرنده از مبدأ است و در x = 8 cm به F = 12 N میرسد. ثابت فنر، انرژی ذخیرهشده در این تغییر طول و کار نیروی خارجی برای افزایش تغییر طول از 4 cm به 8 cm را حساب کن.
ابتدا 8 cm = 0.08 m. شیب خط k = 12/0.08 = 150 N/m است. انرژی در x = 0.08 m برابر U₈ = ½×150×(0.08)² = 0.48 J میشود. کنترل هندسی نیز مساحت مثلث را میدهد: ½×0.08×12 = 0.48 J.
برای بازه 4 تا 8 سانتیمتر باید انرژی دو سر بازه را کم کنیم. در x = 0.04 m، نیرو 6 N و U₄ = ½×150×(0.04)² = 0.12 J است. پس W_ext = U₈ − U₄ = 0.36 J. استفاده از ½×(0.08 − 0.04)×(12 − 6) نادرست است، چون فقط مثلثی کوچک را میسنجد؛ ناحیه واقعی این بازه یک ذوزنقه است: ½(6 + 12)×0.04 = 0.36 J.
نمودار چندبخشی را به شکلهای ساده تقسیم کن
اگر نمودار از چند پارهخط ساخته شده باشد، برای کار کل مساحت مستطیل، مثلث یا ذوزنقه هر بخش را جدا حساب و جمع کن. ثابت فنر فقط برای بخشی معنا دارد که نمودار در آن خطی است؛ شیب هر پارهخط، سختی مؤثر همان بازه را نشان میدهد. شیب بیشتر یعنی برای یک تغییر طول یکسان نیروی بیشتری لازم است.
برای یافتن کار بین دو تغییر طول، فقط ناحیه میان همان دو مقدار x را بگیر. لازم نیست مساحت از مبدأ تا انتهای نمودار را حساب کنی، مگر آنکه انرژی کل نسبت به حالت بدون تغییر طول خواسته شده باشد. اگر بخشی زیر محور نیرو باشد، مساحت آن با علامت منفی وارد کار میشود.
برای فنر غیرایدهآل فرمول مثلث را کنار بگذار
در نمودار خمیده، نسبت F/x در طول کشش ثابت نیست؛ بنابراین نمیتوان یک k ثابت انتخاب و U = ½kx² را برای کل مسیر به کار برد. با این حال مساحت زیر منحنی همچنان کار نیروی خارجی را میدهد. در سؤالهای دبیرستانی، منحنی معمولاً به شکلهای هندسی یا شبکهای داده میشود تا مساحت مستقیماً برآورد یا محاسبه شود.
اگر مسیر بارگذاری و برگشت روی دو منحنی متفاوت باشد، مساحت محصور میان آنها انرژی تلفشده در یک چرخه را نشان میدهد. در این وضعیت تمام کار ورودی به انرژی کشسانی قابلبازیابی تبدیل نمیشود. بدون داده نمودار یا توضیح درباره جنس جسم، نباید مقدار اتلاف یا رفتار بازگشت را حدس زد.
پاسخ را با چهار کنترل کوتاه بررسی کن
یک: شیب را عمودی تقسیم بر افقی بنویس. دو: سانتیمتر را پیش از محاسبه به متر تبدیل کن. سه: برای نیروی متغیر، نیروی نهایی را در کل جابهجایی ضرب نکن. چهار: مشخص کن کار نیروی خارجی خواسته شده یا کار نیروی فنر؛ در کشش آرام این دو هماندازه و خلاف علامتاند.
در فنر ایدئال، دو برابرشدن تغییر طول باعث دو برابرشدن نیرو و چهار برابرشدن انرژی میشود. این تناسبها کنترل سریعی برای پاسخاند. برای مرور ترکیب فنرها و قانون هوک، راهنمای فنرهای سری و موازی را ببین؛ برای تبدیل انرژی کشسانی به تندی، مقاله انرژی نوسانگر جرم–فنر ادامه طبیعی این بحث است.
برای حل نمودار F–x، نخست محور و واحدها را بخوان. در بخش خطی، شیب ΔF/Δx ثابت فنر است؛ مساحت علامتدار زیر نمودار کار نیرویی است که روی فنر انجام میدهد و در کشیدن آرامِ فنر ایدئال به افزایش انرژی کشسانی تبدیل میشود. هنگام رهاشدن، نیروی فنر خلاف جابهجایی است و کار آن علامت مخالف دارد. اگر نمودار خمیده یا دارای مسیر رفتوبرگشت متفاوت بود، رابطه ½kx² را تحمیل نکن و مساحت واقعی را حساب کن.