اگر فقط گرانش یا نیروی فنر کار انجام دهد، میتوانی مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل را در ابتدا و انتها برابر بگیری. اگر اصطکاک، نیروی دست، موتور یا نیروی خارجی دیگری کار کند، تغییر انرژی مکانیکی برابر کار همین نیروهای غیرپایستار است. پس پیش از نوشتن فرمول، دستگاه را مشخص کن و نیروهای خارجیِ کارکننده را بشناس.
مسیر تصمیم: در سه پرسش روش را انتخاب کن
پرسش اول: دستگاه چیست؟ مثلاً اگر جسم و زمین را با هم دستگاه بگیری، اثر گرانش را میتوانی با انرژی پتانسیل گرانشی حساب کنی. اگر فقط جسم دستگاه باشد، گرانش نیرویی خارجی است و باید کار آن را در نظر بگیری. هر دو انتخاب درستاند، به شرط آنکه یک اثر را همزمان هم کار و هم انرژی پتانسیل حساب نکنی.
پرسش دوم: کدام نیروها در فاصله مورد بررسی کار انجام میدهند؟ نیروی عمودی سطح روی مسیر ثابت معمولاً بر جابهجایی عمود است و کارش صفر میشود، اما اصطکاک جنبشی کار منفی دارد. پرسش سوم: آیا نیروی غیرپایستاری کار میکند؟ اگر نه، Ki + Ui = Kf + Uf؛ اگر بله، Wnc = Δ(K + U).
- دستگاه و حالت ابتدا و انتها را مشخص کن.
- برای هر نیرو، عامل واردکننده و کار صفر، مثبت یا منفی را تعیین کن.
- گرانش یا فنر را فقط یکبار، در قالب کار یا انرژی پتانسیل، وارد کن.
چه زمانی انرژی مکانیکی پایسته است؟
انرژی مکانیکی E = K + U است. اگر در دستگاه انتخابی فقط نیروهای پایستار مانند گرانش و نیروی فنر کار کنند، انرژی مکانیکی ثابت میماند. این جمله به معنی ثابتماندن انرژی جنبشی نیست؛ هنگام سقوط، انرژی پتانسیل کم و انرژی جنبشی زیاد میشود، اما مجموع آنها ثابت است.
نیروی عمودی سطح میتواند در نمودار نیرو حضور داشته باشد و بااینحال کارش صفر باشد. بنابراین وجود یک نیروی غیر از گرانش، بهتنهایی پایستگی را رد نمیکند؛ باید بررسی کنی آن نیرو روی جابهجایی مورد نظر کار انجام میدهد یا نه.
مثال حلشده: پایینآمدن جسم از سطح شیبدار زبر
جسمی با جرم ۲ کیلوگرم از سکون، روی سطح شیبداری پایین میآید. کاهش ارتفاع آن ۱٫۵ متر، طول مسیر ۵ متر، نیروی اصطکاک جنبشی ۲ نیوتون و g = 10 m/s² است. سرعت جسم در انتهای مسیر را پیدا میکنیم. دستگاه را جسم و زمین میگیریم؛ پس گرانش با انرژی پتانسیل و اصطکاک با کار نیروی غیرپایستار وارد میشود.
سطح انرژی پتانسیل را در انتهای مسیر صفر میگیریم. در ابتدا Ki = 0 و Ui = mgh = 2×10×1.5 = 30 J است. کار اصطکاک چون خلاف جابهجایی است، Wf = −fd = −2×5 = −10 J میشود. از Wnc = Δ(K + U) داریم: −10 = Kf − 30، پس Kf = 20 J.
اکنون ½mv² = 20 و با m = 2 kg به v² = 20 میرسیم؛ بنابراین سرعت نهایی √20، یعنی تقریباً ۴٫۵ متر بر ثانیه است. کنترل فیزیکی: جسم ۳۰ ژول انرژی پتانسیل از دست داده، ۱۰ ژول بهعلت اصطکاک از انرژی مکانیکی کم شده و ۲۰ ژول باقیمانده به انرژی جنبشی تبدیل شده است.
قضیه کار و انرژی چه وقت کوتاهتر است؟
قضیه کار و انرژی میگوید کار برآیند همه نیروها برابر تغییر انرژی جنبشی است: Wnet = ΔK. وقتی جابهجایی و نیروها مستقیم داده شدهاند و ارتفاع یا فنر نقشی ندارد، این روش معمولاً کوتاه است. برای نمونه، روی سطح افقی باید کار نیروی کشش و اصطکاک را با علامت درست جمع کنی و حاصل را برابر Kf − Ki بگذاری.
رابطه Wnc = Δ(K + U) همان مسئله را با جداکردن نیروهای پایستار بیان میکند. یکی را بر اساس دادهها انتخاب کن: اگر تغییر ارتفاع یا فشردگی فنر داده شده، زبان انرژی پتانسیل راحتتر است؛ اگر نیرو و جابهجایی مستقیم داده شده، جمع کارها ممکن است سادهتر باشد. ترکیب بیقاعده این دو زبان باعث دوبارهشماری میشود.
علامت کار و مرجع انرژی پتانسیل را درست بگیر
علامت کار از زاویه نیرو با جابهجایی میآید: W = Fd cosθ. نیروی همجهت کار مثبت، نیروی خلافجهت کار منفی و نیروی عمود کار صفر دارد. منفیبودن کار اصطکاک به معنی منفیبودن اندازه نیرو نیست؛ نشان میدهد اصطکاک از انرژی جنبشی یا مکانیکی میکاهد.
صفر انرژی پتانسیل را میتوانی در هر ارتفاع مناسبی انتخاب کنی، زیرا فقط تغییر آن در پاسخ اثر دارد. نکته مهم این است که مرجع ابتدا و انتها یکسان باشد. اگر محور رو به بالا باشد، ΔUg = mg(yf − yi)؛ پایینتررفتن جسم این تغییر را منفی میکند.
خطاهای رایج و کنترل نهایی پاسخ
رایجترین خطا این است که برای گرانش هم mgh را در انرژی پتانسیل بنویسی و هم کار mg را به جمع کارها اضافه کنی. خطای دیگر، صفرگرفتن کار اصطکاک فقط به این دلیل است که مقدار آن ثابت است؛ ثابتبودن نیرو ربطی به صفرشدن کار ندارد.
در پایان، واحد همه جملههای معادله باید ژول باشد. انرژی جنبشی منفی نمیشود و سرعت بهدستآمده باید با اتلاف انرژی سازگار باشد؛ در مثال سطح زبر، سرعت باید از حالت بدون اصطکاک کمتر شود. اگر نتیجه این کنترلها را نمیگذراند، پیش از محاسبه دوباره دستگاه، علامت کارها و مرجع ارتفاع را بررسی کن.
- اثر یک نیروی پایستار را دوبار حساب نکن.
- کار اصطکاک جنبشی روی مسیر مستقیم برابر منفیِ اندازه نیرو ضربدر طول مسیر است.
- برای یافتن سرعت، ابتدا انرژی جنبشی را بهدست آور و بعد از K = ½mv² استفاده کن.
انتخاب روش از نام فصل یا شکل سؤال نمیآید؛ از دستگاه و نیروهای وارد بر آن میآید. دو حالت را مشخص کن، مرجع پتانسیل را ثابت نگه دار و نیروهای غیرپایستارِ کارکننده را فهرست کن. اگر این فهرست خالی بود از پایستگی انرژی مکانیکی و اگر خالی نبود از رابطه تغییر انرژی مکانیکی با کار آن نیروها استفاده کن؛ سپس علامت و واحد پاسخ را بسنج.