نمودار فشار–حجم و قانون اول ترمودینامیک؛ روش تشخیص کار و گرما

قرارداد علامت قانون اول را پیش از حل مشخص کن

قانون اول ترمودینامیک بیان حسابداری انرژی برای دستگاه است. با قرارداد ΔU = Q − W، اگر انرژی به‌صورت گرما وارد گاز شود Q مثبت است و اگر گاز به محیط گرما بدهد Q منفی می‌شود. W نیز وقتی مثبت است که گاز روی محیط کار انجام دهد؛ در تراکم، محیط روی گاز کار می‌کند و W گاز منفی است.

برخی کتاب‌ها کارِ انجام‌شده روی گاز را متغیر اصلی می‌گیرند و رابطه را به‌شکل ΔU = Q + Won می‌نویسند. این دو قرارداد از نظر فیزیکی یکسان‌اند، زیرا Won = −W. مشکل زمانی ایجاد می‌شود که رابطه یک قرارداد را با علامت‌های قرارداد دیگر ترکیب کنی؛ بنابراین یک جمله کوتاه مانند «W کار گاز است» بالای راه‌حل بنویس.

• گرما وارد گاز: Q > 0؛ گرما خارج از گاز: Q < 0.
• انبساط: W > 0؛ تراکم: W < 0؛ حجم ثابت: W = 0.
• افزایش انرژی درونی: ΔU > 0؛ کاهش آن: ΔU < 0.

کار گاز را چگونه از نمودار فشار–حجم بخوانیم؟

در نمودار P–V، محور عمودی فشار و محور افقی حجم است. برای یک فرایند با فشار ثابت، اندازه کار از W = PΔV به دست می‌آید؛ یعنی مساحت مستطیل زیر مسیر. اگر حجم زیاد شود ΔV مثبت و اگر کم شود منفی است. برای مسیر پله‌ای یا چند پاره، کار هر بخش افقی را جدا حساب و با علامت جمع کن؛ بخش عمودی چون ΔV = 0 دارد، کاری انجام نمی‌دهد.

اگر فشار برحسب پاسکال و حجم برحسب مترمکعب باشد، حاصل ضرب آن‌ها ژول است، زیرا Pa·m³ = J. وقتی حجم برحسب لیتر داده شده، پیش از محاسبه از 1 L = 10⁻³ m³ استفاده کن. سطح هندسی همیشه مثبت است، اما کار یک کمیت علامت‌دار است و جهت حرکت روی نمودار علامت آن را تعیین می‌کند.

مسیر پنج‌مرحله‌ای حل مسئله‌های قانون اول

ابتدا حالت آغاز و پایان هر مرحله را روی نمودار مشخص کن. سپس جهت تبادل گرما و تغییر حجم را از متن یا پیکان مسیر بخوان. کار را از سطح زیر مسیر محاسبه کن و فقط بعد از تعیین علامت‌ها، داده‌ها را در ΔU = Q − W قرار بده.

اگر فرایند چندمرحله‌ای است، می‌توان برای هر مرحله یک ردیف با ستون‌های Q، W و ΔU ساخت. مقدارهای هر ستون را در پایان جمع بزن. تغییر انرژی درونی فقط به حالت آغاز و پایان وابسته است؛ بنابراین جمع ΔU مرحله‌ها باید با تغییر انرژی درونی کل فرایند سازگار باشد.

• دستگاه و قرارداد علامت را بنویس.
• آغاز، پایان و جهت هر مسیر را مشخص کن.
• واحدهای فشار و حجم را به SI تبدیل کن.
• W را از سطح علامت‌دار زیر مسیر پیدا کن.
• قانون اول و سپس کنترل انرژی کل را اجرا کن.

مثال حل‌شده: انبساط در فشار ثابت

گازی در فشار ثابت 2.0×10⁵ Pa از حجم 3 لیتر به 7 لیتر می‌رسد و در این فرایند ۱۲۰۰ ژول گرما دریافت می‌کند. کار گاز و تغییر انرژی درونی آن را بیاب. قرارداد ما ΔU = Q − W است.

تغییر حجم برابر ΔV = (7 − 3) L = 4×10⁻³ m³ است. چون فرایند انبساطی است، کار گاز مثبت خواهد بود: W = PΔV = (2.0×10⁵)(4×10⁻³) = 800 J. گرمای دریافتی نیز Q = +1200 J است.

اکنون قانون اول را می‌نویسیم: ΔU = 1200 − 800 = 400 J. پس از انرژی ورودی، ۸۰۰ ژول صرف کار روی محیط شده و ۴۰۰ ژول انرژی درونی گاز را افزایش داده است. جمع این دو دوباره ۱۲۰۰ ژول می‌شود و تراز انرژی را تأیید می‌کند.

چرا دو مسیر با ابتدا و انتهای یکسان، کار متفاوت دارند؟

دو فرایند را در نظر بگیر که گاز را میان دو حالت یکسان جابه‌جا می‌کنند، اما یکی در فشار بالاتری منبسط می‌شود. سطح زیر مسیرِ پرفشار بزرگ‌تر است، پس گاز در آن مسیر کار بیشتری انجام می‌دهد. کار و گرما به مسیر فرایند وابسته‌اند و دانستن فقط حالت آغاز و پایان برای تعیین جداگانه آن‌ها کافی نیست.

در مقابل، ΔU برای دو مسیر با ابتدا و انتهای یکسان برابر است. بنابراین اگر W در یک مسیر بیشتر باشد، Q نیز باید به همان اندازه تغییر کند تا Q − W ثابت بماند. این مقایسه راهی سریع برای پاسخ به پرسش‌های مفهومی نمودار P–V است، حتی وقتی عددی داده نشده باشد.

فرایند چرخه‌ای را از سطح محصور حل کن

در یک چرخه، گاز سرانجام به همان حالت آغازین برمی‌گردد؛ پس تغییر انرژی درونی کل چرخه صفر است. از قانون اول نتیجه می‌شود Qnet = Wnet. این برابری به معنی صفر بودن گرمای خالص یا کار خالص نیست، بلکه می‌گوید مقدار علامت‌دار آن‌ها در کل چرخه برابر است.

کار خالص چرخه برابر سطح علامت‌دار محصور میان مسیر رفت و برگشت است. اگر جهت چرخه ساعت‌گرد باشد، انبساط عمدتاً در فشار بالاتر و تراکم در فشار پایین‌تر رخ می‌دهد و کار خالص گاز مثبت است. در جهت پادساعت‌گرد، کار خالص گاز منفی می‌شود.

خطاهای رایج و کنترل نهایی پاسخ

رایج‌ترین خطا این است که انبساط را همیشه به معنی افزایش انرژی درونی بدانیم. انبساط فقط علامت کار گاز را مشخص می‌کند؛ علامت ΔU به رقابت میان گرمای مبادله‌شده و کار بستگی دارد. در حجم ثابت نیز W صفر است، اما Q و ΔU می‌توانند غیرصفر باشند و با قرارداد این راهنما با هم برابر می‌شوند.

خطای دیگر، محاسبه کار با ضرب فشار نهایی در کل تغییر حجم برای یک مسیر غیرافقی است. کار به سطح زیر خود مسیر وابسته است؛ پس شکل مسیر را به بخش‌های قابل محاسبه تقسیم کن. برای تمرین مفهوم گرما و تغییر حالت، راهنمای نمودار گرم‌کردن را ببین و برای کنترل Pa·m³ و تبدیل لیتر، از مقاله تحلیل ابعادی و کنترل واحد کمک بگیر.

• علامت W را از جهت تغییر حجم بگیر، نه از مثبت‌بودن مساحت هندسی.
• در مسیر عمودی نمودار P–V، حجم ثابت و کار صفر است.
• در چرخه کامل ΔU = 0 است، نه لزوماً Q = 0 و W = 0.
• نتیجه هر مرحله را با تراز Q = ΔU + W کنترل کن.