نمودار انرژی پتانسیل–مکان؛ تعادل و نقطه بازگشت حرکت

محورهای نمودار U–x و خط انرژی مکانیکی را بخوان

محور افقی مکان x و محور عمودی انرژی پتانسیل U است. ارتفاع هر نقطه نمودار مقدار انرژی پتانسیل جسم در همان مکان را نشان می‌دهد؛ بنابراین این نمودار شکل مسیر حرکت جسم نیست. بالا رفتن منحنی به معنی بالا رفتن جسم در فضا نیست، مگر آنکه مسئله صریحاً انرژی گرانشی و ارتفاع را به هم مرتبط کرده باشد.

اگر فقط نیروهای پایستار کار انجام دهند، انرژی مکانیکی E = K + U ثابت است و به صورت یک خط افقی روی نمودار نمایش داده می‌شود. در هر مکان، فاصله عمودی میان خط E و منحنی U برابر K است. هرچه این فاصله بیشتر باشد، تندی جسم بیشتر است؛ برای جرم m می‌توان نوشت v = √[2(E − U)/m].

• خود منحنی U مسیر فیزیکی جسم نیست.
• خط افقی E مقدار ثابت انرژی مکانیکی را نشان می‌دهد.
• فاصله عمودی E − U برابر انرژی جنبشی است.

ناحیه مجاز حرکت و نقطه بازگشت را پیدا کن

چون K نمی‌تواند منفی باشد، شرط حرکت کلاسیکی U(x) ≤ E است. بخش‌هایی که منحنی U بالاتر از خط E قرار دارد برای جسمی با آن انرژی ممنوع‌اند. اگر نمودار چند چاه جدا داشته باشد، ممکن است چند ناحیه مجاز دیده شود؛ دانستن مکان اولیه مشخص می‌کند جسم در کدام ناحیه حرکت می‌کند.

در محل U = E، انرژی جنبشی و در نتیجه تندی صفر است. اگر این محل مرز ناحیه مجاز باشد، جسم پس از رسیدن به آن جهت حرکتش را عوض می‌کند؛ به همین دلیل نقطه بازگشت نام دارد. صفرشدن لحظه‌ای سرعت به معنی صفرشدن شتاب نیست: اگر شیب U در نقطه بازگشت صفر نباشد، نیرو و شتاب وجود دارند و جسم را به ناحیه مجاز برمی‌گردانند.

• U < E: جسم می‌تواند حرکت کند و K > 0 است.
• U = E: تندی صفر و معمولاً نقطه بازگشت است.
• U > E: آن مکان برای انرژی داده‌شده مجاز نیست.

جهت و اندازه نیرو را از شیب نمودار تشخیص بده

در حرکت یک‌بعدی، نیرو با مشتق انرژی پتانسیل مرتبط است: F = −dU/dx. علامت منفی می‌گوید نیرو به سمتی است که انرژی پتانسیل کاهش می‌یابد. اگر نمودار با افزایش x صعود کند، dU/dx مثبت و نیرو رو به چپ است؛ اگر نمودار نزولی باشد، نیرو رو به راست خواهد بود.

قدر مطلق شیب، اندازه نیرو را نشان می‌دهد. روی بخشی با شیب تندتر، اندازه نیرو بیشتر است. اگر نمودار خط راست باشد، شیب و نیرو ثابت‌اند؛ اگر منحنی باشد، نیرو با مکان تغییر می‌کند. از ارتفاع U نمی‌توان اندازه نیرو را فهمید: ممکن است U بزرگ باشد اما نمودار در همان نقطه افقی و نیرو صفر باشد.

تعادل پایدار و ناپایدار را از کمینه و بیشینه جدا کن

نقطه تعادل جایی است که شیب نمودار صفر و در نتیجه F = 0 باشد. در کمینه موضعی U، اگر جسم کمی به چپ یا راست جابه‌جا شود، نیرو به سوی نقطه تعادل برمی‌گردد؛ این تعادل پایدار است. حرکت نزدیک یک کمینه نرم، در بسیاری از مدل‌ها نوسانی است.

در بیشینه موضعی U نیز نیرو دقیقاً در رأس صفر است، اما جابه‌جایی کوچک نیرویی دورشونده ایجاد می‌کند؛ پس تعادل ناپایدار است. بخش کاملاً افقی نمودار تعادل خنثی می‌سازد، زیرا جابه‌جایی کوچک در آن بخش انرژی پتانسیل و نیرو را تغییر نمی‌دهد. بنابراین شرط F = 0 به‌تنهایی نوع تعادل را تعیین نمی‌کند و باید شکل اطراف نقطه را دید.

• کمینه U: تعادل پایدار.
• بیشینه U: تعادل ناپایدار.
• بخش افقی U: تعادل خنثی.

مثال حل‌شده: سرعت و جهت نیرو از روی U–x

جسمی با جرم 2 kg و انرژی مکانیکی ثابت 18 J در ناحیه‌ای حرکت می‌کند. در x = 3 m، نمودار انرژی پتانسیل مقدار U = 9 J دارد و در همان حوالی با افزایش هر متر، U به اندازه 4 J زیاد می‌شود. انرژی جنبشی در این نقطه K = E − U = 9 J است.

از K = ½mv² داریم 9 = ½(2)v²، پس تندی جسم 3 m/s است. شیب نمودار dU/dx = +4 J/m است و چون 1 J/m = 1 N، نیرو F = −4 N خواهد بود؛ یعنی در جهت منفی x. نمودار تندی را می‌دهد، نه جهت سرعت؛ برای تعیین اینکه جسم در آن لحظه به چپ می‌رود یا راست، به جهت حرکت اولیه یا اطلاعات دیگری نیاز داریم.

مسیر حل تست‌های نمودار تکه‌ای را مرحله‌به‌مرحله اجرا کن

نخست مقدار E و مکان اولیه را علامت بزن. سپس تقاطع‌های خط E با U را پیدا کن و فقط بازه پیوسته‌ای را نگه دار که هم شامل مکان اولیه است و هم شرط U ≤ E را دارد. برای مقایسه تندی در چند نقطه، لازم نیست سرعت‌ها را کامل حساب کنی؛ نقطه‌ای که U کمتری دارد K و تندی بیشتری دارد، به شرط یکسان‌بودن جرم.

برای جهت نیرو، شیب هر قطعه را بخوان و علامتش را برعکس کن. در گوشه تیز نمودار ایده‌آل، شیب دقیق در خود گوشه تعریف نشده است؛ معمولاً باید رفتار دو سوی نقطه را تحلیل کرد. اگر نیروی غیرپایستاری مانند اصطکاک در طول مسیر کار کند، E دیگر یک خط ثابت واحد نیست و تغییر انرژی مکانیکی برابر کار آن نیرو خواهد بود؛ در آن حالت باید بازه‌های حرکت را جداگانه بررسی کرد.

• خط E و مکان آغازین را مشخص کن.
• تقاطع‌ها و بازه مجاز U ≤ E را بیاب.
• از E − U برای تندی و از منفی شیب U برای نیرو استفاده کن.
• وجود اصطکاک یا نیروی خارجی را پیش از ثابت‌گرفتن E بررسی کن.

دام‌های رایج: سرعت صفر، نیرو صفر و انرژی مرجع

در نقطه بازگشت سرعت صفر است، اما نیرو معمولاً صفر نیست. در نقطه تعادل نیرو صفر است، اما جسم می‌تواند با سرعت غیرصفر از آن عبور کند. همچنین بیشینه تندی در کمینه U رخ می‌دهد، نه لزوماً در جایی که U = 0 باشد. این سه گزاره را جدا نگه دار تا شکل نمودار تو را به نتیجه نادرست نکشاند.

صفر انرژی پتانسیل قراردادی است و می‌توان کل نمودار U و خط E را به یک اندازه بالا یا پایین برد، بی‌آنکه حرکت تغییر کند؛ کمیت فیزیکی تعیین‌کننده اختلاف E − U و تغییرات U است. برای مرور شرط پایستگی و کار نیروهای غیرپایستار، راهنمای پایستگی انرژی یا قضیه کار و انرژی را بخوان. اگر نمودار یک چاه سهمی مربوط به فنر باشد، مقاله قانون هوک و انرژی کشسانی نیز مسیر مکمل مناسبی است.