نقص جرم و انرژی بستگی هسته‌ای؛ محاسبه پایداری هسته

نقص جرم را از تعداد پروتون و نوترون بساز

هسته‌ای با عدد اتمی Z دارای Z پروتون است. عدد جرمی A مجموع پروتون‌ها و نوترون‌هاست، پس تعداد نوترون‌ها N = A − Z می‌شود. اگر این نوکلئون‌ها جدا از هم باشند، مجموع جرمشان Zmp + Nmn است؛ جرم هسته مقید کمی کمتر از این مجموع است و اختلاف آن را نقص جرم می‌نامیم.

برای جرم هسته، رابطه Δm = Zmp + Nmn − mهسته را بنویس. مثبت‌بودن Δm یک کنترل فوری است: در هسته مقید، جرم حالت نهایی از مجموع جرم اجزای آزاد کمتر است. کم‌کردن با ترتیب وارونه، انرژی بستگی را منفی می‌کند و معنای فیزیکی محاسبه را از بین می‌برد.

• عدد نوترون را همیشه از N = A − Z پیدا کن.
• همه جرم‌ها باید با یک واحد، معمولاً u، نوشته شوند.
• در رابطه جرم هسته، جرم پروتون را با جرم اتم هیدروژن جایگزین نکن.

نقص جرم را به انرژی بستگی تبدیل کن

هم‌ارزی جرم و انرژی می‌گوید اختلاف انرژی میان نوکلئون‌های آزاد و هسته مقید برابر Δmc² است. انرژی بستگی Eb همان انرژی لازم برای جداکردن کامل هسته به پروتون‌ها و نوترون‌های آزاد است. به همان اندازه انرژی نیز هنگام تشکیل هسته از نوکلئون‌های آزاد آزاد می‌شود.

اگر Δm بر حسب کیلوگرم باشد، از c = 3.00×10^8 m/s استفاده کن تا انرژی بر حسب ژول به دست آید. در مسئله‌های هسته‌ای معمولاً جرم بر حسب u و انرژی بر حسب MeV داده می‌شود؛ در این حالت مسیر کوتاه‌تر Eb(MeV) = Δm(u)×931.5 است. عدد 931.5 ضریب تبدیل واحد است، نه جرمی که باید به Δm اضافه شود.

جرم اتمی و جرم هسته را با هم مخلوط نکن

جدول‌های جرم اغلب جرم اتم خنثی را می‌دهند؛ یعنی جرم هسته همراه با Z الکترون. اگر از جرم اتمی استفاده می‌کنی، رابطه سازگار Δm = ZmH + Nmn − mاتم است که در آن mH جرم اتم هیدروژن خنثی است. جرم Z الکترون در دو سوی این رابطه عملاً با هم حذف می‌شود.

دو مسیر درست وجود دارد: جرم پروتون‌ها را با جرم هسته مقایسه کن، یا جرم اتم‌های هیدروژن را با جرم اتم خنثی. مسیر نادرست این است که Zmp را از جرم اتم خنثی کم کنی، چون الکترون‌ها فقط در یک طرف محاسبه باقی می‌مانند. پیش از جای‌گذاری، کنار هر جرم بنویس «هسته‌ای» یا «اتمی».

مثال حل‌شده: انرژی بستگی هسته هلیوم-۴

برای هسته هلیوم-۴ داریم A = 4 و Z = 2، پس N = 2 است. فرض کن جرم پروتون 1.007276 u، جرم نوترون 1.008665 u و جرم هسته هلیوم-۴ برابر 4.001506 u داده شده باشد. نقص جرم برابر Δm = 2(1.007276) + 2(1.008665) − 4.001506 = 0.030376 u می‌شود.

انرژی بستگی کل از Eb = 0.030376×931.5 ≈ 28.3 MeV به دست می‌آید. چون هسته چهار نوکلئون دارد، انرژی بستگی به‌ازای هر نوکلئون Eb/A ≈ 28.3/4 ≈ 7.07 MeV است. گردکردن را تا مرحله آخر عقب انداختیم تا خطای عددی در تفریق جرم‌های نزدیک به هم بزرگ نشود.

پایداری را با انرژی بستگی هر نوکلئون مقایسه کن

هسته بزرگ‌تر معمولاً فقط به دلیل داشتن نوکلئون‌های بیشتر می‌تواند انرژی بستگی کل بیشتری داشته باشد. بنابراین مقایسه Eb دو هسته با Aهای متفاوت، سهم متوسط هر نوکلئون را نشان نمی‌دهد. کمیت مناسب‌تر Eb/A است: هرچه این مقدار بیشتر باشد، به طور متوسط جداکردن هر نوکلئون انرژی بیشتری می‌خواهد و اتصال نوکلئون‌ها محکم‌تر است.

این معیار را با نیمه‌عمر یکی نگیر. نیمه‌عمر آهنگ واپاشی یک نمونه پرتوزا را توصیف می‌کند، در حالی که انرژی بستگی از اختلاف جرم حالت مقید و اجزای آزاد به دست می‌آید. برای تمرین مفهوم واپاشی، راهنمای نیمه‌عمر و فعالیت پرتوزا را در بخش مطالب مرتبط بخوان.

مسیر حل و کنترل‌های نهایی را اجرا کن

یک: از نماد هسته، A و Z را بخوان و N را حساب کن. دو: نوع جرم داده‌شده را تشخیص بده و رابطه سازگار هسته‌ای یا اتمی را انتخاب کن. سه: جرم هسته یا اتم را از مجموع جرم اجزای آزاد کم کن. چهار: Δm را با ضریب 931.5 به MeV تبدیل کن. پنج: اگر سؤال مقایسه پایداری است، نتیجه را بر A تقسیم کن.

پاسخ را با سه نشانه کنترل کن: نقص جرم هسته مقید باید مثبت باشد، واحد Eb انرژی است و واحد Eb/A انرژی بر نوکلئون. اگر Δm بسیار کوچک است، رقم‌های میانی را حذف نکن. برای مرور تبدیل واحد و تشخیص بُعد کمیت‌ها نیز مقاله تحلیل ابعادی و کنترل واحد در مسائل فیزیک مفید است.

• برای یک هسته، Eb و Eb/A را با هم اشتباه نگیر.
• در تفریق جرم‌ها دست‌کم رقم‌های داده‌شده مسئله را نگه دار.
• ضریب 931.5 فقط وقتی مستقیم به کار می‌رود که جرم بر حسب u و انرژی بر حسب MeV باشد.
• مقایسه پایداری هسته‌های متفاوت را با Eb/A انجام بده، نه صرفاً Eb.