پاسخ مستقیم این است: ابتدا گرمایی را که آب گرم تا رسیدن به صفر درجه سلسیوس آزاد میکند با گرمای لازم برای رساندن یخ به صفر و ذوبکردن آن مقایسه کن. اگر گرمای آب برای ذوب همه یخ کافی نباشد، دمای نهایی صفر درجه است و مقداری یخ باقی میماند. اگر کافی باشد، یخ کاملاً ذوب میشود و گرمای اضافه، همه آب حاصل را تا دمایی بالاتر از صفر گرم میکند. بنابراین نباید از ابتدا یک دمای تعادل مجهول برای آب و یخ بنویسی؛ اول باید مرحله ذوب را تعیین کنی.
فرایند را به گرمشدن، ذوب و گرمشدن دوباره تقسیم کن
در ظرف عایق، انرژی از جسم گرمتر به جسم سردتر میرود و مجموع گرمای مبادلهشده صفر است. بااینحال، آب و یخ ممکن است پیش از رسیدن به یک دمای مشترک چند مرحله را طی کنند. یخ با دمای منفی ابتدا تا 0°C گرم میشود، سپس در همان دما ذوب میشود و فقط اگر پس از ذوب کامل انرژی باقی بماند، آب حاصل بالاتر از صفر گرم خواهد شد.
برای تغییر دمای یک ماده از Q = mcΔT و برای تغییر حالت در دمای ثابت از Q = mL_f استفاده میکنیم. در مرحله ذوب ΔT صفر است، اما انرژی جذب میشود؛ پس جایدادن کل فرایند در یک رابطه Q = mcΔT، گرمای نهان را نادیده میگیرد. در سؤالهای دبیرستان معمولاً اتلاف گرما و ظرفیت گرمایی ظرف ناچیز فرض میشود، مگر آنکه خلافش گفته شود.
- یخ زیر صفر تا صفر: Q₁ = m_i c_i(0 − T_i)
- ذوب یخ در صفر: Q₂ = m_i L_f
- آب گرم تا صفر: Q_w = m_w c_w T_w
با یک مقایسه تعیین کن یخ کامل ذوب میشود یا نه
گرمای قابل آزادشدن آب گرم تا صفر را Q_w بنام. اگر یخ ابتدا زیر صفر باشد، Q₁ را از آن کم کن؛ انرژی باقیمانده برای ذوب برابر Q_available = Q_w − Q₁ است. اکنون این مقدار را با Q₂ = m_iL_f، یعنی انرژی لازم برای ذوب تمام یخ، مقایسه کن.
اگر Q_available < Q₂ باشد، فقط جرم m_melt = Q_available/L_f از یخ ذوب میشود و دمای نهایی 0°C است. اگر دو مقدار برابر باشند، آخرین بخش یخ درست در صفر ذوب میشود. اگر Q_available > Q₂ باشد، تمام یخ ذوب شده و انرژی اضافه Q_extra = Q_available − Q₂ دمای کل آب را بالا میبرد. اگر Q_available منفی باشد، حتی رساندن یخ به صفر ممکن نیست و باید تعادل زیر صفر را با اطلاعات مربوط به فازها جداگانه بررسی کرد.
مثال اول: چه مقدار یخ در دمای نهایی باقی میماند؟
200 g آب با دمای 20°C را با 100 g یخ در دمای 0°C داخل ظرف عایق مخلوط میکنیم. با c_w = 4.2 J/(g·°C) و L_f = 334 J/g، حالت نهایی را پیدا کن.
آب تا صفر Q_w = 200×4.2×20 = 16800 J گرما آزاد میکند. برای ذوب همه یخ Q₂ = 100×334 = 33400 J لازم است. چون انرژی آب کمتر است، همه یخ ذوب نمیشود و دمای تعادل همان 0°C خواهد بود.
جرم یخ ذوبشده m_melt = 16800/334 ≈ 50.3 g است. بنابراین حدود 49.7 g یخ باقی میماند و جرم آب مایع نهایی حدود 250.3 g است. کنترل پاسخ ساده است: وجود همزمان آب و یخ در تعادل، دما را در فشار معمول روی نقطه ذوب نگه میدارد.
مثال دوم: پس از ذوب کامل، دمای نهایی را حساب کن
300 g آب در 40°C را با 50 g یخ در 0°C مخلوط میکنیم. همان ثابتهای مثال قبل را به کار ببر. آب گرم تا صفر Q_w = 300×4.2×40 = 50400 J آزاد میکند و ذوب تمام یخ Q₂ = 50×334 = 16700 J میخواهد؛ پس یخ کاملاً ذوب میشود.
پس از ذوب، Q_extra = 50400 − 16700 = 33700 J باقی است. این انرژی باید 350 g آب نهایی را از صفر تا T_f گرم کند: 33700 = 350×4.2×T_f. بنابراین T_f ≈ 22.9°C است.
میتوان پاسخ را با معادله یکخطی 300×4.2(40 − T_f) = 50×334 + 50×4.2T_f نیز کنترل کرد. این معادله فقط پس از اثبات ذوب کامل مجاز است؛ وگرنه جمله گرمشدن آب حاصل از یخ واقعیت فیزیکی مسئله را اشتباه فرض میکند.
اگر یخ زیر صفر است، گرمای گرمشدن آن را فراموش نکن
برای یخی با دمای اولیه T_i < 0، پیش از ذوب باید Q₁ = m_i c_i(0 − T_i) انرژی فراهم شود. برای نمونه، 50 g یخ در −10°C با c_i = 2.1 J/(g·°C) برای رسیدن به صفر 1050 J میخواهد؛ این مقدار باید پیش از مقایسه با گرمای نهان از انرژی آب گرم کم شود.
گرمای ویژه یخ و آب یکسان نیست. همچنین علامتها را میتوان با قرارداد Q جذبشده مثبت مدیریت کرد، اما روش بودجه انرژی معمولاً کمخطاتر است: همه انرژیهای لازم برای یخ را مثبت بنویس و آنها را با انرژی آزادشده آب مقایسه کن.
مسئلههای آب و یخ را در پنج گام حل کن
یک: جرم، دمای اولیه و فاز هر بخش را مشخص و واحدها را هماهنگ کن. دو: گرمای آزادشده بخش گرم تا 0°C را حساب کن. سه: گرمای لازم برای رسیدن یخ به صفر را، اگر زیر صفر است، کنار بگذار. چهار: انرژی باقیمانده را با گرمای نهان ذوب تمام یخ مقایسه کن. پنج: بر اساس نتیجه، جرم یخ باقیمانده یا دمای آب پس از ذوب کامل را محاسبه کن.
اگر گرماسنج ظرفیت گرمایی دارد، انرژی آزادشده یا جذبشده آن را نیز با C_calΔT وارد کن. اگر بخار، آب جوش یا چند تغییر حالت حضور دارد، همین منطق مرزی را در هر دمای تغییر حالت تکرار کن. راهنمای دمای تعادل برای نوشتن موازنه عمومی و مقاله نمودار گرمکردن برای دیدن مرحلههای تغییر حالت مکمل این مسیرند.
خطاهای رایج و کنترلهای سریع پاسخ را بشناس
رایجترین خطا این است که از ابتدا میانگین وزنی دماها گرفته شود؛ این کار گرمای نهان را حذف میکند. خطای دوم، استفاده از جرم کل یخ در mL_f بدون بررسی انرژی موجود است. خطای سوم، گرمکردن آب حاصل از ذوب تا دمای مثبت پیش از آن است که ذوب کامل ثابت شده باشد.
دمای نهایی یک سامانه عایق نباید از بیشترین دمای اولیه بالاتر یا از کمترین دمای اولیه پایینتر باشد. اگر یخ و آب هر دو در پایان باقیاند، در مدل معمول فشار ثابت دما باید 0°C باشد. در پایان نیز تراز انرژی را کنترل کن: انرژی آزادشده اجزای گرم باید با مجموع انرژی جذبشده اجزای سرد برابر باشد.
در مخلوط آب و یخ، مرز تصمیم صفر درجه سلسیوس است. آب گرم را تا صفر سرد کن، یخ زیر صفر را تا صفر گرم کن و انرژی خالص در دسترس را با mL_f مقایسه کن. کمبود انرژی یعنی یخ باقی میماند و T_f = 0°C؛ برابری یعنی همه یخ درست در صفر ذوب میشود؛ و انرژی اضافه یعنی همه یخ ذوب شده و دمای نهایی از صفر بالاتر است. این ترتیب، هم مجهول اضافی را حذف میکند و هم جلوی استفاده نابجای Q = mcΔT هنگام تغییر حالت را میگیرد.