پاسخ مستقیم این است: بخار آبِ 100 درجه هنگام میعان، بدون تغییر دما گرمای mL_v آزاد میکند و آب سرد این انرژی را میگیرد. ابتدا بسنج آیا آب سرد پیش از رسیدن به 100 درجه میتواند گرمای میعانِ همه بخار را جذب کند. اگر بله، تمام بخار مایع میشود و آب حاصل نیز تا دمای نهایی سرد میشود؛ اگر نه، فقط بخشی از بخار چگالیده میشود و مخلوط نهایی آب و بخار در 100 درجه میماند. بنابراین نباید از آغاز، دمای نهایی را میانگین دماها گرفت یا بیبررسی فرض کرد همه بخار میعان میکند.
تبادل انرژی را به تغییر حالت و تغییر دما بشکن
در مدل معمول مسئله، آب مایع با جرم m_w و دمای T_w کمتر از 100°C با بخار اشباع در 100°C تماس پیدا میکند. بخار ابتدا در همان 100 درجه میعان میکند و به ازای هر واحد جرم، گرمای نهان ویژه میعان L_v آزاد میسازد. اندازه این انرژی Q_cond = m_sL_v است؛ میعان انرژی آزاد میکند، هرچند دمای ماده در طول تغییر حالت ثابت میماند.
اگر همه بخار مایع شود و دمای نهایی T_f کمتر از 100°C باشد، آبِ حاصل از میعان نیز از 100 تا T_f سرد میشود و انرژی m_sc_w(100 − T_f) آزاد میکند. در سوی دیگر، آب اولیه از T_w تا T_f گرم میشود و m_wc_w(T_f − T_w) انرژی میگیرد. جداکردن این دو مرحله جلوی حذف گرمای نهان یا فراموشکردن سردشدن آبِ حاصل از بخار را میگیرد.
- میعان در 100°C: Q = m_sL_v
- سردشدن آب حاصل: Q = m_sc_w(100 − T_f)
- گرمشدن آب اولیه: Q = m_wc_w(T_f − T_w)
پیش از نوشتن دمای نهایی، فاز نهایی را تعیین کن
آب اولیه برای رسیدن از T_w به 100°C حداکثر Q_need = m_wc_w(100 − T_w) گرما میگیرد. همه بخار نیز با میعان در 100 درجه Q_all = m_sL_v گرما آزاد میکند. این دو مقدار را پیش از ساختن معادله دمای نهایی مقایسه کن.
اگر Q_need > Q_all باشد، حتی انرژی میعان کامل هم آب اولیه را به 100 درجه نمیرساند؛ پس تمام بخار میعان میکند و T_f کمتر از 100°C است. اگر Q_need < Q_all باشد، آب با میعان بخشی از بخار به 100 درجه میرسد و هنوز بخار باقی میماند؛ در فشار معمول، دمای نهایی دو فاز 100°C است. در حالت مرزی Q_need = Q_all، همه بخار درست در 100 درجه میعان میکند.
- Q_need > Q_all: میعان کامل و T_f < 100°C
- Q_need < Q_all: میعان جزئی و T_f = 100°C
- Q_need = Q_all: میعان کامل در مرز 100°C
در حالت میعان کامل، تراز انرژی را درست بنویس
وقتی مقایسه نشان داد همه بخار میعان میکند، انرژی آزادشده بخش گرم با انرژی جذبشده آب سرد برابر است: m_sL_v + m_sc_w(100 − T_f) = m_wc_w(T_f − T_w). جمله اول تغییر حالت بخار و جمله دوم سردشدن آبِ تازهتشکیلشده را توصیف میکند.
در این مدل از اتلاف گرما، تبخیر آب سرد، و ظرفیت گرمایی ظرف صرفنظر میشود. اگر ظرفیت گرمایی گرماسنج C_cal داده شده باشد و گرماسنج نیز ابتدا در T_w باشد، جمله C_cal(T_f − T_w) را به سمت انرژی جذبشده اضافه کن. شرط فازی را هم با همین ظرفیت جذب تازه دوباره بسنج.
مثال حلشده: میعان کامل و دمای نهایی کمتر از جوش
20 g بخار آب در 100°C را با 500 g آب در 20°C مخلوط میکنیم. c_w = 4.2 J/(g·°C) و L_v = 2260 J/g است و اتلاف را ناچیز میگیریم. ابتدا بررسی فاز: آب سرد برای رسیدن به 100 درجه به Q_need = 500×4.2×80 = 168000 J نیاز دارد، اما میعان کامل بخار Q_all = 20×2260 = 45200 J آزاد میکند. چون Q_need بزرگتر است، همه بخار میعان میکند.
اکنون تراز انرژی را مینویسیم: 20×2260 + 20×4.2×(100 − T_f) = 500×4.2×(T_f − 20). با سادهسازی، T_f ≈ 43.8°C به دست میآید. این دما میان 20 و 100 درجه است و از 100 کمتر مانده؛ پس با فرض میعان کامل سازگار است.
اگر جمله سردشدن 20 گرم آب حاصل از میعان حذف شود، بخشی از انرژی آزادشده نادیده میماند و دمای نهایی کمتر از مقدار درست محاسبه میشود. کنترل مرحلهها نشان میدهد بخار فقط گرمای نهان آزاد نمیکند؛ مایع حاصل نیز تا دمای تعادل سرد میشود.
در حالت میعان جزئی، جرم بخار چگالیده را پیدا کن
اگر انرژی میعان همه بخار بیش از نیاز آب تا نقطه جوش باشد، دمای نهایی از 100 درجه بالاتر نمیرود؛ بخشی از بخار باقی میماند. جرم لازم برای میعان از m_condensedL_v = m_wc_w(100 − T_w) به دست میآید. در این حالت آب حاصل در همان 100 درجه است و جملهای برای سردشدن آن نداریم.
برای نمونه، 20 g بخار 100 درجه را به 100 g آب 90 درجه میافزاییم. آب برای رسیدن به 100 درجه Q_need = 100×4.2×10 = 4200 J میخواهد. پس m_condensed = 4200/2260 ≈ 1.86 g است. حدود 18.14 g بخار باقی میماند و حالت نهایی، آب و بخار در 100°C است. گزارش یک دمای میانی در این مثال با وجود بخار باقیمانده ناسازگار بود.
مسئله مخلوط آب و بخار را در شش گام حل کن
یک: جرم، دما و فاز هر بخش را بنویس. دو: واحد جرم را با واحد L_v و c هماهنگ کن. سه: Q_need آب تا 100 درجه و Q_all میعان همه بخار را بساز. چهار: با مقایسه آنها فاز نهایی را تعیین کن. پنج: برای میعان کامل معادله دمای نهایی و برای میعان جزئی معادله جرم چگالیده را بنویس. شش: دما، جرم کل و انرژی را کنترل کن.
اگر بخار داغتر از 100 درجه داده شده باشد، پیش از میعان باید تا دمای جوش سرد شود و جمله m_sc_steam(T_s − 100) نیز انرژی آزاد میکند. اگر فشار با فشار معمول متفاوت باشد، دمای جوش الزاماً 100°C نیست و باید مقدار دادهشده در صورت مسئله را بهجای آن گذاشت.
چهار خطای رایج را با کنترل فیزیکی کنار بگذار
خطای اول، میانگینگیری جرمی از دمای آب و بخار است؛ این کار گرمای نهان را حذف میکند. خطای دوم، فرض خودکار میعان کامل است. خطای سوم، استفاده از گرمای ویژه بخار برای مرحله تغییر حالت است؛ هنگام میعان باید mL_v به کار رود. خطای چهارم، واردکردن دمای سلسیوس در اختلاف دما با مشکل کلوین نیست؛ اختلاف 20 درجه سلسیوس و 20 کلوین اندازه یکسان دارد، اما نقطه جوش را باید متناسب با فشار مسئله شناخت.
در پایان، اگر بخار باقی مانده است دمای تعادل باید همان دمای تغییر حالت باشد؛ اگر همه بخار میعان کرده، پاسخ باید بین دمای اولیه آب و دمای جوش قرار گیرد. جرم بخار چگالیده نیز نمیتواند از جرم اولیه بخار بیشتر شود. برای مرور تراز گرما، مراحل عمومی تغییر حالت و مقایسه با حالت آب و یخ، راهنماهای مرتبط سایت را بخوان.
در مخلوط آب و بخار، مرز تصمیم دمای جوش است. گرمای لازم برای رساندن آب اولیه به 100 درجه را با m_wc_w(100 − T_w) و گرمای آزادشده از میعان کامل بخار را با m_sL_v مقایسه کن. اگر ظرفیت جذب آب بیشتر باشد، همه بخار میعان میکند و از تراز انرژی، دمای نهایی کمتر از 100 درجه به دست میآید. اگر ظرفیت جذب آب کمتر باشد، فقط m_condensed = Q_need/L_v از بخار میعان میکند و حالت نهایی در 100 درجه شامل هر دو فاز است. فازها، واحدها و بازه دمای پاسخ را در پایان کنترل کن.