میدان و پتانسیل کره رسانا؛ تحلیل داخل، سطح و بیرون کره

پیش از فرمول، نقطه را در یکی از سه ناحیه قرار بده

کره رسانایی با شعاع R و بار خالص Q را در نظر بگیر و فاصله نقطه موردنظر تا مرکز را r بنام. اگر r < R باشد نقطه داخل رساناست، اگر r = R باشد روی سطح قرار دارد و اگر r > R باشد بیرون کره است. این مقایسه کوتاه جلوی به‌کاربردن رابطه بار نقطه‌ای در داخل رسانا را می‌گیرد.

در تعادل الکتروستاتیکی، بار اضافی روی سطح بیرونی رسانا قرار می‌گیرد و میدان درون ماده رسانا صفر است. برای کره منفرد و بدون میدان خارجی، تقارن کروی باعث می‌شود بار سطحی به‌طور یکنواخت پخش شود. روابط این مقاله برای همین مدل متقارن‌اند؛ نزدیک‌کردن بار خارجی یا رسانای دیگر، توزیع بار را تغییر می‌دهد.

• داخل: r < R، میدان صفر و پتانسیل ثابت.
• سطح: r = R، محل اتصال رابطه داخل و بیرون.
• بیرون: r > R، رفتار همانند بار نقطه‌ای در مرکز.

میدان الکتریکی را در داخل و بیرون کره جداگانه بنویس

برای r < R داریم E = 0. صفر بودن میدان به این معنی نیست که پتانسیل نیز صفر است؛ فقط نشان می‌دهد پتانسیل در تمام نقاط داخل رسانا تغییر نمی‌کند. درست بیرون سطح، اندازه میدان E = k|Q|/R² است. اگر Q مثبت باشد جهت میدان شعاعی رو به بیرون و اگر Q منفی باشد رو به مرکز است.

برای r > R اندازه میدان از E = k|Q|/r² به دست می‌آید. بنابراین با دوبرابرشدن فاصله از مرکز، میدان به یک‌چهارم می‌رسد. در خود سطح معمولاً منظور سؤال از «میدان روی سطح» مقدار درست بیرون رساناست؛ چون میدان از سمت داخل صفر و از سمت بیرون غیرصفر است، مشخص‌کردن سمت نزدیک‌شدن اهمیت دارد.

پتانسیل داخل کره را ثابت و برابر پتانسیل سطح بگیر

اگر مرجع پتانسیل را بی‌نهایت انتخاب کنیم، بیرون کره V = kQ/r است. روی سطح r = R و در نتیجه Vsurface = kQ/R خواهد بود. چون در داخل میدان صفر است، اختلاف پتانسیل میان دو نقطه داخلی نیز صفر می‌شود؛ پس برای همه rهای کوچک‌تر از R داریم V = kQ/R، نه kQ/r.

برخلاف اندازه میدان، پتانسیل کمیتی نرده‌ای و علامت‌دار است. برای کره با بار مثبت، پتانسیل مثبت و برای کره با بار منفی، منفی است. صفر بودن اختلاف پتانسیل داخل رسانا نیز به معنی صفر بودن مقدار پتانسیل نیست؛ مقدار آن به مرجع انتخاب‌شده وابسته است.

• داخل و سطح: V = kQ/R.
• بیرون: V = kQ/r.
• رابطه انرژی پتانسیل بار آزمون: U = qV.

مثال حل‌شده: مقایسه مرکز، سطح و نقطه بیرونی

کره رسانای منزوی با شعاع 0.20 m، بار Q = +2 μC دارد. با k = 9×10⁹ N·m²/C²، پتانسیل سطح برابر V = kQ/R = (9×10⁹)(2×10⁻⁶)/0.20 = 9×10⁴ V است. مرکز کره نیز دقیقاً همین پتانسیل را دارد، زیرا کل فضای داخل رسانا هم‌پتانسیل است؛ میدان مرکز و هر نقطه داخلی صفر است.

در نقطه‌ای به فاصله 0.40 m از مرکز، V = kQ/r = 4.5×10⁴ V و E = kQ/r² = 1.125×10⁵ N/C می‌شود. درست بیرون سطح، میدان kQ/R² = 4.5×10⁵ N/C است؛ دوبرابرشدن فاصله از 0.20 به 0.40 متر، میدان را یک‌چهارم و پتانسیل را نصف کرده است.

اگر یک بار آزمون q = −3 nC در نقطه بیرونی باشد، انرژی پتانسیل آن U = qV = (−3×10⁻⁹)(4.5×10⁴) = −1.35×10⁻⁴ J است. منفی‌بودن U از علامت مخالف بار آزمون و کره می‌آید؛ اما جهت میدان همچنان ویژگی بار مثبت کره و رو به بیرون است.

نمودارهای E–r و V–r را از رفتار مرزی بخوان

نمودار اندازه میدان E بر حسب r از مرکز تا پیش از سطح روی صفر قرار دارد. در r = R، مقدار درست بیرون سطح k|Q|/R² است و سپس منحنی با الگوی 1/r² کاهش می‌یابد. پس نمودار میدان در مرز سطح یک پرش دارد و نباید نقاط داخل را با منحنی 1/r² به سطح وصل کرد.

نمودار V–r در داخل یک خط افقی با مقدار kQ/R است و در سطح بدون پرش به منحنی kQ/r می‌رسد. شیب نمودار پتانسیل با مؤلفه شعاعی میدان رابطه Er = −dV/dr دارد: بخش افقی داخل با میدان صفر سازگار است و کاهش پتانسیل مثبت در بیرون، میدان رو به بیرون را نشان می‌دهد.

کار و حرکت بار آزمون را با اختلاف پتانسیل تحلیل کن

کار نیروی الکتریکی هنگام جابه‌جایی بار q از نقطه آغاز a به پایان b برابر Wfield = q(Va − Vb) است. اگر هر دو نقطه داخل همان رسانا باشند، Va = Vb و کار نیروی الکتریکی صفر می‌شود. این نتیجه حتی زمانی درست است که مقدار مشترک پتانسیل داخل صفر نباشد.

برای انتقال بار مثبت از سطح یک کره مثبت به فاصله دورتر، پتانسیل کاهش می‌یابد و نیروی میدان کار مثبت انجام می‌دهد. برای بار منفی، علامت q نتیجه کار و تغییر انرژی پتانسیل را برعکس می‌کند. پیش از نتیجه‌گیری درباره کار، علامت بار آزمون را جدا از علامت Q بنویس.

چهار دام رایج سؤال‌های کره رسانا را کنترل کن

استفاده از kQ/r برای پتانسیل داخل، یکی‌گرفتن میدان صفر با پتانسیل صفر، فراموش‌کردن علامت Q در پتانسیل، و خواندن فاصله از سطح به‌جای فاصله از مرکز چهار خطای رایج‌اند. اگر نقطه h متر از سطح فاصله داشته باشد، در رابطه بیرونی باید r = R + h قرار دهی.

مسیر کنترل نهایی کوتاه است: ناحیه نقطه را تعیین کن، رابطه E یا V همان ناحیه را بنویس، واحدها را به SI تبدیل کن و رفتار جواب را بسنج. پتانسیل در سطح باید از داخل و بیرون یک مقدار بدهد، میدان دور از کره باید به صفر نزدیک شود و واحدهای V و N/C را نباید با هم جابه‌جا کرد. برای مرور تفاوت میدان، نیرو، پتانسیل و انرژی نیز راهنمای مرتبط انتخاب کمیت الکتریکی را بخوان.