خازن‌های سری و موازی؛ روش محاسبه ظرفیت، بار و انرژی

ظرفیت خازن، بار و اختلاف پتانسیل چه ارتباطی دارند؟

خازن از دو رسانای جداشده با عایق تشکیل می‌شود و می‌تواند بارهای هم‌اندازه و ناهم‌نام را روی دو صفحه خود نگه دارد. رابطه اصلی Q = CV است؛ Q اندازه بار روی هر صفحه، V اختلاف پتانسیل دو سر خازن و C ظرفیت خازن است. ظرفیت ویژگی هندسه و ماده عایق خازن است و در مدل ایدئال با تغییر Q یا V عوض نمی‌شود.

واحد ظرفیت فاراد (F) است و چون یک فاراد برای بسیاری از خازن‌ها بزرگ است، میکروفاراد و نانوفاراد زیاد دیده می‌شوند. اگر C را برحسب μF و V را برحسب ولت در Q = CV بگذاری، Q برحسب μC به دست می‌آید. این هماهنگی پیشوندها محاسبه را کوتاه می‌کند، اما پیش از جمع یا مقایسه باید همه ظرفیت‌ها یک واحد داشته باشند.

• Q در رابطه Q = CV اندازه بار یک صفحه است، نه جمع قدرمطلق بار دو صفحه.
• یک میکروفاراد برابر ۱۰ به توان منفی ۶ فاراد است.
• در مدار جریان مستقیمِ به تعادل‌رسیده، جریان از عایق میان صفحات عبور نمی‌کند.

سری یا موازی را از روی گره‌ها تشخیص بده

دو خازن وقتی موازی‌اند که هر سر خازن اول به همان دو گره‌ای وصل باشد که دو سر خازن دوم به آن‌ها وصل است. در این حالت اختلاف پتانسیل دو خازن برابر است. چرخیده‌بودن نمادها یا دوربودن آن‌ها روی شکل این تعریف را تغییر نمی‌دهد.

دو خازن در یک بخش سری‌اند اگر گره میان آن‌ها به شاخه دیگری وصل نباشد. پس بار واردشده به آن گره نمی‌تواند مسیر دیگری پیدا کند و در حالت معمولِ گره میانیِ ابتدا خنثی، اندازه بار دو خازن برابر می‌شود. اگر از گره میانی انشعاب بیرون آمده باشد، نباید فقط به دلیل کنار هم بودن نمادها اتصال را سری فرض کنی.

ظرفیت معادل در اتصال موازی و سری

برای خازن‌های موازی، اختلاف پتانسیل مشترک است و بار کل برابر مجموع بارهاست؛ بنابراین Ceq = C1 + C2 + ... . ظرفیت معادل موازی از بزرگ‌ترین ظرفیت شبکه بیشتر است. این رفتار مانند افزودن سطح مؤثر بیشتر برای ذخیره بار است.

برای خازن‌های سری، اندازه بار مشترک است و اختلاف پتانسیل کل از جمع اختلاف پتانسیل‌ها به دست می‌آید؛ پس 1/Ceq = 1/C1 + 1/C2 + ... . ظرفیت معادل سری از کوچک‌ترین ظرفیت کمتر است. برای فقط دو خازن می‌توان نوشت Ceq = C1C2/(C1 + C2)، اما رابطه معکوس برای هر تعداد خازن کاربرد دارد.

• موازی: V مشترک، Qها جمع و Cها مستقیم جمع می‌شوند.
• سری: Q مشترک، Vها جمع و معکوس Cها جمع می‌شوند.
• بازه ظرفیت معادل یک کنترل سریع برای تشخیص اشتباه سری و موازی است.

مسیر شش‌مرحله‌ای حل شبکه خازن‌ها

ابتدا گره‌های هم‌پتانسیل را نام‌گذاری کن و ساده‌ترین گروه سری یا موازی را پیدا کن. آن گروه را با یک خازن معادل جایگزین کن و این کار را ادامه بده تا فقط یک ظرفیت میان دو سر منبع باقی بماند. سپس با ولتاژ منبع، بار معادل را از Qeq = CeqV حساب کن.

حالا مسیر ساده‌سازی را برعکس طی کن. هنگام بازکردن یک گروه سری، بار خازن‌های آن گروه برابر بار گروه است؛ هنگام بازکردن گروه موازی، ولتاژ هر شاخه با ولتاژ گروه برابر است. برای هر خازن از Q = CV مقدار مجهول را پیدا کن و در پایان جمع ولتاژهای هر مسیر میان دو سر منبع را بررسی کن.

• گره‌ها و اتصال واقعی را مشخص کن.
• گروه‌های ساده را یکی‌یکی معادل‌سازی کن.
• بار کل را از ظرفیت معادل و ولتاژ منبع بیاب.
• شبکه را از آخر به اول بازسازی کن.
• در سری از بار برابر و در موازی از ولتاژ برابر استفاده کن.
• پاسخ را با Q = CV و جمع ولتاژها کنترل کن.

مثال حل‌شده: دو خازن سری متصل به باتری

دو خازن ۶ و ۳ میکروفارادی به‌صورت سری به باتری ۱۲ ولتی وصل شده‌اند. ظرفیت معادل برابر (6×3)/(6+3) = 2 μF است. بنابراین اندازه بار گروه از Qeq = CeqV برابر 2×12 = 24 μC می‌شود. چون اتصال سری است، روی هر خازن بار ۲۴ میکروکولن قرار می‌گیرد.

اختلاف پتانسیل خازن ۶ میکروفارادی برابر V1 = Q/C1 = 24/6 = 4 V و اختلاف پتانسیل خازن ۳ میکروفارادی برابر V2 = 24/3 = 8 V است. جمع آن‌ها ۱۲ ولت و برابر ولتاژ باتری است. این مثال نشان می‌دهد در اتصال سری، خازن کوچک‌تر اختلاف پتانسیل بزرگ‌تری می‌گیرد.

مثال ترکیبی: شاخه موازی را پیش از بازسازی ساده کن

خازن‌های ۲ و ۴ میکروفارادی موازی‌اند و این گروه با خازن ۳ میکروفارادی سری شده است. ابتدا ظرفیت گروه موازی را 2 + 4 = 6 μF می‌یابیم. اکنون شبکه به دو خازن ۶ و ۳ میکروفارادیِ سری تبدیل شده و ظرفیت کل برابر (6×3)/(6+3) = 2 μF است.

اگر شبکه به باتری ۹ ولتی وصل باشد، بار هر بخش سری 2×9 = 18 μC است. ولتاژ گروه ۶ میکروفارادی برابر 18/6 = 3 V است؛ پس هر دو خازن موازی ۳ ولت دارند. بار آن‌ها به‌ترتیب 2×3 = 6 μC و 4×3 = 12 μC است و جمع این دو بار، ۱۸ میکروکولنِ بار گروه را بازمی‌سازد.

انرژی خازن و تفاوت باتریِ متصل با خازنِ جداشده

انرژی ذخیره‌شده در خازن را می‌توان با U = (1/2)CV²، یا پس از معلوم‌شدن Q و V با U = (1/2)QV نوشت. برای شبکه‌ای که میان دو سر منبع با ولتاژ ثابت V قرار دارد، انرژی کل نیز از Utotal = (1/2)CeqV² به دست می‌آید. ژول واحد انرژی است؛ برای استفاده مستقیم از این رابطه، ظرفیت را به فاراد تبدیل کن.

پیش از تحلیل هر تغییر هندسی، وضعیت باتری را بخوان. اگر خازن از باتری جدا و سپس تغییر داده شود، در مدل ایدئال راهی برای خروج بار نیست و Q ثابت می‌ماند. اگر باتری همچنان متصل باشد، V ثابت می‌ماند و باتری می‌تواند بار جابه‌جا کند. اشتباه‌گرفتن کمیت ثابت، نتیجه انرژی و بار را تغییر می‌دهد. برای مرور معنای اختلاف پتانسیل، راهنمای میدان یا پتانسیل الکتریکی مکمل این بخش است.

خطاهای رایج و چک نهایی پاسخ

برابری بارها را به همه خازن‌های شبکه تعمیم نده؛ این برابری فقط برای اجزای یک بخش سری با شرایط معمول گره میانی است. به همین ترتیب، برابری ولتاژ فقط برای شاخه‌های موازی برقرار است. در شبکه ترکیبی باید هر گروه را جدا تحلیل کنی.

برای تشخیص گره‌ها می‌توانی سیم‌های ایدئال را بدون بریدن یا اتصال تازه خم کنی و شکل را دوباره بکشی؛ این همان مهارتی است که در ساده‌سازی مدارهای الکتریکی به کار می‌آید. برای کنترل عددها نیز واحدهای μF، μC و V را سازگار نگه دار و در صورت تردید از روش تحلیل ابعادی استفاده کن.

• ظرفیت معادل سری باید از کوچک‌ترین ظرفیت کمتر باشد.
• ظرفیت معادل موازی باید از بزرگ‌ترین ظرفیت بیشتر باشد.
• در هر مسیر سری میان دو سر منبع، جمع اختلاف پتانسیل‌ها با ولتاژ منبع برابر است.
• پس از بازسازی، بارهای شاخه‌های موازی باید بار کل گروه را بسازند.