میدان الکتریکی یا پتانسیل الکتریکی؟ راهنمای انتخاب رابطه

مسیر تصمیم از خواسته سؤال

پیش از نوشتن رابطه، دور کمیت خواسته‌شده خط بکش. برای نیرو و شتاب، ابتدا میدان ناشی از بارهای منبع را در محل بار آزمون پیدا کن و سپس F = qE و قانون دوم نیوتن را به کار ببر. برای انرژی پتانسیل، کار نیروی الکتریکی یا سرعت یک ذره بین دو نقطه، ابتدا اختلاف پتانسیل را پیدا کن و از ΔU = qΔV و پایستگی انرژی کمک بگیر.

اگر خود میدان یا پتانسیل خواسته شده است، بار آزمون جزو محاسبه منبع نیست. میدان و پتانسیل ویژگی آرایش بارهای منبع در یک نقطه‌اند؛ بار آزمون فقط مشخص می‌کند در آن نقطه چه نیرو یا انرژی پتانسیلی خواهد داشت.

• نیرو یا شتاب: E ← F = qE ← سپس Fnet = ma
• کار یا تغییر سرعت: ΔV ← ΔU = qΔV ← سپس رابطه انرژی
• چند بار منبع: میدان‌ها را برداری و پتانسیل‌ها را جبری جمع کن.

چرا میدان برداری و پتانسیل نرده‌ای است؟

میدان بار نقطه‌ای اندازه E = k|Q|/r² دارد. جهت آن در راستای خط واصل است: از بار مثبت دور و به بار منفی نزدیک می‌شود. برای چند بار، جهت هر میدان را جداگانه روی شکل بکش، آن‌ها را به مؤلفه‌ها تجزیه کن و مؤلفه‌های هم‌راستا را با علامت جمع کن.

پتانسیل بار نقطه‌ای V = kQ/r است و جهت ندارد. علامت Q در رابطه حفظ می‌شود و پتانسیل کل برابر جمع جبری پتانسیل همه بارهاست. پس ممکن است پتانسیل یک نقطه صفر باشد اما میدان آن صفر نباشد؛ صفرشدن جمع عددی پتانسیل‌ها درباره جمع برداری میدان‌ها حکم نمی‌دهد.

علامت بار آزمون چگونه جهت نیرو و انرژی را عوض می‌کند؟

جهت میدان را همیشه با بار آزمون مثبت تعریف می‌کنیم. اگر بار آزمون مثبت باشد، نیرو هم‌جهت میدان است؛ اگر منفی باشد، از F = qE نتیجه می‌شود نیرو خلاف میدان است. منفی‌بودن q اندازه میدان را عوض نمی‌کند، بلکه جهت نیروی وارد بر ذره را برمی‌گرداند.

در رابطه ΔU = q(Vf − Vi)، علامت q نیز باید حفظ شود. ذره مثبت وقتی در جهت میدان حرکت می‌کند به پتانسیل و انرژی پتانسیل کمتر می‌رود، اما برای ذره منفی کاهش انرژی پتانسیل می‌تواند با حرکت به‌سوی پتانسیل بیشتر رخ دهد. بنابراین جمله حفظی «ذره همیشه به پتانسیل کمتر می‌رود» درست نیست.

مثال حل‌شده: انرژی جنبشی پروتون میان دو نقطه

پروتونی از سکون در نقطه A با پتانسیل ۱۲۰ ولت رها می‌شود و فقط نیروی الکتریکی بر آن کار می‌کند. اگر به نقطه B با پتانسیل ۲۰ ولت برسد، انرژی جنبشی نهایی را پیدا می‌کنیم. داده اصلی اختلاف پتانسیل است، پس مسیر انرژی کوتاه‌تر از محاسبه میدان و نیرو خواهد بود.

اختلاف پتانسیل برابر ΔV = VB − VA = 20 − 120 = −100 V است. چون بار پروتون +e است، ΔU = e(−100 V) = −100 eV. پایستگی انرژی مکانیکی می‌دهد ΔK = −ΔU؛ بنابراین انرژی جنبشی پروتون ۱۰۰ الکترون‌ولت افزایش می‌یابد و چون از سکون شروع کرده، Kf = 100 eV است.

برای تبدیل به ژول می‌توان از e = 1.6×10⁻¹⁹ C استفاده کرد: Kf = 100×1.6×10⁻¹⁹ = 1.6×10⁻¹⁷ J. کنترل علامت: پروتون مثبت به پتانسیل کمتر رفته، انرژی پتانسیلش کم شده و همان مقدار به انرژی جنبشی افزوده شده است.

نقطه صفر میدان با نقطه صفر پتانسیل یکی نیست

برای یافتن نقطه میدان صفر، باید بردار میدان‌های منبع هم‌اندازه و خلاف‌جهت باشند. پس علاوه بر فاصله، جهت میدان‌ها هم مهم است. بین دو بار هم‌نام، میدان‌ها خلاف‌جهت‌اند و ممکن است نقطه تعادل پیدا شود؛ بین دو بار ناهم‌نام، میدان‌ها در ناحیه میان دو بار هم‌جهت‌اند و آنجا یکدیگر را خنثی نمی‌کنند.

برای پتانسیل صفر فقط جمع جبری kQi/ri را صفر قرار می‌دهیم. بارهای هم‌نام پتانسیل‌هایی هم‌علامت می‌سازند و در فاصله محدود جمعشان صفر نمی‌شود؛ بارهای ناهم‌نام می‌توانند نقطه یا نقاط پتانسیل صفر داشته باشند. در هر دو مسئله، نقطه‌ای که خود بار منبع قرار دارد از دامنه محاسبه کنار گذاشته می‌شود.

خطاهای رایج و کنترل نهایی

یکی از خطاهای رایج، واردکردن علامت بار منبع در اندازه E و سپس تغییر دوباره جهت میدان است. اندازه را با |Q| حساب کن و جهت را جداگانه از علامت بار منبع تعیین کن. خطای دیگر، جمع‌کردن اندازه میدان‌ها بدون توجه به جهت یا رسم جهت نیروی بار منفی همانند میدان است.

در پایان واحد را بررسی کن: میدان با N/C یا V/m، پتانسیل با V، انرژی با J و بار با C بیان می‌شود. اگر فاصله دو برابر شود، سهم یک بار نقطه‌ای در میدان به یک‌چهارم و در پتانسیل به یک‌دوم می‌رسد؛ این رفتار حدی راهی سریع برای کنترل رابطه انتخاب‌شده است.

• ابتدا منبع‌ها را از بار آزمون جدا کن.
• برای میدان شکل و جهت‌ها را بکش؛ برای پتانسیل علامت بارها را نگه دار.
• اختلاف پتانسیل را همیشه با ترتیب نهایی منهای ابتدایی بنویس.