برای خازن تختِ هوا یا خلأ، ظرفیت از C = ε₀A/d به دست میآید؛ A مساحت روبهروی همِ دو صفحه و d فاصله آنهاست. پس افزایش سطح همپوشانی ظرفیت را زیاد و افزایش فاصله ظرفیت را کم میکند. پس از پیدا کردن C، وضعیت اتصال را مشخص کن: با باتری متصل، V ثابت و Q = CV متغیر است؛ با باتری جدا، Q ثابت و V = Q/C متغیر میماند. همین تصمیم، رفتار انرژی ذخیرهشده را نیز تعیین میکند.
ظرفیت را از هندسه خازن تخت بساز
برای دو صفحه رسانای موازی که فاصلهشان در مقایسه با ابعاد صفحه کوچک است، C = ε₀A/d. ثابت ε₀ گذردهی خلأ است و برای هوا معمولاً همان مقدار خلأ در نظر گرفته میشود. ظرفیت به بار یا ولتاژ لحظهای وابسته نیست؛ شکل، اندازه صفحهها و ماده میان آنها ظرفیت را تعیین میکنند.
در این رابطه A سطح مشترکی است که دو صفحه روبهروی هم دارند. اگر صفحهها روی هم بلغزند، باید مساحت همپوشانی تازه را حساب کرد، نه مساحت کامل هر صفحه. همه دادهها را پیش از جایگذاری به SI ببر: سانتیمتر مربع در 10⁻⁴ ضرب و میلیمتر در 10⁻³ ضرب میشود.
- A دو برابر شود: C دو برابر میشود.
- d دو برابر شود: C نصف میشود.
- بار یا ولتاژ عوض شود: هندسه ثابت، پس C ثابت میماند.
پیش از محاسبه، کمیت ثابت را از وضعیت باتری تشخیص بده
اگر خازن هنگام تغییر هندسه همچنان به باتری آرمانی وصل باشد، باتری اختلاف پتانسیل V را ثابت نگه میدارد و میتواند بار را جابهجا کند؛ بنابراین Q = CV همراه ظرفیت تغییر میکند. عبارتهایی مثل «متصل به منبع» یا نمایش باتری در مدار نشانه این حالتاند.
اگر کلید باز یا باتری جدا شده باشد و راه رسانایی دیگری وجود نداشته باشد، بار Q روی صفحهها ثابت میماند. در این حالت تغییر ظرفیت، ولتاژ را طبق V = Q/C عوض میکند. ثابتدانستن همزمان Q و V هنگام تغییر C، مگر با توضیح ویژه صورت سؤال، ناسازگار است.
مثال حلشده: تغییر فاصله با باتری متصل
خازنی با ظرفیت اولیه ۶ میکروفاراد به باتری ۱۲ ولت متصل است. فاصله صفحهها بدون تغییر مساحت، سه برابر میشود و اتصال باتری برقرار میماند. ظرفیت و بار نهایی را پیدا کن.
چون C با d نسبت وارون دارد، C₂ = C₁/3 = 2 μF. باتری متصل است، پس V₂ = 12 V. از Q₂ = C₂V₂ داریم Q₂ = (2 μF)(12 V) = 24 μC. بار اولیه ۷۲ میکروکولن بود، بنابراین ۴۸ میکروکولن بار از راه مدار به باتری بازگشته است.
کنترل کیفی: دورکردن صفحهها ظرفیت را کم کرده و در ولتاژ ثابت باید بار نیز کم شود. اگر در این حالت بار را ثابت فرض کنیم، نقش باتری را نادیده گرفتهایم.
مثال حلشده: کاهش سطح همپوشانی پس از جداسازی باتری
خازن تختی را شارژ و سپس از باتری جدا میکنیم. اگر با ثابتماندن فاصله، سطح همپوشانی صفحهها به یکچهارم برسد، ظرفیت، بار و ولتاژ چگونه تغییر میکنند؟
از C ∝ A نتیجه میشود C₂ = C₁/4. چون باتری جداست، Q₂ = Q₁. اکنون V = Q/C نشان میدهد V₂ = 4V₁. افزایش ولتاژ از ثابتماندن بار روی ظرفیتی کوچکتر میآید؛ باتریای وجود ندارد که ولتاژ را ثابت نگه دارد.
این سؤال عدد لازم ندارد. نوشتن نسبت C₂/C₁ و سپس مشخصکردن کمیت ثابت، مسیر کوتاهتر و کمخطاتری از جایگذاری مقدار ε₀ است.
رابطه انرژی را بر اساس کمیت ثابت انتخاب کن
انرژی خازن را میتوان به سه شکل U = 1/2 CV²، U = Q²/(2C) و U = 1/2 QV نوشت. هر سه همارزند، اما برای مقایسه باید رابطهای را انتخاب کنی که کمیت ثابت در آن آشکار باشد. با باتری متصل و V ثابت، U با C متناسب است؛ با باتری جدا و Q ثابت، U با 1/C متناسب میشود.
پس افزایش فاصله، ظرفیت را کم میکند. در حالت متصل انرژی ذخیرهشده کم میشود، ولی در حالت جدا انرژی افزایش مییابد. افزایش انرژی در حالت جدا از کاری میآید که عامل بیرونی برای دورکردن صفحههای دارای جاذبه الکتریکی انجام میدهد؛ انرژی بدون منبع ایجاد نشده است.
- باتری متصل: V ثابت، پس U ∝ C.
- باتری جدا: Q ثابت، پس U ∝ 1/C.
- برای گزارش انرژی از ژول استفاده کن.
میدان میان صفحهها را با ولتاژ و فاصله کنترل کن
در تقریب خازن تخت و دور از لبهها، میدان میان صفحهها یکنواخت و E = V/d است. با باتری متصل، V ثابت است؛ پس افزایش d میدان را کاهش میدهد. با باتری جدا و سطح صفحه ثابت، Q ثابت میماند و E = Q/(ε₀A) تغییر نمیکند، هرچند V = Ed با فاصله افزایش مییابد.
اگر سطح همپوشانی در حالت جدا تغییر کند، چگالی سطحی بار و میدان نیز میتوانند تغییر کنند؛ پس نتیجه ثابتبودن E را بیدلیل به هر تغییر هندسی تعمیم نده. ابتدا مشخص کن کدام یک از d و A عوض شده است.
مسئله را با چهار گام حل و دامها را کنترل کن
یک: نسبت ظرفیتها را از C ∝ A/d بنویس. دو: متصل یا جدا بودن باتری را تعیین و کنار شکل V ثابت یا Q ثابت یادداشت کن. سه: Q = CV را برای بار و ولتاژ و رابطه مناسب U را برای انرژی به کار ببر. چهار: جهت تغییر هر کمیت و واحد پاسخ را کنترل کن.
دامهای رایج عبارتاند از استفاده از مساحت یک صفحه به جای سطح همپوشانی، تبدیلنکردن cm² به m²، ثابتگرفتن بار در حالت متصل و استفاده از U = 1/2 CV² برای تناسبگیری در حالی که V ثابت نیست. وجود دیالکتریک نیز یک تغییر جداگانه است و باید ضریب آن وارد ظرفیت شود؛ مقاله مرتبط حالتهای دیالکتریک را کامل میکند.
در هر مسئله خازن تخت، اول هندسه را به C = ε₀A/d تبدیل و فقط سطح همپوشانی را برای A استفاده کن. سپس از روی شکل یا متن تعیین کن باتری متصل است یا جدا: اتصال یعنی V ثابت و جدایی یعنی Q ثابت. در پایان Q = CV و یکی از رابطههای انرژی را متناسب با کمیت ثابت انتخاب کن. کنترل تناسبها نیز سریع است: C با A مستقیم و با d وارون تغییر میکند.