اگر بار q از نقطه A با پتانسیل V_A به نقطه B با پتانسیل V_B برود، ابتدا ΔV = V_B − V_A را بنویس. تغییر انرژی پتانسیل الکتریکی برابر ΔU = qΔV و کار نیروی الکتریکی برابر W_e = −ΔU = q(V_A − V_B) است. برای حرکت آزادانه و در نبود نیروی اتلافی، کاهش انرژی پتانسیل به افزایش انرژی جنبشی تبدیل میشود؛ یعنی ΔK = W_e. علامت q را در محاسبه نگه دار: بار مثبت خودبهخود به سوی پتانسیل کمتر و بار منفی به سوی پتانسیل بیشتر شتاب میگیرد.
پتانسیل، انرژی پتانسیل و کار را از هم جدا کن
پتانسیل الکتریکی V ویژگی یک نقطه از میدان است و به بار آزمایشی وابسته نیست. انرژی پتانسیل U به آرایش بارها مربوط است و برای بار q در یک پتانسیل معین از U = qV، نسبت به مرجع انتخابشده، به دست میآید. بنابراین یک نقطه میتواند پتانسیل مثبت داشته باشد، اما انرژی پتانسیل یک بار منفی در آن نقطه منفی باشد.
در بیشتر مسئلهها مقدار مطلق U لازم نیست و تغییر آن کافی است. برای جابهجایی از A به B مینویسیم ΔU = U_B − U_A = q(V_B − V_A). ولت همان ژول بر کولن است؛ پس حاصل کولن در ولت، ژول میشود و واحد qΔV یک کنترل سریع برای انرژی و کار است.
- اختلاف پتانسیل: ΔV = V_B − V_A
- تغییر انرژی پتانسیل: ΔU = qΔV
- کار نیروی الکتریکی: W_e = −ΔU
علامتها را با ترتیب مقصد منهای مبدأ تعیین کن
نامگذاری دو نقطه جلوی بسیاری از خطاها را میگیرد. نقطه شروع را A و مقصد را B بنام، سپس بدون توجه به نوع بار ΔV = V_B − V_A را حساب کن. در مرحله بعد q را با علامت خودش در ΔU = qΔV قرار بده. اگر ΔU منفی شد، انرژی پتانسیل دستگاه کاهش یافته و کار میدان مثبت است.
برای بار مثبت، علامت ΔU با ΔV یکسان است؛ رفتن به پتانسیل کمتر انرژی پتانسیل را کم میکند. برای بار منفی، علامتها برعکساند؛ رفتن الکترون به پتانسیل بیشتر میتواند انرژی پتانسیل آن را کاهش دهد. قاعده «بار همیشه به ولتاژ کمتر میرود» فقط برای بار مثبت درست است.
کار میدان را با کار عامل خارجی اشتباه نگیر
چون نیروی الکتریکی در میدان الکتروستاتیکی پایستار است، کار آن برابر منفی تغییر انرژی پتانسیل است: W_e = −ΔU. اگر میدان انرژی پتانسیل را کم کند، روی ذره کار مثبت انجام میدهد. اگر انرژی پتانسیل افزایش یابد، کار میدان منفی است و برای آن جابهجایی معمولاً باید انرژی از بیرون تأمین شود.
اگر یک عامل خارجی ذره را بسیار آرام جابهجا کند، تغییر انرژی جنبشی ناچیز است و کار عامل خارجی W_ext = ΔU میشود؛ در نتیجه W_ext = −W_e. این برابری مخصوص جابهجایی آرام و نبود اتلاف است. اگر ذره شتاب بگیرد یا نیروی دیگری مانند اصطکاک کار کند، باید قضیه کار و انرژی را برای همه نیروها بنویسی.
مثال حلشده: کار میدان و سرعت یک پروتون
پروتونی با بار q = +1.6×10⁻¹⁹ C از سکون، از نقطه A با پتانسیل 300 V به نقطه B با پتانسیل 100 V میرود. تغییر انرژی پتانسیل و کار نیروی الکتریکی را بیاب. سپس با جرم پروتون m = 1.67×10⁻²⁷ kg تندی آن را در B، با صرفنظر از نیروهای دیگر، حساب کن.
اختلاف پتانسیل مقصد نسبت به مبدأ ΔV = 100 − 300 = −200 V است. پس ΔU = qΔV = (1.6×10⁻¹⁹)(−200) = −3.2×10⁻¹⁷ J و W_e = −ΔU = +3.2×10⁻¹⁷ J. کار مثبت میدان با حرکت بار مثبت به سوی پتانسیل کمتر سازگار است.
چون پروتون از سکون شروع کرده و فقط میدان کار میکند، K_B = W_e. از ½mv² = 3.2×10⁻¹⁷ به v = √(2×3.2×10⁻¹⁷ / 1.67×10⁻²⁷) میرسیم؛ بنابراین v حدود 1.96×10⁵ m/s است. مثبتبودن انرژی جنبشی و کمتر بودن تندی از سرعت نور دو کنترل ساده پاسخاند.
برای بار منفی، جهت خودبهخودی را جداگانه بررسی کن
فرض کن الکترونی از پتانسیل 20 V به پتانسیل 70 V جابهجا شود. این بار ΔV = +50 V اما q = −e است؛ بنابراین ΔU = (−e)(+50 V) = −50 eV و کار میدان +50 eV میشود. انرژی پتانسیل الکترون با رفتن به پتانسیل بیشتر کاهش یافته است.
میدان الکتریکی از پتانسیل بیشتر به پتانسیل کمتر جهت دارد. نیروی وارد بر بار مثبت همجهت میدان و نیروی وارد بر بار منفی خلاف میدان است. پس الکترون آزاد میتواند به سوی پتانسیل بیشتر شتاب بگیرد؛ این رفتار با کاهش U سازگار است و تناقضی با جهت میدان ندارد.
در میدان یکنواخت، اختلاف پتانسیل را به فاصله وصل کن
در میدان یکنواخت، برای جابهجایی d در راستای میدان، پتانسیل به اندازه Ed کاهش مییابد: ΔV = −Ed. اگر جابهجایی با میدان زاویه θ بسازد، رابطه کلیتر ΔV = −Ed cosθ است. حرکت عمود بر میدان اختلاف پتانسیل و کار میدان را صفر میکند، هرچند خود نیروی الکتریکی صفر نیست.
پس از یافتن ΔV میتوان همان زنجیره را ادامه داد: ΔU = qΔV و W_e = −qΔV. اگر مسئله شتاب و انحراف ذره را از نیرو و زمان میخواهد، راهنمای حرکت ذره باردار در میدان یکنواخت مسیر نیوتنی مکمل را توضیح میدهد؛ روش انرژی زمانی کوتاهتر است که فقط تندی میان دو نقطه خواسته شود.
مسئله را با یک مسیر پنجمرحلهای حل و کنترل کن
یک: مبدأ و مقصد را A و B مشخص کن. دو: ΔV را همیشه V_B − V_A بنویس. سه: بار را با علامت واقعی در ΔU = qΔV قرار بده. چهار: برای کار میدان علامت را عوض کن و W_e = −ΔU بنویس. پنج: اگر سرعت خواسته شده، کار همه نیروها را در ΔK = W_total وارد کن.
در پایان سه پرسش بپرس: آیا واحد qΔV ژول شده است؟ آیا حرکت خودبهخودی انرژی پتانسیل را کاهش داده است؟ آیا کار مثبت کل با افزایش انرژی جنبشی همراه است؟ برای مرور تفاوت میدان و پتانسیل، مقاله «میدان الکتریکی یا پتانسیل الکتریکی؟» و برای انتخاب میان دو روش انرژی، راهنمای «پایستگی انرژی یا قضیه کار و انرژی؟» ادامه مستقیم این بحثاند.
- مقصد منهای مبدأ را در ΔV حفظ کن.
- علامت بار منفی را حذف نکن.
- کار نیروی الکتریکی و کار عامل خارجی را جدا نامگذاری کن.
- برای سرعت، کار همه نیروها را در نظر بگیر.
در هر جابهجایی از A به B، اول ΔV = V_B − V_A را با ترتیب مقصد منهای مبدأ بساز و سپس ΔU = qΔV را بنویس. کار میدان علامت مخالف دارد: W_e = −ΔU. اگر فقط نیروی الکتریکی کار کند، ΔK = W_e و میتوان سرعت را از انرژی یافت. جهت میدان به سوی پتانسیل کمتر است، اما جهت حرکت خودبهخودی بار منفی برعکس آن خواهد بود. نگهداشتن علامت بار، جداکردن کار میدان از کار عامل خارجی و کنترل واحد qΔV بر حسب ژول، سه راه مطمئن برای جلوگیری از خطا هستند.