پاسخ مستقیم این است: در طیف تابش جسم سیاه، حاصلضرب دمای مطلق جسم در طول موجی که شدت طیفی در آن بیشینه است، ثابت میماند: λ_max T = b. مقدار ثابت وین تقریباً b = 2.90×10⁻³ m·K است. پس جسم داغتر، اوج تابش خود را در طول موج کوتاهتری دارد. برای حل مسئله، دما را به کلوین و طول موج را به متر تبدیل کن، رابطه را برای مجهول بنویس و در پایان جای اوج را با بازه فروسرخ، مرئی یا فرابنفش کنترل کن.
اوج طیف جسم سیاه چه چیزی را نشان میدهد؟
جسم سیاه یک مدل آرمانی است که تابش فرودی را جذب میکند و طیف گسیل آن فقط به دمای جسم وابسته است. نمودار رایج، شدت طیفی را در برابر طول موج نشان میدهد. λ_max مختصات افقی قله همین نمودار است؛ یعنی طول موجی که شدت طیفی در آن بیشینه میشود، نه تنها طول موجی که جسم گسیل میکند.
طیف جسم سیاه پیوسته است و جسم در گسترهای از طول موجها انرژی گسیل میکند. بنابراین اگر اوج تابش خورشید در ناحیه مرئی باشد، به این معنا نیست که خورشید فقط نور مرئی میفرستد. این تفکیک جلوی برداشت نادرست از واژه «اوج» را میگیرد.
- λ_max محل قله نمودار شدت طیفی–طول موج است.
- جسم سیاه یک طیف پیوسته گسیل میکند.
- جابهجایی قله، حذف سایر طول موجها نیست.
رابطه وین را با واحدهای سازگار بنویس
قانون جابهجایی وین به صورت λ_max T = b نوشته میشود که در آن T دمای مطلق بر حسب کلوین و b تقریباً 2.90×10⁻³ m·K است. اگر دما معلوم باشد، λ_max = b/T و اگر طول موج اوج داده شده باشد، T = b/λ_max است.
برای استفاده از این مقدار b، طول موج باید متر باشد: هر نانومتر 10⁻⁹ متر و هر میکرومتر 10⁻⁶ متر است. دمای سلسیوس را نیز با T(K) = θ(°C) + 273 به کلوین تبدیل کن. استفاده مستقیم از سلسیوس در حاصلضرب وین معتبر نیست، چون این قانون به دمای مطلق نیاز دارد.
- λ_max T = 2.90×10⁻³ m·K
- 1 nm = 10⁻⁹ m
- 1 μm = 10⁻⁶ m
- T(K) = θ(°C) + 273
مسئله قانون وین را در چهار گام حل کن
یک: داده و مجهول را مشخص کن؛ آیا دما خواسته شده یا طول موج اوج؟ دو: دما را به کلوین و طول موج را به متر تبدیل کن. سه: λ_max T = b را ابتدا برای مجهول حل و سپس عددها را جایگذاری کن. چهار: روند پاسخ را بسنج؛ جسم داغتر باید λ_max کوچکتری داشته باشد.
در سؤال مقایسهای معمولاً نیازی به مقدار ثابت نیست. برای دو جسم داریم λ₁T₁ = λ₂T₂؛ در نتیجه λ₁/λ₂ = T₂/T₁. این نسبت وارون کمک میکند بدون محاسبه طولانی تغییر قله را پیدا کنی، به شرط آنکه هر دو دما مطلق باشند.
مثال حلشده: دمای ستاره از طول موج اوج
اوج شدت طیفی یک ستاره در طول موج 500 nm دیده میشود. با مدل جسم سیاه، دمای سطحی تقریبی آن را پیدا کن. ابتدا طول موج را تبدیل میکنیم: 500 nm = 500×10⁻⁹ m = 5.00×10⁻⁷ m.
از T = b/λ_max داریم T = (2.90×10⁻³)/(5.00×10⁻⁷) = 5.80×10³ K. بنابراین دمای تقریبی 5800 K است. یکا نیز درست حذف میشود: (m·K)/m = K.
کنترل فیزیکی: طول موج 500 nm در ناحیه مرئی قرار دارد و دمای چند هزار کلوین برای جسمی که اوج تابش آن مرئی است معقول است. این دما از برازش مدل جسم سیاه به دست میآید و نباید آن را اندازهگیری دقیق همه لایههای ستاره دانست.
نمودارهای دو دما را بدون محاسبه مقایسه کن
وقتی دمای جسم سیاه بالا میرود، قله نمودار شدت طیفی به سمت طول موجهای کوتاهتر جابهجا میشود. همزمان ارتفاع و مساحت زیر منحنی نیز افزایش مییابد. قانون وین فقط جابهجایی افقی قله را توضیح میدهد؛ افزایش توان کل با قانون استفان–بولتزمن و وابستگی T⁴ بیان میشود.
برای نمونه، اگر دمای مطلق جسم دو برابر شود، λ_max نصف میشود. اما نمیتوان از همین جمله نتیجه گرفت توان کل فقط دو برابر شده است. هنگام خواندن نمودار، سؤال را تفکیک کن: «قله کجاست؟» با وین پاسخ داده میشود و «کل توان چقدر است؟» به مساحت، دما، سطح و گسیلندگی مربوط است.
جواب را با ناحیه طیف الکترومغناطیسی کنترل کن
نور مرئی تقریباً در بازه 400 تا 700 nm قرار دارد. اگر λ_max بزرگتر از این بازه باشد، قله در فروسرخ است و اگر کوچکتر باشد، به سمت فرابنفش میرود. این مرزبندی برای کنترل مرتبه بزرگی مفید است، هرچند جسم همچنان بیرون از ناحیه قله نیز تابش دارد.
برای جسمی با دمای 300 K، قانون وین λ_max ≈ 9.7×10⁻⁶ m یا 9.7 μm میدهد؛ پس اوج تابش نزدیک دمای اتاق در فروسرخ است. اگر برای همین دما پاسخی در حد 10 nm به دست آمد، احتمالاً تبدیل توان ده یا واحد طول موج اشتباه شده است.
دامهای رایج قانون وین را پیش از انتخاب گزینه ببند
چهار خطای متداول عبارتاند از استفاده از دمای سلسیوس، جاانداختن تبدیل نانومتر، مستقیمگرفتن رابطه λ_max و T و یکیگرفتن طول موج اوج با تمام طیف. چون رابطه معکوس است، افزایش دما باید قله را به سمت عددهای کوچکتر محور طول موج ببرد.
قانون وین درباره مکان قله است و انرژی یک فوتون را مستقیماً نمیدهد. اگر انرژی فوتونِ یک طول موج مشخص خواسته شود، از E = hc/λ استفاده کن. برای ادامه، مقاله تابش گرمایی و استفان–بولتزمن توان کل را بررسی میکند؛ راهنمای اثر فوتوالکتریک نیز پیوند انرژی فوتون با ماده را توضیح میدهد.
قانون وین جای اوج طیف جسم سیاه را به دمای مطلق پیوند میدهد: λ_max T = 2.90×10⁻³ m·K. دمای بیشتر یعنی طول موج اوج کوتاهتر، نه اینکه همه طول موجهای تابش کوتاه شوند. پیش از جایگذاری، سلسیوس را به کلوین و نانومتر یا میکرومتر را به متر تبدیل کن. سپس جواب را با روند معکوس λ_max و T و ناحیه طیف کنترل کن. برای توان کل تابش باید از قانون استفان–بولتزمن استفاده کرد؛ قانون وین بهتنهایی توان را تعیین نمیکند.