در غلتش بدون لغزش، نقطه تماس جسم با سطح در همان لحظه نسبت به سطح ساکن است؛ بنابراین سرعت مرکز جرم و سرعت زاویهای با v_cm = ωR به هم مربوطاند. برای جسمی که از سکون و بدون اتلاف از ارتفاع h پایین میآید، mgh = 1/2 mv² + 1/2 I_cmω². با جایگذاری ω = v/R، سرعت از v = √[2gh/(1 + I_cm/(mR²))] به دست میآید. پس شکل توزیع جرم، نه جرم یا شعاع بهتنهایی، سرعت نهایی را تعیین میکند.
غلتش خالص را از لغزش تشخیص بده
جسم غلتان همزمان حرکت انتقالی مرکز جرم و چرخش حول مرکز جرم دارد. در غلتش بدون لغزش، نقطه تماس لحظهای با سطح سرعت صفر دارد و قید v_cm = ωR برقرار است. همچنین برای اندازه شتاب مماسی مرکز جرم میتوان a_cm = αR نوشت، به شرط آنکه غلتش خالص ادامه داشته باشد.
اگر جسم روی سطح سر بخورد، این قید برقرار نیست و v_cm و ω باید جداگانه بررسی شوند. وجود اصطکاک نیز بهتنهایی به معنی غلتش خالص نیست؛ صورت سؤال باید آن را بیان کند یا ضریب اصطکاک برای بررسی شرط عدم لغزش داده شده باشد. عبارتهایی مانند «میغلتد و نمیلغزد» نشانه مستقیم استفاده از قید غلتشاند.
- غلتش بدون لغزش: v_cm = ωR.
- لغزش همراه چرخش: الزاماً v_cm ≠ ωR.
- سرعت صفر نقطه تماس، لحظهای و نسبت به سطح است؛ مرکز جرم همچنان حرکت میکند.
انرژی جنبشی را به دو بخش انتقالی و دورانی تقسیم کن
انرژی جنبشی کل جسم صلب غلتان برابر K = 1/2 mv_cm² + 1/2 I_cmω² است. جمله نخست به حرکت مرکز جرم و جمله دوم به چرخش حول محور گذرنده از مرکز جرم مربوط است. حذف هر یک از این دو جمله، سرعت نهایی را بیش از مقدار واقعی نشان میدهد.
با قید ω = v_cm/R میتوان نوشت K = 1/2 mv²[1 + I_cm/(mR²)]. نسبت بیبعد I_cm/(mR²) نشان میدهد چه سهمی از انرژی صرف دوران میشود. هرچه جرم جسم دورتر از محور توزیع شده باشد، ممان لختی و سهم انرژی دورانی بیشتر است.
ممان لختی جسم را متناسب با شکل آن انتخاب کن
برای حلقه نازک حول محور مرکزی I = mR²، برای استوانه یا دیسک توپر I = 1/2 mR² و برای کره توپر I = 2/5 mR² است. در مسئلههای دبیرستانی معمولاً همین مقدارها داده میشوند؛ اگر داده نشدهاند، نباید ممان لختی یک شکل را برای شکل دیگر به کار برد.
برای کوتاهکردن محاسبه، I = kmR² بنویس. در این صورت انرژی جنبشی K = 1/2 mv²(1 + k) و سرعت پس از افت ارتفاع h برابر v = √[2gh/(1 + k)] میشود. مقدار k برای حلقه 1، استوانه توپر 1/2 و کره توپر 2/5 است.
مثال حلشده: سرعت استوانه توپر در پایین سطح شیبدار
استوانهای توپر از سکون و از ارتفاع قائم 1.2 متر روی سطحی میغلتد و نمیلغزد. سرعت مرکز جرم آن را در پایین مسیر با g = 10 m/s² پیدا کن. برای استوانه توپر I = 1/2 mR² است.
پایستگی انرژی را میان ابتدا و پایین مسیر مینویسیم: mgh = 1/2 mv² + 1/2 Iω². با I = 1/2 mR² و ω = v/R، جمله دورانی برابر 1/4 mv² میشود؛ بنابراین mgh = 3/4 mv².
پس v² = 4gh/3 و v = √(4 × 10 × 1.2/3) = √16 = 4 m/s. برای کنترل، سرعت جسمی که بدون چرخش و اصطکاک از همین ارتفاع سر میخورد √(2gh) ≈ 4.90 m/s است؛ سرعت استوانه باید کمتر باشد، چون بخشی از انرژی آن دورانی است.
مسابقه اجسام غلتان را بدون محاسبه طول مسیر مقایسه کن
اگر چند جسم از سکون، از یک ارتفاع و روی یک شیب یکسان بدون لغزش حرکت کنند، جسمی زودتر میرسد که k = I/(mR²) کوچکتری داشته باشد. شتاب مرکز جرم روی شیب با زاویه θ برابر a = g sinθ/(1 + k) است. بنابراین کره توپر با k = 2/5 از استوانه توپر با k = 1/2 و حلقه با k = 1 سریعتر است.
در این مقایسه استاندارد، جرم و شعاع حذف میشوند. پس سنگینتر بودن بهتنهایی باعث زودتر رسیدن نمیشود. نتیجه به شکل توزیع جرم وابسته است و فرض میکند مقاومت هوا، تغییر شکل و اتلاف غلتشی ناچیزند و همه اجسام واقعاً بدون لغزش حرکت میکنند.
- سریعتر: k کوچکتر و جرم متمرکزتر نزدیک محور.
- ترتیب رایج: کره توپر، سپس استوانه توپر، سپس حلقه.
- ارتفاع یکسان برای مقایسه سرعت نهایی کافی است؛ زاویه و طول مسیر زمان رسیدن را تعیین میکنند.
نقش اصطکاک ایستایی را با اتلاف انرژی اشتباه نگیر
روی یک سطح ثابت، نقطه تماس در غلتش خالص نسبت به سطح جابهجایی لحظهای ندارد؛ بنابراین اصطکاک ایستایی در مدل آرمانی کار خالص انجام نمیدهد و انرژی مکانیکی پایسته میماند. با این حال همین اصطکاک میتواند گشتاور لازم برای تغییر ω را فراهم کند.
جهت اصطکاک را نباید همیشه خلاف جهت حرکت مرکز جرم فرض کرد؛ اصطکاک با تمایل به لغزش نسبی نقطه تماس مخالفت میکند. برای جسمی که بدون چرخش اولیه روی شیب رها میشود، تمایل نقطه تماس به سرخوردن رو به پایین است و اصطکاک ایستایی رو به بالای شیب وارد میشود. اگر نیروی خارجی یا چرخش اولیه وجود داشته باشد، جهت میتواند متفاوت شود.
مسئله غلتش را با شش گام حل و کنترل کن
یک: شکل جسم و ممان لختی آن را مشخص کن. دو: بررسی کن غلتش بدون لغزش مجاز است. سه: ابتدا و انتهای مناسب و اختلاف ارتفاع قائم را انتخاب کن. چهار: انرژی جنبشی انتقالی و دورانی را هر دو بنویس. پنج: از ω = v/R برای یکمجهولیکردن معادله استفاده کن. شش: واحد، حد جواب و سهم انرژیها را کنترل کن.
سه دام رایج عبارتاند از استفاده از mgh = 1/2 mv² برای جسم غلتان، قرار دادن طول سطح شیبدار به جای ارتفاع قائم و فرض اتلاف انرژی صرفاً به دلیل وجود اصطکاک. اگر اصطکاک جنبشی یا مقاومت غلتشی مطرح باشد، پایستگی ساده انرژی مکانیکی کافی نیست و باید کار نیروی اتلافی را نیز وارد معادله کرد.
در مسئله غلتش، اول نوع حرکت را تشخیص بده: عبارت «بدون لغزش» اجازه میدهد v_cm = ωR بنویسی. سپس برای تغییر ارتفاع، انرژی جنبشی را حتماً به دو بخش 1/2 mv² و 1/2 I_cmω² تقسیم کن. ممان لختی درست را حول مرکز جرم قرار بده و تنها در پایان ω را با v/R حذف کن. جسمی با ضریب I/(mR²) کوچکتر روی شیب یکسان شتاب و سرعت بیشتری دارد؛ جرم و شعاع از مقایسه استاندارد حذف میشوند.