حرکت دایره‌ای یکنواخت و نیروی مرکزگرا؛ مسیر حل مسئله

چرا حرکت دایره‌ای با تندی ثابت شتاب دارد؟

در حرکت دایره‌ای یکنواخت، اندازه سرعت ثابت است اما جهت بردار سرعت در هر لحظه تغییر می‌کند. چون شتاب آهنگ تغییر بردار سرعت است، جسم شتابی رو به مرکز مسیر دارد. اندازه این شتاب از aᵣ = v²/r به دست می‌آید و جهت آن در هر نقطه عمود بر سرعت لحظه‌ای است.

اگر دوره تناوب T یا بسامد f داده شود، یک دور کامل مسافت 2πr دارد؛ بنابراین v = 2πr/T و با توجه به f = 1/T، رابطه v = 2πrf نیز برقرار است. با جای‌گذاری می‌توان نوشت aᵣ = 4π²r/T² = 4π²rf². این رابطه‌ها فقط راه‌های مختلف بیان همان حرکت‌اند، نه فرمول‌هایی مستقل که باید جداگانه حفظ شوند.

• سرعت مماس بر مسیر و شتاب رو به مرکز است.
• در حرکت دایره‌ای یکنواخت، تندی ثابت است ولی بردار سرعت ثابت نیست.
• با دوبرابرشدن تندی در شعاع ثابت، شتاب مرکزگرا چهار برابر می‌شود.

نیروی مرکزگرا یک نیروی جداگانه نیست

رابطه ΣFᵣ = maᵣ = mv²/r می‌گوید برآیند مؤلفه‌های شعاعی نیروهای واقعی باید رو به مرکز باشد. بسته به مسئله، این برآیند را کشش نخ، اصطکاک، نیروی عمودی سطح، وزن یا ترکیبی از آن‌ها فراهم می‌کند. پس روی نمودار جسم آزاد پیکانی با نام «نیروی مرکزگرا» اضافه نکن.

برای نمونه، در گردش افقی خودرو اصطکاک ایستایی می‌تواند برآیند شعاعی باشد؛ در ماهواره، گرانش این نقش را دارد؛ و برای سنگ متصل به نخ، کشش یا برآیند کشش و وزن لازم است. عبارت «فراهم‌کننده نیروی مرکزگرا» نقش یک نیروی واقعی را توصیف می‌کند و نام نیروی تازه‌ای نیست.

مسیر پنج‌مرحله‌ای حل مسئله حرکت دایره‌ای

اول مسیر و مرکز دایره را روی شکل مشخص کن. دوم جسم را جدا و فقط نیروهای واقعی وارد بر آن را رسم کن. سوم یک محور شعاعی رو به مرکز و، در صورت نیاز، یک محور مماسی انتخاب کن. چهارم مؤلفه‌های شعاعی را با علامت جمع بزن و برابر mv²/r قرار بده.

پنجم مجهول را حل و نتیجه را کنترل کن. سمت راست معادله شعاعی منفی نیست، زیرا جهت مثبت را رو به مرکز گرفته‌ایم؛ اما هر نیرویی که رو به بیرون باشد با علامت منفی وارد می‌شود. اگر تغییر تندی مطرح باشد، معادله مماسی را جدا بنویس؛ رابطه mv²/r به‌تنهایی درباره شتاب مماسی چیزی نمی‌گوید.

• مرکز مسیر را پیش از نوشتن معادله علامت بزن.
• نمودار جسم آزاد را با جهت شتاب اشتباه نگیر.
• شعاع را برحسب متر و تندی را برحسب متر بر ثانیه وارد کن.
• معادله شعاعی و مماسی را در دو خط جدا نگه دار.

مثال حل‌شده: بیشترین سرعت خودرو در پیچ افقی

خودرویی در پیچ افقی با شعاع ۵۰ متر حرکت می‌کند و ضریب اصطکاک ایستایی میان تایر و جاده ۰٫۴ است. جاده شیب ندارد و g = 10 m/s² در نظر گرفته می‌شود. در راستای قائم N = mg است و در راستای شعاعی اصطکاک ایستایی، نیروی لازم برای گردش را فراهم می‌کند: fₛ = mv²/r.

اصطکاک ایستایی همیشه برابر μₛN نیست؛ این برابری فقط در آستانه لغزش برقرار می‌شود. برای بیشترین سرعت، fₛ,max = μₛN را می‌گذاریم: μₛmg = mv²/r. جرم حذف می‌شود و vₘₐₓ = √(μₛgr) = √(0.4×10×50) = √200، یعنی تقریباً ۱۴٫۱ متر بر ثانیه. در سرعت‌های کمتر، اصطکاک فقط به اندازه لازم است.

در حلقه عمودی، بالا و پایین مسیر را جدا تحلیل کن

در حرکت دایره‌ای قائم، جهت رو به مرکز با جای جسم عوض می‌شود. در پایین حلقه، مرکز بالای جسم است؛ برای جسمی روی سطح داخلی حلقه، N − mg = mv²/r. در بالای حلقه، مرکز پایین جسم است و هر دو نیروی N و mg می‌توانند رو به مرکز باشند؛ پس N + mg = mv²/r.

اگر جسم فقط با سطح تماس داشته باشد، نیروی عمودی سطح نمی‌تواند منفی شود. در بالاترین نقطه، شرط مرزی حفظ تماس N = 0 است؛ بنابراین کمترین تندی همان نقطه از mg = mv²/r و v = √(gr) به دست می‌آید. این شرط مخصوص بالای حلقه و آستانه قطع تماس است و نباید در همه نقاط مسیر استفاده شود.

مثال حل‌شده: آونگ مخروطی

گلوله‌ای با نخ به طول L طوری می‌چرخد که نخ با راستای قائم زاویه θ می‌سازد. شعاع مسیر افقی r = Lsinθ است. نیروهای واقعی فقط وزن mg و کشش نخ S هستند. در راستای قائم شتاب نداریم، پس S cosθ = mg؛ در راستای افقی و رو به مرکز، S sinθ = mv²/r.

با تقسیم دو معادله، tanθ = v²/(rg) به دست می‌آید. اگر L و θ معلوم باشند، ابتدا r = Lsinθ را محاسبه و سپس v = √(rg tanθ) را پیدا کن. کشش نخ از S = mg/cosθ به دست می‌آید و از mg بزرگ‌تر است؛ چون مؤلفه قائم آن باید وزن را خنثی کند و هم‌زمان مؤلفه افقی نیز حرکت دایره‌ای را بسازد.

مثال حل‌شده: تبدیل دور بر دقیقه به شتاب مرکزگرا

نقطه‌ای روی صفحه‌ای با شعاع ۰٫۲۰ متر، با آهنگ ۱۲۰ دور بر دقیقه می‌چرخد. ابتدا واحد را تبدیل می‌کنیم: 120/60 = 2 دور بر ثانیه، پس f = 2 Hz. تندی نقطه v = 2πrf = 2π×0.20×2 = 0.8π متر بر ثانیه است.

اکنون aᵣ = v²/r = (0.8π)²/0.20 = 3.2π² و تقریباً ۳۱٫۶ متر بر مجذور ثانیه می‌شود. می‌توان مستقیم از aᵣ = 4π²rf² نیز به همین نتیجه رسید. دور بر دقیقه را نباید بدون تبدیل به‌جای هرتز در رابطه قرار داد.

خطاهای رایج و کنترل نهایی پاسخ

رایج‌ترین خطاها رسم نیروی مرکزگرا به‌عنوان پیکانی مستقل، قرار دادن همه نیروها برابر mv²/r بدون گرفتن مؤلفه شعاعی، ثابت فرض‌کردن تندی در حلقه عمودی و استفاده همیشگی از fₛ = μₛN هستند. راهنمای نمودار جسم آزاد به تشخیص نیروهای واقعی کمک می‌کند و مقاله اصطکاک ایستایی روشن می‌کند چه زمانی برابری با مقدار بیشینه مجاز است.

برای کنترل ابعادی، mv²/r باید واحد نیرو داشته باشد: kg·m/s². با صفرشدن تندی، نیاز شعاعی mv²/r نیز صفر می‌شود؛ با افزایش شعاع در تندی ثابت، این نیاز کاهش می‌یابد. در حرکت ماهواره‌ای همین چارچوب برقرار است و گرانش برآیند شعاعی را فراهم می‌کند؛ راهنمای حرکت ماهواره ادامه طبیعی این بحث است.

• جهت شتاب باید در هر نقطه به سوی مرکز باشد.
• نیروی واقعیِ رو به مرکز را از روی نمودار جسم آزاد شناسایی کن.
• در سؤال بیشینه یا کمینه، شرط مرزی مانند لغزش یا قطع تماس را صریح بنویس.
• دوره، بسامد و دور بر دقیقه را پیش از جای‌گذاری به واحد سازگار تبدیل کن.