در نوسان هماهنگ ساده جرم–فنر، انرژی مکانیکی ثابت و برابر E = ½kA² است. در مکان x نسبت به نقطه تعادل، انرژی پتانسیل کشسانی U = ½kx² و انرژی جنبشی K = ½k(A² − x²) میشود؛ بنابراین سرعت از v = ±√[(k/m)(A² − x²)] به دست میآید. علامت سرعت را فرمول انرژی تعیین نمیکند و باید آن را از جهت حرکت جسم در همان لحظه مشخص کنی.
انرژی نوسانگر را با مبدأ درست بنویس
جرمی را در نظر بگیر که به فنری آرمانی با ثابت k وصل است و بدون اصطکاک پیرامون نقطه تعادل نوسان میکند. اگر x جابهجایی از نقطه تعادل و A بیشترین مقدار |x| باشد، انرژی مکانیکی در تمام مسیر ثابت میماند. در دو نقطه بازگشت x = +A و x = −A جسم لحظهای ساکن است؛ پس همه انرژی به صورت پتانسیل کشسانی است و E = ½kA².
در مکان دلخواه x، انرژی پتانسیل وابسته به مکان U = ½kx² است و از پایستگی انرژی K + U = E نتیجه میشود K = ½k(A² − x²). این مدل برای فنر افقی مستقیم است. برای فنر قائم نیز اگر x را از تعادل جدید اندازه بگیریم، اثر گرانش در تعیین محل تعادل جذب میشود و همین رابطهها برای نوسان پیرامون تعادل معتبر میمانند.
- A و x را از نقطه تعادل اندازه بگیر، نه از طول طبیعی فنر.
- در مدل آرمانی و بدون اتلاف، انرژی مکانیکی ثابت است.
- انرژی جنبشی و پتانسیل منفی نیستند؛ علامت x فقط سمت تعادل را نشان میدهد.
سرعت را در هر مکان از پایستگی انرژی پیدا کن
با برابر قرار دادن K = ½mv² و ½k(A² − x²)، اندازه سرعت برابر |v| = √[(k/m)(A² − x²)] میشود. چون ω = √(k/m)، میتوان آن را به صورت |v| = ω√(A² − x²) نیز نوشت. این رابطه نشان میدهد سرعت در تعادل بیشینه و برابر vmax = ωA است و در دو انتهای مسیر به صفر میرسد.
علامت ± در v به جهت حرکت مربوط است. برای نمونه، اگر جسم در سمت مثبت محور باشد و به سوی تعادل حرکت کند، سرعت منفی است؛ اگر از تعادل به سوی +A برود، سرعت مثبت است. دادههای انرژی فقط اندازه سرعت را میدهند، مگر اینکه صورت سؤال جهت حرکت را نیز مشخص کرده باشد.
مثال حلشده: سرعت و سهم انرژی در یک مکان
جرم 0.50 kg به فنری با ثابت 200 N/m وصل است و با دامنه 10 cm نوسان میکند. اندازه سرعت جسم را در x = 6 cm بیاب. ابتدا همه طولها را به متر تبدیل میکنیم: A = 0.10 m و x = 0.06 m. انرژی کل E = ½×200×(0.10)² = 1.0 J و انرژی پتانسیل در این مکان U = ½×200×(0.06)² = 0.36 J است.
پس K = E − U = 0.64 J و از ½mv² = 0.64 به دست میآید |v| = 1.6 m/s. اگر جسم در x = +6 cm به سوی تعادل حرکت کند، v = −1.6 m/s است. همچنین 36 درصد انرژی کل پتانسیل و 64 درصد آن جنبشی است؛ این درصدها را میتوان بدون دانستن k از نسبتهای x²/A² و 1 − x²/A² نیز یافت.
نسبتهای انرژی را بدون محاسبه ثابت فنر به دست آور
با تقسیم انرژیها بر E = ½kA² داریم U/E = x²/A² و K/E = 1 − x²/A². بنابراین اگر جسم در نصف دامنه باشد، انرژی پتانسیل یکچهارم و انرژی جنبشی سهچهارم انرژی کل است؛ اشتباه رایج این است که چون مکان نصف شده، انرژی پتانسیل را نصف فرض کنیم، در حالی که انرژی با مربع مکان تغییر میکند.
برای یافتن مکانی که K و U برابرند، ½kx² = ½k(A² − x²) مینویسیم. نتیجه |x| = A/√2 است؛ دو مکان متقارن در دو سوی تعادل وجود دارد. اگر K چند برابر U باشد، نسبت را ابتدا بنویس و سپس برای |x| حل کن؛ این روش از جایگذاری عددهای اضافی جلوگیری میکند.
نیرو، شتاب و انرژی را در نقاط ویژه مقایسه کن
نیروی بازگرداننده F = −kx و شتاب a = −(k/m)x است. در نقطه تعادل، نیرو و شتاب صفر اما تندی و انرژی جنبشی بیشینهاند. در نقاط بازگشت، تندی و انرژی جنبشی صفر ولی اندازه نیرو، شتاب و انرژی پتانسیل بیشینه است. پس صفرشدن شتاب به معنی توقف جسم نیست.
نمودار U بر حسب x یک سهمی رو به بالا و خط انرژی کل یک خط افقی در ارتفاع ½kA² است. فاصله دو محل برخورد این خط با نمودار U برابر 2A است و ناحیه مجاز حرکت میان −A و +A قرار دارد. برای تمرین عمومیتر این نگاه، مقاله نمودار انرژی پتانسیل–مکان را بخوان.
فنر قائم را پیرامون نقطه تعادل تحلیل کن
وقتی جرم از فنر قائم آویزان است، وزن فنر را به اندازه Δℓeq = mg/k نسبت به طول طبیعی میکشد. این کشیدگی، محل تعادل جدید را تعیین میکند و دامنه نوسان نیست. اگر جسم را از این تعادل به اندازه A جابهجا و رها کنیم، x باید از همان نقطه تعادل اندازهگیری شود.
اگر صورت سؤال طول فنر یا کشیدگی نسبت به طول طبیعی را بدهد، ابتدا محل تعادل را پیدا کن و سپس x = Δℓ − Δℓeq را بساز. استفاده مستقیم از ½k(Δℓ)² به عنوان تنها انرژی پتانسیل در روش ساده میتواند اثر انرژی گرانشی را جا بیندازد؛ انتخاب مبدأ تعادل این دو اثر را در یک انرژی مؤثر ½kx² جمع میکند.
مسیر حل پنجمرحلهای و خطاهای رایج را مرور کن
یک: نقطه تعادل و دو انتهای مسیر را روی محور علامت بزن. دو: همه طولها را به متر تبدیل و A و x را از تعادل تعیین کن. سه: E = ½kA² و U = ½kx² را بنویس. چهار: از K = E − U، اندازه سرعت یا نسبت انرژی را به دست آور. پنج: اگر سرعت برداری خواسته شده، جهت حرکت را از متن یا شکل مسئله استخراج کن.
چهار خطای پرتکرار عبارتاند از اندازهگیری دامنه از یک انتهای مسیر تا انتهای دیگر، استفاده از طول طبیعی به جای تعادل، نوشتن U متناسب با x به جای x² و انتخاب خودکار علامت سرعت از روی علامت مکان. برای مرور ساختار فنرهای معادل، راهنمای قانون هوک و فنرهای سری و موازی و برای ارتباط این بحث با دوره و بسامد، راهنمای نوسان و موج را ببین.
- فاصله دو نقطه بازگشت 2A است، نه A.
- در |x| > A انرژی جنبشی منفی میشود؛ پس آن مکان برای این انرژی کل مجاز نیست.
- اصطکاک یا میرایی، ثابتبودن ½kA² را از بین میبرد و باید جداگانه مدل شود.
- واحد k برابر N/m و واحد انرژی ژول است.
برای حل سؤال انرژی نوسانگر جرم–فنر، مبدأ x را نقطه تعادل بگیر، دامنه A را از تعادل تا انتهای مسیر بخوان و انرژی کل را ½kA² بنویس. سپس در مکان خواستهشده U = ½kx² را از انرژی کل کم کن تا K و اندازه سرعت به دست آید. در x = ±A سرعت صفر و در x = 0 سرعت بیشینه است؛ علامت سرعت نیز فقط با دانستن جهت حرکت تعیین میشود. اگر فنر قائم است، جابهجایی کشیدگی تعادل را با x نوسان اشتباه نگیر.