پاسخ مستقیم این است: هنگام گرمشدن مایع داخل ظرف، هم مایع و هم فضای داخلی ظرف بزرگتر میشوند. آنچه بهصورت بالاآمدن سطح یا سرریز میبینیم، اختلاف این دو افزایش حجم است. اگر حجم اولیه V₀، افزایش دما ΔT، ضریب انبساط حجمی مایع βₗ و ضریب انبساط حجمی ظرف βᵥ باشد، انبساط ظاهری از ΔV_app = V₀(βₗ − βᵥ)ΔT به دست میآید. برای ظرف جامد همسانگرد که ضریب انبساط طولی آن α داده شده، در تقریب دبیرستان βᵥ ≈ 3α است. این رابطه فقط وقتی مستقیماً حجم سرریز را میدهد که ظرف در آغاز تا لبه پر باشد.
انبساط واقعی و ظاهری مایع را از هم جدا کن
انبساط واقعی مایع، افزایش حجم خود مایع است: ΔVₗ = βₗV₀ΔT. اما خط نشانه روی ظرف یا لبه آن همراه ظرف جابهجا میشود؛ بنابراین مشاهدهگر افزایش ظرفیت ظرف را هم در اندازهگیری خود دارد. افزایش ظرفیت داخلی ظرف برابر ΔVᵥ = βᵥV₀ΔT است، به شرط آنکه در آغاز حجم مایع با حجم بخش مورد بررسی ظرف برابر باشد.
انبساط ظاهری اختلاف این دو مقدار است: ΔV_app = ΔVₗ − ΔVᵥ. پس β_app = βₗ − βᵥ. اگر βₗ بزرگتر باشد، سطح مایع نسبت به ظرف بالا میآید؛ اگر دو ضریب برابر باشند، سطح نسبت به نشانه ظرف تغییر نمیکند؛ و اگر ضریب ظرف بزرگتر باشد، سطح پایین میرود. در هر سه حالت ممکن است حجم واقعی مایع افزایش یافته باشد.
- مایع: ΔVₗ = βₗV₀ΔT
- ظرف: ΔVᵥ = βᵥV₀ΔT
- آنچه دیده میشود: ΔV_app = ΔVₗ − ΔVᵥ
ضریب طولی ظرف را به ضریب حجمی تبدیل کن
در بسیاری از سؤالها ضریب انبساط طولی ماده ظرف، یعنی α، داده میشود. برای یک جامد همسانگرد و تغییر دمای نهچندان بزرگ، ضریب انبساط حجمی تقریباً سه برابر آن است: βᵥ ≈ 3α. بنابراین رابطه ظاهری به شکل ΔV_app = V₀(βₗ − 3α)ΔT نوشته میشود.
ضریب α را مستقیماً از βₗ کم نکن؛ یکی تغییر نسبی طول و دیگری تغییر نسبی حجم را توصیف میکند. همچنین اگر صورت سؤال خودِ ضریب انبساط حجمی ظرف را داده باشد، دیگر آن را در سه ضرب نکن. ضرایب باید همگی با واحد یکسان، معمولاً K⁻¹ یا °C⁻¹، وارد شوند.
مثال حلشده: حجم سرریز از ظرف پُر را حساب کن
یک ظرف شیشهای در دمای آغازین با 500 cm³ مایع تا لبه پر است. ضریب انبساط حجمی مایع βₗ = 9.0×10⁻⁴ °C⁻¹ و ضریب انبساط طولی شیشه α = 1.2×10⁻⁵ °C⁻¹ است. اگر ظرف و مایع با هم 50°C گرم شوند، چند سانتیمتر مکعب مایع سرریز میشود؟
ابتدا ضریب حجمی ظرف را پیدا میکنیم: βᵥ ≈ 3α = 3.6×10⁻⁵ °C⁻¹. پس β_app = 9.0×10⁻⁴ − 3.6×10⁻⁵ = 8.64×10⁻⁴ °C⁻¹. چون ظرف در ابتدا تا لبه پر بوده، حجم سرریز همان انبساط ظاهری است.
بنابراین ΔV_app = 500×8.64×10⁻⁴×50 = 21.6 cm³. برای کنترل، انبساط واقعی مایع 22.5 cm³ و افزایش ظرفیت ظرف 0.9 cm³ است؛ اختلاف آنها 21.6 cm³ میشود. کمکردن این دو مقدار، معنای فیزیکی فرمول کوتاه را روشن میکند.
برای ظرف نیمهپر، فضای خالی اولیه را وارد کن
اگر ظرف در آغاز تا لبه پر نباشد، ΔV_app بهتنهایی حجم سرریز نیست. فرض کن فضای خالی اولیه تا لبه V_gap باشد. پس از گرمشدن، ابتدا انبساط ظاهری این فضای خالی را پُر میکند. فقط اگر ΔV_app > V_gap باشد، سرریز رخ میدهد و حجم آن V_overflow = ΔV_app − V_gap است.
اگر ΔV_app ≤ V_gap باشد، چیزی بیرون نمیریزد. برای نمونه، اگر در مثال قبل 25 cm³ فضای خالی وجود داشت، افزایش ظاهری 21.6 cm³ هنوز از فضای خالی کمتر بود و 3.4 cm³ ظرفیت خالی باقی میماند. بنابراین عبارت «ظرف تا لبه پر است» یک داده تعیینکننده است، نه توضیح اضافی.
- ظرف ابتدا پُر: V_overflow = ΔV_app
- ظرف دارای فضای خالی: V_overflow = max(0, ΔV_app − V_gap)
اگر ظرف و مایع به یک اندازه گرم نشوند، دو ΔT بنویس
رابطه فشرده β_app = βₗ − βᵥ فرض میکند ظرف و مایع افزایش دمای یکسانی دارند. اگر افزایش دمای مایع ΔTₗ و افزایش دمای ظرف ΔTᵥ متفاوت باشد، باید مستقیم بنویسی: ΔV_app = V₀(βₗΔTₗ − βᵥΔTᵥ). این حالت ممکن است هنگام ریختن مایع گرم در ظرف سرد، پیش از رسیدن به تعادل گرمایی مطرح شود.
در مسئلهای که دمای نهایی مشترک خواسته میشود، ابتدا با موازنه انرژی دمای تعادل را بیاب و سپس تغییر دمای هر جزء را از دمای اولیه خودش حساب کن. راهنمای دمای تعادل سایت برای مرحله نخست مفید است. اگر صورت سؤال انبساط ظرف را ناچیز اعلام کرد، تنها آنگاه جمله مربوط به ظرف را حذف کن.
مسئله را در پنج گام حل کن
یک: مشخص کن ظرف در ابتدا پُر است یا فضای خالی دارد. دو: حجم مرجع V₀ و افزایش دمای هر جزء را بنویس. سه: اگر ضریب طولی ظرف داده شده، آن را با βᵥ ≈ 3α به ضریب حجمی تبدیل کن. چهار: انبساط واقعی مایع و ظرفیت ظرف را جداگانه حساب و از هم کم کن. پنج: نتیجه را با فضای خالی اولیه مقایسه و سرریز یا سطح باقیمانده را گزارش کن.
این مسیر از حفظکردن فرمولی جدا برای هر صورت سؤال جلوگیری میکند. کافی است بپرسی «حجم مایع چقدر زیاد شد؟» و «ظرف چقدر جای بیشتری پیدا کرد؟». مقاله انبساط گرمایی جامدات، دلیل تقریب β ≈ 3α و رفتار سوراخ و شکاف در جسم گرمشده را کاملتر توضیح میدهد.
خطاهای رایج و کنترل نهایی پاسخ را بشناس
خطای اول، برابرگرفتن انبساط واقعی مایع با حجم سرریز است؛ ظرف هم منبسط میشود. خطای دوم، کمکردن α از βₗ بدون تبدیل ضریب طولی به حجمی است. خطای سوم، استفاده از کل ظرفیت ظرف بهجای حجم مرجع بخشی است که در ابتدا با مایع پُر شده است. خطای چهارم نیز گزارش سرریز برای ظرف نیمهپر، بدون کسر فضای خالی اولیه است.
برای کنترل علامت، اگر βₗ > βᵥ و دما بالا برود، افزایش ظاهری باید مثبت باشد. برای کنترل مرتبه، ΔV/V₀ باید برابر ضریب مؤثر ضربدر ΔT و معمولاً عددی کوچکتر از یک باشد. در پایان بررسی کن که cm³ با cm³ و m³ با m³ ترکیب شده باشد؛ تبدیل بیدلیل حجم به SI لازم نیست، چون ضریب انبساط نسبت حجمها را به هم مرتبط میکند.
در مسئله مایع و ظرف، حجم اولیه مشترک را مشخص کن و انبساط مایع و ظرفیت ظرف را جدا بنویس. اختلاف آنها ΔV_app = V₀(βₗ − βᵥ)ΔT است و برای ظرف جامد همسانگرد میتوان βᵥ ≈ 3α گرفت. ظرفِ ابتدا پُر، بهاندازه انبساط ظاهری سرریز میکند؛ ظرفِ دارای فضای خالی فقط زمانی سرریز دارد که این اختلاف از فضای خالی اولیه بیشتر شود. علامت βₗ − βᵥ، واحد ضرایب و استفاده از همان دمای واقعی هر جزء، سه کنترل اصلی پاسخاند.