در اثر دوپلر در بازتاب صدا از دیوار متحرک، یک فرمول دوپلر کافی نیست: دیوار ابتدا ناظر متحرک است و بسامد موج فرودی را دریافت می‌کند؛ سپس در بازتاب، منبع متحرکی با همان بسامد در چارچوب خودش می‌شود. اگر منبع و گیرنده کنار هم ساکن باشند و دیوار با تندی u به آن‌ها نزدیک شود، بسامد پژواک f_echo = f₀(v + u)/(v − u) است؛ برای دیوار دورشونده، f_echo = f₀(v − u)/(v + u). در این رابطه v تندی صوت در هوای ساکن و شرط مدل u < v است.
اثر دوپلر در بازتاب صدا از دیوار متحرک را دو مرحله ببین
بازتاب از دیوار ساکن بسامد را عوض نمی‌کند، اما دیوار متحرک موج را با آهنگی متفاوت دریافت می‌کند. در چارچوب لحظه‌ای دیوار، بازتاب از سطح صلب همان بسامد فرودی را نگه می‌دارد؛ با این حال دیوار نسبت به هوای ساکن حرکت می‌کند و موج بازتابی را مانند یک منبع متحرک به سوی گیرنده می‌فرستد. به همین دلیل تغییر بسامد دو بار رخ می‌دهد.
مدل این راهنما یک‌بعدی است: منبع و گیرنده کنار هم و نسبت به هوا ساکن‌اند، دیوار روی خط اتصال آن‌ها با تندی ثابت u حرکت می‌کند، هوا ساکن و تندی صوت v ثابت است، و u از v کمتر است. دیوار را صلب فرض می‌کنیم و اتلاف شدت را در محاسبه بسامد وارد نمی‌کنیم. فاصله دیوار زمان رسیدن پژواک را تغییر می‌دهد، نه عامل دوپلر بسامد را.
- مرحله اول: دیوار ناظر متحرک است.
- مرحله دوم: دیوار منبع متحرک موج بازتابی است.
- مبنای سرعت‌ها: هوای ساکن
- شرط: حرکت روی یک خط و u < v
داده‌ها و جهت تغییر بسامد را پیش از رابطه بنویس
مسئله نمونه چنین است: بلندگو و گیرنده‌ای ساکن کنار هم، صدایی با بسامد f₀ = 800 Hz می‌فرستند. دیواری با تندی u = 20 m/s به دستگاه نزدیک می‌شود و تندی صوت در هوا v = 340 m/s است. بسامد پژواک ثبت‌شده را بیابید. همه سرعت‌ها برحسب متر بر ثانیه‌اند؛ بنابراین تبدیل واحد لازم نیست و جواب نهایی باید هرتز باشد.
پیش از محاسبه، علامت جواب را پیش‌بینی می‌کنیم. دیوار به جبهه‌های موج نزدیک می‌شود، پس در مرحله اول باید بسامدی بیشتر از 800 هرتز دریافت کند. سپس به سوی گیرنده حرکت می‌کند، پس به‌عنوان منبع متحرک نیز باید بسامد را افزایش دهد. در نتیجه جواب نهایی حتماً باید از بسامد اولیه و از بسامد مرحله اول بزرگ‌تر باشد.
مرحله اول: دیوار را ناظر متحرک در نظر بگیر
منبع در هوا ساکن است و دیوار به منبع نزدیک می‌شود. برای ناظر متحرکِ نزدیک‌شونده رابطه f₁ = f₀(v + u)/v است. عددها را جای‌گذاری می‌کنیم: f₁ = 800×(340 + 20)/340 = 800×360/340 ≈ 847.1 Hz.
این f₁ بسامدی است که سطح متحرک دریافت می‌کند، نه بسامدی که گیرنده ثابت در پایان می‌شنود. واحد کسر سرعت‌ها حذف می‌شود و هرتزِ f₀ باقی می‌ماند. همچنین 847.1 > 800 است؛ پس علامت جمع در صورت با پیش‌بینی فیزیکی سازگار است.
مرحله دوم: دیوار را منبع متحرک موج بازتابی بگیر
دیوار در چارچوب خودش موج را با بسامد f₁ بازمی‌تاباند. اکنون همین دیوار به سوی گیرنده ساکن حرکت می‌کند، پس نقش منبع نزدیک‌شونده را دارد. برای منبع متحرک و گیرنده ساکن می‌نویسیم f_echo = f₁v/(v − u). در این مرحله علامت منفی در مخرج لازم است، زیرا نزدیک‌شدن منبع باید مخرج را کوچک و بسامد را بزرگ کند.
با جای‌گذاری مرحله قبل، f_echo = 847.1×340/(340 − 20) = 847.1×340/320 = 900 Hz. اگر دو رابطه را پیش از محاسبه ضرب کنیم، عامل v حذف می‌شود: f_echo = f₀[(v + u)/v][v/(v − u)] = f₀(v + u)/(v − u). واحد نهایی 900 Hz است.
جواب ۹۰۰ هرتز را با سه کنترل مستقل بسنج
کنترل جهت: دیوار نزدیک می‌شود، بنابراین هر دو تغییر باید افزایشی باشند؛ ترتیب 800 < 847.1 < 900 درست است. کنترل حد: اگر u را صفر بگذاریم، رابطه به f_echo = f₀ می‌رسد؛ دیوار ساکن نباید بسامد بازتاب را تغییر دهد. کنترل بُعد: (v + u)/(v − u) بی‌بُعد است، پس واحد جواب همان هرتز می‌ماند.
کنترل معکوس نیز مفید است. نسبت R = f_echo/f₀ = 900/800 = 1.125 است. از R = (v + u)/(v − u) نتیجه می‌شود u = v(R − 1)/(R + 1) = 340×0.125/2.125 = 20 m/s؛ همان تندی داده‌شده بازسازی می‌شود. اگر صدای مستقیم و پژواک هم‌زمان به گیرنده برسند، اختلاف بسامد آن‌ها |900 − 800| = 100 Hz است؛ این اختلاف را با خود بسامد پژواک اشتباه نکن.
- نزدیک‌شدن: f_echo > f₁ > f₀
- حد u = 0: بسامد پژواک برابر بسامد اولیه
- واحد نهایی: Hz
- بازسازی تندی دیوار: 20 m/s
برای دیوار دورشونده هر دو علامت را وارونه کن
اگر دیوار با تندی u از منبع و گیرنده دور شود، در مرحله اول ناظر دورشونده است: f₁ = f₀(v − u)/v. در مرحله دوم نیز منبع دورشونده موج بازتابی است: f_echo = f₁v/(v + u). پس رابطه نهایی f_echo = f₀(v − u)/(v + u) می‌شود و باید از f₀ کوچک‌تر باشد.
برای همان f₀ = 800 Hz، u = 20 m/s و v = 340 m/s، بسامد پژواک 800×320/360 ≈ 711.1 Hz است. افزایش و کاهش‌ها نسبت به 800 هرتز متقارن نیستند؛ بنابراین نمی‌توان مقدار افزایش حالت نزدیک‌شونده را از بسامد اولیه کم کرد و حالت دورشونده را ساخت.
خطاهای رایج بازتاب دوپلری و مرز مدل را بشناس
رایج‌ترین خطا این است که فقط یک بار رابطه دوپلر نوشته شود. در این مسئله دیوار هم دریافت‌کننده و هم بازتاب‌دهنده متحرک است. خطای دوم، استفاده مستقیم از سرعت نسبی 2u در یک فرمول تک‌مرحله‌ای است؛ عامل دقیق کلاسیک برای نزدیک‌شدن (v + u)/(v − u) است و تقریب تغییر نسبی 2u/v فقط وقتی u در برابر v بسیار کوچک باشد به کار می‌آید.
خطای دیگر این است که تندی موج بازتابی نسبت به هوا v + u فرض شود. موج صوتی پس از بازتاب نیز در هوای ساکن با تندی v منتشر می‌شود؛ حرکت دیوار طول موج و بسامد را تغییر می‌دهد، نه تندی انتشار را در محیط. اگر منبع یا گیرنده نیز حرکت کند، هوا جریان داشته باشد، مسیر مایل باشد یا سرعت مانع با زمان تغییر کند، باید مؤلفه‌های سرعت روی خط دید و رابطه عمومی هر مرحله را جداگانه نوشت.
- یک دوپلر به‌جای دو دوپلر ننویس.
- 2u را بی‌قید جای سرعت نسبی نگذار.
- تندی صوت را نسبت به محیط بسنج.
- در هر مرحله نزدیک‌شدن یا دورشدن را دوباره تشخیص بده.
در بازتاب صوت از مانع متحرک، دیوار را یک‌بار ناظر و بار دیگر منبع ببین. برای دیوار نزدیک‌شونده هر دو مرحله بسامد را افزایش می‌دهند و حاصل f_echo = f₀(v + u)/(v − u) است؛ برای دیوار دورشونده هر دو مرحله آن را کاهش می‌دهند. در مثال ۸۰۰ هرتز، ۲۰ متر بر ثانیه و تندی صوت ۳۴۰ متر بر ثانیه، دیوار ابتدا ۸۴۷ هرتز دریافت می‌کند و گیرنده پژواک ۹۰۰ هرتزی می‌شنود. پیش‌بینی جهت تغییر، یکسان‌کردن واحد سرعت‌ها و بررسی حد u = 0 سه کنترل ضروری جواب‌اند.