در اثر دوپلر، نزدیکشدن منبع و ناظر بسامد شنیدهشده را بیشتر و دورشدن آنها بسامد را کمتر میکند. برای حل، ابتدا جهت انتشار موج از منبع به ناظر را رسم کن؛ حرکت ناظر را در صورت کسر و حرکت منبع را در مخرج وارد کن. علامتها را طوری انتخاب کن که نزدیکشدن، صورت را بزرگتر یا مخرج را کوچکتر کند. این کنترل فیزیکی ساده، نیاز به حفظ چهار حالت جداگانه را از بین میبرد.
اثر دوپلر دقیقاً چه چیزی را تغییر میدهد؟
منبع صوت در محیط، جبهههای موج پیاپی میسازد. اگر منبع بهسمت ناظر حرکت کند، فاصله جبههها در جلوی آن کمتر میشود؛ یعنی طول موج کاهش مییابد. چون سرعت انتشار صوت در هوای ساکن را ویژگی محیط در نظر میگیریم، از رابطه v = fλ نتیجه میشود بسامد دریافتشده بیشتر است.
حرکت ناظر سازوکار دیگری دارد: طول موج موجود در محیط عوض نمیشود، اما ناظرِ رو به موج در هر ثانیه با جبهههای بیشتری روبهرو میشود. در هر دو سازوکار، نزدیکشدن باعث زیرتر شنیدهشدن صدا و دورشدن باعث بمتر شنیدهشدن آن میشود. شدت صدا ممکن است با فاصله تغییر کند، اما اثر دوپلر درباره بسامد دریافتشده است، نه بلندی صدا.
- نزدیکشدن: f′ > f و صدای شنیدهشده زیرتر است.
- دورشدن: f′ < f و صدای شنیدهشده بمتر است.
- اگر فاصله منبع و ناظر ثابت بماند، صرف حرکت مشترک لزوماً اثر دوپلر ایجاد نمیکند؛ حرکت نسبت به محیط هم اهمیت دارد.
رابطه کلی را با معنی صورت و مخرج بخوان
برای حرکت روی یک خط و در هوای ساکن میتوان نوشت f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs). در این رابطه f بسامد منبع، f′ بسامد شنیدهشده، v سرعت صوت در محیط، vo اندازه سرعت ناظر و vs اندازه سرعت منبع است. سرعت ناظر همیشه در صورت و سرعت منبع همیشه در مخرج قرار میگیرد.
نشانهها را مستقل از شکل حفظ نکن. اگر ناظر بهسمت منبع میرود، باید صورت بزرگتر شود، پس v + vo را انتخاب کن؛ اگر از منبع دور میشود، v − vo. اگر منبع به ناظر نزدیک میشود، برای افزایش f′ باید مخرج کوچکتر باشد، پس v − vs؛ در دورشدن منبع، v + vs به کار میرود.
- ناظرِ نزدیکشونده: علامت مثبت در صورت.
- ناظرِ دورشونده: علامت منفی در صورت.
- منبعِ نزدیکشونده: علامت منفی در مخرج.
- منبعِ دورشونده: علامت مثبت در مخرج.
مسیر پنجمرحلهای حل مسئله اثر دوپلر
منبع و ناظر را با برچسب S و O روی یک خط بکش و پیکان انتشار موج را از منبع به ناظر قرار بده. سپس برای هر جسم جداگانه بنویس که فاصله را کم میکند یا زیاد. پیش از محاسبه نیز پیشبینی کن f′ باید از f بزرگتر باشد یا کوچکتر.
رابطه را با v و سرعتهای دادهشده بساز، عددها را با یک واحد سرعت وارد کن و محاسبه را انجام بده. در پایان نتیجه را با پیشبینی اولیه مقایسه کن. اگر دو جسم نزدیک میشوند اما f′ کمتر از f به دست آمده است، یکی از علامتها وارونه انتخاب شده است.
- شکل منبع، ناظر و جهت موج را رسم کن.
- نزدیکشدن یا دورشدن هر جسم را جدا تعیین کن.
- بزرگتر یا کوچکتر بودن f′ نسبت به f را پیشبینی کن.
- سرعت ناظر را در صورت و سرعت منبع را در مخرج بگذار.
- عدد نهایی را با پیشبینی و حالتهای حدی کنترل کن.
مثال حلشده: منبع و ناظر به هم نزدیک میشوند
آژیری با بسامد ۶۰۰ هرتز با سرعت ۲۰ متر بر ثانیه بهسمت دانشآموزی حرکت میکند و دانشآموز نیز با سرعت ۱۰ متر بر ثانیه بهسمت آژیر میدود. اگر سرعت صوت ۳۴۰ متر بر ثانیه باشد، بسامد شنیدهشده را پیدا کن.
هر دو حرکت فاصله را کم میکنند، پس انتظار داریم f′ > 600 Hz باشد. ناظر نزدیک میشود و صورت v + vo = 350 است؛ منبع نیز نزدیک میشود و مخرج v − vs = 320. بنابراین f′ = 600×350/320 = 656.25 Hz. بزرگترشدن پاسخ از ۶۰۰ هرتز با وضعیت شکل سازگار است.
مثال حلشده: حرکت همجهت منبع و ناظر
خودرویی با بوق ۵۰۰ هرتز و سرعت ۲۵ متر بر ثانیه، پشت سر دوچرخهسواری با سرعت ۵ متر بر ثانیه حرکت میکند و به او نزدیک میشود. با سرعت صوت ۳۴۰ متر بر ثانیه، دوچرخهسوار چه بسامدی میشنود؟
همجهتبودن بهتنهایی علامتها را تعیین نمیکند. دوچرخهسوار از منبع دور میشود، پس صورت 340 − 5 = 335 است؛ خودرو به ناظر نزدیک میشود، پس مخرج 340 − 25 = 315. در نتیجه f′ = 500×335/315 ≈ 531.7 Hz. اثر نزدیکشدن منبع در این دادهها غالب است و بسامد نهایی از بسامد بوق بیشتر میشود.
خطاهای رایج و کنترلهای سریع پاسخ
رایجترین خطا این است که علامت را از راست یا چپ رفتن انتخاب کنیم؛ معیار درست، کم یا زیادشدن فاصله هر جسم با دیگری است. خطای دیگر استفاده از سرعت نسبی منبع و ناظر به جای vo و vs در رابطه است. این دو سرعت نسبت به محیط سنجیده میشوند و نقش یکسانی در فرمول ندارند.
اگر vo و vs صفر شوند، رابطه باید f′ = f بدهد. اگر فقط ناظر ساکن باشد، صورت باید v بماند و اگر فقط منبع ساکن باشد، مخرج باید v باشد. رابطه این مقاله برای موج صوتی، محیط ساکن و سرعتهای منبع و ناظر کمتر از سرعت صوت نوشته شده است؛ برای منبع فراصوتی و موج ضربهای نمیتوان همین محاسبه ساده را بیقید به کار برد. برای مرور رابطه سرعت موج، راهنمای نوسان و موج و برای کنترل واحد سرعتها، مقاله تحلیل ابعادی را بخوان.
- جهت مثبت محور را با علامت نزدیکشدن و دورشدن اشتباه نگیر.
- همه سرعتها را با واحد یکسان وارد کن.
- پس از حل، حتماً f′ را با f مقایسه کن.
- سرعت صوت را از داده سؤال بگیر؛ آن را با سرعت منبع جمع برداری نکن.
در مسائل اثر دوپلر، اول وضعیت فیزیکی را پیشبینی کن: نزدیکشدن باید بسامد را افزایش و دورشدن باید آن را کاهش دهد. سپس جهت موج را از منبع به ناظر رسم کن، سرعت ناظر را در صورت و سرعت منبع را در مخرج قرار بده و علامت هرکدام را با همان پیشبینی تعیین کن. مقایسه f′ با f، بررسی حالت سرعتهای صفر و رعایت شرط سرعتهای کمتر از سرعت صوت، سه کنترل نهایی پاسخاند.