ورود کامل دیالکتریک با ثابت κ بین صفحههای خازن، ظرفیت را از C₀ به C = κC₀ میرساند. ادامه حل فقط به اتصال باتری بستگی دارد: اگر باتری وصل باشد ولتاژ ثابت میماند، بار κ برابر و انرژی κ برابر میشود؛ اگر باتری جدا باشد بار ثابت میماند، ولتاژ و انرژی هر دو به 1/κ مقدار اولیه کاهش مییابند. پس پیش از هر محاسبه فقط بپرس: باتری هنوز به خازن وصل است یا نه؟
اثر دیالکتریک را ابتدا روی ظرفیت اعمال کن
برای خازن تختِ خلأ یا هوا، C₀ = ε₀A/d است. اگر ماده دیالکتریک خطی با ثابت نسبی κ تمام فضای بین دو صفحه را پر کند، ظرفیت به C = κε₀A/d = κC₀ میرسد. چون κ در این مدل بزرگتر از یک است، ورود کامل دیالکتریک ظرفیت را افزایش میدهد؛ این نتیجه به متصل یا جدا بودن باتری وابسته نیست.
دیالکتریک در میدان قطبیده میشود و میدان ناشی از بارهای مقید آن با میدان بارهای آزاد صفحهها مخالفت میکند. این توضیح کمک میکند بفهمیم چرا یک خازن برای همان اختلاف پتانسیل میتواند بار بیشتری نگه دارد. در حل دبیرستانی، κ داده میشود و لبههای میدان و نشتی نادیده گرفته میشوند.
- ورود کامل ماده: C₂/C₁ = κ.
- خارجکردن کامل همان ماده: C₂/C₁ = 1/κ.
- تغییر ظرفیت از هندسه و جنس محیط میآید، نه از انتخاب فرمول انرژی.
با باتری متصل، ولتاژ را ثابت نگه دار
وقتی خازن همچنان به دو سر یک باتری آرمانی وصل است، باتری اختلاف پتانسیل V را ثابت نگه میدارد. با C₂ = κC₁ و رابطه Q = CV، بار نهایی Q₂ = κQ₁ میشود. بار اضافی از مدار و باتری به صفحهها میرسد؛ بنابراین ثابت فرضکردن بار در این حالت درست نیست.
برای انرژی از U = 1/2 CV² استفاده کن، زیرا V کمیت ثابت است. در نتیجه U₂ = κU₁. افزایش انرژی ذخیرهشده تناقضی با ورود خودبهخودی دیالکتریک ندارد: باتری هنگام جابهجایی بار با سامانه انرژی مبادله میکند و برای حساب کامل انرژی باید باتری و کار مکانیکی را نیز در مرز دستگاه دید.
با باتری جدا، بار صفحهها را ثابت نگه دار
اگر خازن ابتدا شارژ و سپس از باتری جدا شود، مسیر رسانایی برای ورود یا خروج بار آزاد وجود ندارد؛ پس Q ثابت است. با افزایش ظرفیت به κC₁، از V = Q/C نتیجه میشود V₂ = V₁/κ. کاهش اختلاف پتانسیل با کاهش میدان خالص میان صفحهها سازگار است.
در این حالت فرم U = Q²/(2C) مناسبتر است و نشان میدهد U₂ = U₁/κ. کاهش انرژی الکتریکی میتواند به کار مکانیکی تبدیل شود؛ دیالکتریک به ناحیه میان صفحهها کشیده میشود. در یک مسئله آرمانی، اختلاف انرژی آغاز و پایان سرنخی برای اندازه کار است، اما علامت کار را باید با تعریف دستگاه در صورت سؤال تعیین کرد.
نسبتها را با یک جدول ذهنی جمعبندی کن
برای ورود کامل دیالکتریک، در هر دو حالت C₂/C₁ = κ است. اگر باتری متصل باشد، V₂/V₁ = 1، Q₂/Q₁ = κ و U₂/U₁ = κ. اگر باتری جدا باشد، Q₂/Q₁ = 1، V₂/V₁ = 1/κ و U₂/U₁ = 1/κ. این نسبتها از حفظ سه رابطه جدا ساخته نمیشوند؛ همگی از انتخاب کمیت ثابت و Q = CV به دست میآیند.
مسیر حل کوتاه این است: یک، نسبت ظرفیت را بنویس؛ دو، وضعیت کلید یا باتری را از شکل بخوان؛ سه، V ثابت یا Q ثابت را بالای برگه ثبت کن؛ چهار، نسبت کمیت خواستهشده را با رابطهای بنویس که همان ثابت را آشکار دارد. این ترتیب جلوی جابهجایی دو حالت را میگیرد.
- باتری متصل: V ثابت؛ از Q = CV و U = 1/2 CV² استفاده کن.
- باتری جدا: Q ثابت؛ از V = Q/C و U = Q²/(2C) استفاده کن.
- اگر کلید در میانه فرایند تغییر وضعیت میدهد، هر بازه را جدا تحلیل کن.
مثال حلشده: یک خازن در دو وضعیت باتری
خازنی با ظرفیت اولیه 4 μF به باتری 12 V وصل است. بار و انرژی اولیه آن Q₁ = CV = 48 μC و U₁ = 1/2 CV² = 288 μJ است. اکنون دیالکتریکی با κ = 3 تمام فاصله صفحهها را پر میکند؛ در هر سناریو ظرفیت نهایی 12 μF خواهد بود.
سناریوی اول، باتری متصل است. ولتاژ 12 V میماند، پس Q₂ = 12 μF × 12 V = 144 μC و U₂ = 864 μJ؛ هر دو سه برابر شدهاند. سناریوی دوم، باتری پیش از ورود ماده جدا شده است. بار همان 48 μC میماند، پس V₂ = Q/C = 4 V و U₂ = Q²/(2C) = 96 μJ؛ ولتاژ و انرژی به یکسوم رسیدهاند.
کنترل سریع پاسخ: ظرفیت در هر دو سناریو باید بیشتر شود. تنها در حالت متصل امکان ورود بار اضافی وجود دارد. در حالت جدا، ثابتبودن بار و زیادشدن ظرفیت ناچار ولتاژ را کم میکند. اگر محاسبه با این سه گزاره ناسازگار بود، کمیت ثابت اشتباه انتخاب شده است.
ورود ناقص دیالکتریک را با مدل هندسی درست ببین
رابطه C = κC₀ فقط برای پرشدن کامل فضای مؤثر میان صفحههاست. اگر تیغه از کنار وارد شود و بخشی از مساحت را بپوشاند، ناحیه هوا و ناحیه دیالکتریک اختلاف پتانسیل یکسان دارند و مانند دو خازن موازی مدل میشوند. اگر لایهها در راستای فاصله صفحهها روی هم باشند، مدل به خازنهای سری نزدیک است.
بنابراین در ورود ناقص، ابتدا ظرفیت معادل را از هندسه به دست آور و بعد سراغ شرط باتری برو. مقاله خازنهای سری و موازی روش ساخت ظرفیت معادل و محاسبه انرژی را توضیح میدهد؛ راهنمای میدان یا پتانسیل نیز برای تفکیک این دو کمیت در تحلیل الکتریکی مفید است.
دامنه مدل و منبع رابطهها را بشناس
این راهنما خازن تخت آرمانی، دیالکتریک خطی و همگن، باتری آرمانی و فرایند شبهساکن را فرض میکند. برای مواد واقعی، ثابت دیالکتریک میتواند به دما و بسامد وابسته باشد و در میدان بسیار قوی شکست الکتریکی رخ دهد؛ این جزئیات بیرون از مدل معمول مسئلههای دبیرستانیاند.
روابط ظرفیت خازنِ پرشده با دیالکتریک، قطبش ماده و انرژی ذخیرهشده در این مقاله با فصل Capacitance در کتاب آزاد University Physics, Volume 2 از OpenStax تطبیق داده شدهاند. مقدار κ را باید از صورت مسئله یا منبع دادهشده بگیری و برای یک ماده واقعی بدون منبع عدد ثابتی فرض نکنی.
در مسئله دیالکتریک، ابتدا از هندسه و میزان ورود ماده ظرفیت جدید را پیدا کن و سپس وضعیت باتری را تعیین کن. باتری متصل یعنی V ثابت و در نتیجه Q و U به نسبت ظرفیت تغییر میکنند؛ باتری جدا یعنی Q ثابت و V و U وارون ظرفیت تغییر میکنند. جدول نسبتها، نوشتن کمیت ثابت و کنترل اینکه انرژی از باتری یا کار مکانیکی مبادله شده است، مسیر حل را کوتاه و قابلاعتماد میکند.