برخورد گلوله با بلوک و فنر یک مسئله چندمرحله‌ای است: در بازه بسیار کوتاهِ فرو رفتن گلوله، تکانه افقی دستگاه گلوله–بلوک را پایسته می‌گیریم؛ پس از برخورد، انرژی جنبشی مجموعه صرف کار علیه اصطکاک و انرژی پتانسیل فنر می‌شود. برای گلوله 20 گرمی با سرعت 300 m/s که در بلوک 980 گرمی فرو می‌رود و مجموعه پس از پیمودن 1.0 m روی سطحی با μk = 0.20 فنر 200 N/m را می‌فشارد، سرعت مشترک 6.0 m/s و فشردگی بیشینه تقریباً 0.390 m است. انرژی جنبشی را در خود برخورد پایسته نمی‌گیریم و کار اصطکاک را در تمام مسیر d + x حساب می‌کنیم.
صورت مسئله، داده‌ها و فرض‌ها را یک‌دست کن
گلوله‌ای به جرم m = 20 g با سرعت u = 300 m/s در راستای افقی به بلوکی ساکن با جرم M = 980 g برخورد می‌کند و در آن می‌ماند. بلوک در لحظه برخورد 1.0 m تا فنری با ثابت k = 200 N/m فاصله دارد. ضریب اصطکاک جنبشی بلوک با سطح در تمام مسیر μk = 0.20 است. با g = 10 m/s²، بیشینه فشردگی فنر را پیدا می‌کنیم.
فرض می‌کنیم سطح افقی است، فنر در آغاز بدون فشردگی و بی‌جرم است، گلوله پس از برخورد از بلوک جدا نمی‌شود، مقاومت هوا و چرخش بلوک ناچیزند و ضریب اصطکاک ثابت است. مدت برخورد آن‌قدر کوتاه فرض می‌شود که ضربه اصطکاک خارجی در مقایسه با ضربه برخورد ناچیز باشد. همچنین بلوک هنگام برخورد هنوز با فنر تماس ندارد؛ پس نیروی فنر در مرحله برخورد وارد نمی‌شود.
- تبدیل جرم: 20 g = 0.020 kg
- جرم مشترک پس از برخورد: M + m = 1.000 kg
- جهت حرکت گلوله و بلوک را مثبت می‌گیریم.
- مجهول نهایی: فشردگی x با واحد متر
برخورد گلوله با بلوک و فنر را در سه مرحله مدل‌سازی کن
سه تصویر زمانی جدا بکش: درست پیش از برخورد، درست پس از برخورد، و لحظه بیشینه فشردگی که سرعت مجموعه صفر است. مرحله برخورد کوتاه و کاملاً غیرکشسان است؛ بنابراین تکانه افقی را به کار می‌بریم، نه پایستگی انرژی جنبشی. از پایان برخورد تا بیشینه فشردگی، اصطکاک کار منفی انجام می‌دهد و انرژی فنر افزایش می‌یابد؛ این بازه را با کار و انرژی حل می‌کنیم.
فاصله d = 1.0 m فقط پیش از تماس با فنر طی نمی‌شود که بعد فراموش شود؛ هنگام فشرده‌شدن نیز مجموعه به‌اندازه x روی همان سطح می‌لغزد. پس طول کل اثر اصطکاک از لحظه پس از برخورد تا توقف d + x است. این تشخیص مدل، معادله نهایی را از یک جای‌گذاری ساده به مسئله درجه‌دو تبدیل می‌کند.
- برخورد: پایستگی تکانه افقی
- حرکت تا فنر: کار منفی اصطکاک
- فشردن فنر: کار اصطکاک و افزایش ½kx²
- بیشینه فشردگی: سرعت لحظه‌ای صفر
مرحله اول: سرعت مشترک پس از برخورد را از تکانه بیاب
محور مثبت را هم‌جهت حرکت گلوله می‌گیریم. بلوک پیش از برخورد ساکن است و گلوله در آن گیر می‌کند؛ پس تکانه آغازین mu و تکانه پایانی (M + m)V است. با ناچیزبودن ضربه خارجی افقی در مدت برخورد داریم mu = (M + m)V.
با جرم‌های SI، V = mu/(M + m) = (0.020×300)/1.000 = 6.0 m/s. علامت مثبت یعنی مجموعه در همان جهت اولیه گلوله حرکت می‌کند. کنترل اندازه نیز درست است: چون جرم متحرک از 0.020 kg به 1.000 kg رسیده، سرعت مشترک باید بسیار کمتر از 300 m/s باشد.
مرحله دوم: پیش از حل فشردگی، رسیدن به فنر را بررسی کن
انرژی جنبشی مجموعه درست پس از برخورد Ki = ½(M + m)V² = ½×1.000×6.0² = 18 J است. نیروی اصطکاک جنبشی روی سطح افقی fk = μkN = μk(M + m)g = 0.20×1.000×10 = 2.0 N می‌شود.
کارِ لازم برای غلبه بر اصطکاک تا رسیدن به فنر برابر fkd = 2.0×1.0 = 2.0 J است. چون 18 J > 2 J، مجموعه به فنر می‌رسد و هنگام نخستین تماس هنوز 16 J انرژی جنبشی دارد. اگر Ki ≤ fkd بود، بلوک پیش از فنر یا درست کنار آن می‌ایستاد و حل معادله فشردگی موضوعیت نداشت.
مرحله سوم: کار اصطکاک و انرژی فنر را با علامت درست بنویس
از لحظه پس از برخورد تا بیشینه فشردگی، جابه‌جایی کل d + x است. کار اصطکاک Wf = −fk(d + x) منفی است، زیرا نیرو خلاف جابه‌جایی وارد می‌شود. در انتها سرعت صفر و انرژی پتانسیل فنر ½kx² است. رابطه Wnc = Δ(K + U) را می‌توان به صورت انرژی ورودی برابر اتلاف و ذخیره نوشت: ½(M + m)V² = fk(d + x) + ½kx².
جای‌گذاری عددها می‌دهد 18 = 2.0(1.0 + x) + 100x². پس 100x² + 2x − 16 = 0. هر سه جمله معادله پیش از ساده‌سازی واحد ژول دارند: 100x² از ½kx²، جمله 2x از نیروی 2 نیوتونی ضربدر متر و عدد 16 از انرژی باقی‌مانده ساخته شده است.
معادله درجه‌دو، ریشه فیزیکی و واحد نهایی را تعیین کن
برای 100x² + 2x − 16 = 0 از فرمول درجه‌دو استفاده می‌کنیم: x = [−2 ± √(2² − 4×100×(−16))]/200 = [−2 ± √6404]/200. دو جواب تقریبی 0.390 و −0.410 متر به دست می‌آید.
فشردگی در تعریف این مسئله x ≥ 0 است؛ بنابراین ریشه منفی یک پاسخ جبری اما نامعتبر فیزیکی است. جواب نهایی x ≈ 0.390 m، یعنی حدود 39.0 cm است. تبدیل به سانتی‌متر را فقط در پایان انجام می‌دهیم تا ثابت فنرِ N/m با طول بر حسب متر سازگار بماند.
- ریشه پذیرفتنی: x ≈ 0.390 m
- ریشه ردشده: x ≈ −0.410 m
- واحد گزارش نهایی: متر یا پس از تبدیل، سانتی‌متر
معقول‌بودن جواب را با دو کنترل انرژی بسنج
کنترل اول، حالت بدون اصطکاک است. اگر نه فاصله اولیه و نه اصطکاک انرژی نمی‌گرفتند، از 18 = 100x² به xmax ≈ 0.424 m می‌رسیدیم. پاسخ واقعی 0.390 m از این کران کمتر است؛ اگر بزرگ‌تر به دست می‌آمد، علامت کار اصطکاک یا طول مسیر اشتباه بود.
کنترل دوم، تراز عددی انرژی است. در x = 0.390 m، انرژی فنر تقریباً 100×0.390² = 15.21 J و انرژی تلف‌شده بر اثر اصطکاک 2×(1.0 + 0.390) = 2.78 J است. جمع آن‌ها حدود 17.99 J و با 18 J آغازین، در حد گردکردن، برابر است.
انرژی تلف‌شده در برخورد را با مرحله اصطکاک قاطی نکن
انرژی جنبشی گلوله پیش از برخورد ½mu² = ½×0.020×300² = 900 J است، اما انرژی جنبشی مجموعه بلافاصله پس از برخورد فقط 18 J می‌شود. اختلاف 882 J در تغییر شکل، گرما و صدا به انرژی درونی تبدیل شده است. این اتلاف به مرحله برخورد تعلق دارد و نباید دوباره در معادله حرکت پس از برخورد کم شود.
پایستگی انرژی کل همچنان برقرار است، ولی انرژی مکانیکی در برخورد چسبنده پایسته نیست. از سوی دیگر، تکانه را نیز نباید از لحظه پس از برخورد تا توقف پایسته گرفت، چون اصطکاک و فنر ضربه خارجی وارد می‌کنند. هر اصل فقط در بازه‌ای به کار می‌رود که شرط‌هایش برقرار است.
خطاهای رایج این مسئله چندمرحله‌ای را حذف کن
خطای رایج نخست، برابرگرفتن ½mu² با ½kx² و عبور مستقیم از سرعت گلوله به فشردگی است؛ این کار اتلاف بزرگ برخورد و حرکت جرم مشترک را نادیده می‌گیرد. خطای دوم، حساب‌کردن اصطکاک فقط در فاصله d است، درحالی‌که اصطکاک هنگام فشرده‌شدن فنر نیز روی فاصله x کار می‌کند. خطای سوم، به‌کاربردن جرم 20 g بدون تبدیل به 0.020 kg است.
در پایان این پرسش‌ها را پاسخ بده: آیا برخورد چسبنده است؟ آیا ضربه خارجی در مدت برخورد ناچیز است؟ آیا مجموعه انرژی کافی برای رسیدن به فنر دارد؟ آیا کار اصطکاک با علامت منفی یا در سوی اتلاف نوشته شده؟ آیا ریشه انتخابی با x ≥ 0 و کران بدون اصطکاک سازگار است؟ برای مرور مبانی، راهنمای تکانه و برخورد، انتخاب میان پایستگی انرژی و کار–انرژی و مقاله قانون هوک و ترکیب فنرها سه مسیر داخلی مکمل‌اند.
- برای برخورد، تکانه را به کار ببر؛ نه انرژی جنبشی را.
- اصطکاک روی کل فاصله d + x کار می‌کند.
- جرم‌ها و طول‌ها را پیش از جای‌گذاری به SI تبدیل کن.
- ریشه جبری را با شرط فیزیکی و تراز انرژی کنترل کن.
در این تیپ مسئله یک رابطه برای همه فرایند ننویس. برخورد کوتاه را با m u = (M + m)V حل کن؛ سپس برای حرکت روی سطح زبر تا توقف، ½(M + m)V² = μk(M + m)g(d + x) + ½kx² را به کار ببر. پیش از حل معادله درجه‌دو بررسی کن مجموعه اصلاً به فنر می‌رسد، ریشه منفی را به‌دلیل x ≥ 0 کنار بگذار و پاسخ را با حالت بدون اصطکاک بسنج. در مثال، V = 6.0 m/s و x ≈ 0.390 m است؛ همه جمله‌های مرحله دوم نیز واحد ژول دارند.