برای یافتن نقطه صفر پتانسیل الکتریکی روی خط دو بار، پتانسیل‌های دو بار را نرده‌ای و با علامت خود بارها جمع کن: V = k(q₁/r₁ + q₂/r₂). در این تیپ مسئله، فقط بارهای ناهم‌نام می‌توانند در فاصله محدود همدیگر را خنثی کنند. سپس خط را ناحیه‌بندی کن، فاصله‌های مثبت r₁ و r₂ را برای هر ناحیه جدا بنویس و همه جواب‌ها را در معادله اصلی و ناحیه فرض‌شده بیازما. برای دو بار +2 μC و −8 μC با فاصله 30 cm، روی خط و به‌جز محل بارها دو جواب به دست می‌آید: 6 cm سمت راست بار مثبت و 10 cm سمت چپ آن؛ در هیچ‌کدام میدان الکتریکی صفر نیست.
فرض‌ها و مدل نقطه صفر پتانسیل الکتریکی را مشخص کن
دو بار نقطه‌ای ثابت q₁ = +2 μC و q₂ = −8 μC را در هوا روی محور x در نظر بگیر. بار مثبت در x = 0 و بار منفی در x = 30 cm قرار دارد. می‌خواهیم همه نقطه‌های روی همین خط را، به‌جز محل خود بارها، پیدا کنیم که پتانسیل کل آن‌ها نسبت به مرجع صفر در بی‌نهایت برابر صفر باشد.
فرض می‌کنیم ابعاد اجسام باردار در مقایسه با فاصله‌ها ناچیز است و هوا را از نظر الکتریکی مانند خلأ می‌گیریم. مجهول مکان x است. فاصله هر نقطه تا بارها، r₁ و r₂، کمیت‌هایی مثبت‌اند؛ علامت جهت از x می‌آید، نه از r. علامت مثبت و منفی qها نیز باید در پتانسیل حفظ شود.
این سؤال فقط نقاط روی خط واصل دو بار را می‌خواهد. در فضای سه‌بعدی، شرط نسبت ثابت فاصله‌ها می‌تواند مجموعه‌ای از نقاط بسازد؛ پس نتیجه دو نقطه‌ای این مثال را نباید بدون قید «روی خط» به کل فضا تعمیم داد.
- q₁ = +2 μC در x = 0
- q₂ = −8 μC در x = 30 cm
- مرجع پتانسیل: V = 0 در بی‌نهایت
- خواسته: همه مکان‌های V = 0 روی محور x
رابطه پتانسیل را به‌جای رابطه میدان انتخاب کن
پتانسیل الکتریکی یک بار نقطه‌ای در فاصله r برابر V = kq/r است. چون پتانسیل کمیتی نرده‌ای است، برای دو بار می‌نویسیم V = k(q₁/r₁ + q₂/r₂). شرط مسئله V = 0 است؛ بنابراین k مشترک حذف می‌شود و برای داده‌های ما 2/r₁ − 8/r₂ = 0 خواهد بود.
از این معادله r₂ = 4r₁ به دست می‌آید. این نسبت پیش از هر محاسبه یک کنترل معقول‌بودن مهم می‌دهد: نقطه باید چهار برابر از بار −8 μC دورتر از بار +2 μC باشد تا سهم‌های +k(2 μC)/r₁ و −k(8 μC)/r₂ هم‌اندازه شوند.
استفاده از E = k|q|/r² در این مرحله مدل اشتباهی است. آن رابطه برای میدان است و توان دوم فاصله و جهت برداری دارد؛ پتانسیل با توان اول فاصله و جمع جبری محاسبه می‌شود. همچنین بار آزمون لازم نیست، چون پتانسیل ویژگی آرایش بارهای منبع در نقطه است.
سه ناحیه را جدا حل و جواب ناسازگار را حذف کن
خط به سه ناحیه تقسیم می‌شود: x < 0، بازه 0 < x < 30 cm و ناحیه x > 30 cm. در ناحیه میانی، r₁ = x و r₂ = 30 − x است. شرط r₂ = 4r₁ می‌دهد 30 − x = 4x؛ پس 5x = 30 و x = 6 cm. این عدد داخل بازه 0 تا 30 است و پذیرفته می‌شود.
در ناحیه چپ، فاصله نقطه تا بار مثبت را a = −x می‌گیریم. پس r₁ = a و چون بار منفی 30 cm دورتر است، r₂ = a + 30. از a + 30 = 4a داریم a = 10 cm؛ بنابراین x = −10 cm، یعنی نقطه 10 سانتی‌متر سمت چپ بار مثبت است.
در ناحیه راست، r₁ = x و r₂ = x − 30 است. قرار دادن این فاصله‌ها در r₂ = 4r₁ می‌دهد x − 30 = 4x و در نتیجه x = −10 cm. این جواب در ناحیه فرض‌شده x > 30 نیست، پس پاسخ ناحیه راست محسوب نمی‌شود. ریشه جبری را فقط وقتی نگه می‌داریم که با تعریف فاصله‌ها و بازه همان معادله سازگار باشد.
- میان دو بار: x = 6 cm
- چپ هر دو بار: x = −10 cm
- راست هر دو بار: بدون جواب سازگار
جواب‌ها را با جای‌گذاری مستقیم و واحد ولت کنترل کن
برای کنترل عددی باید فاصله‌ها را به متر تبدیل کنیم و k = 9.0×10⁹ N·m²/C² بگیریم. در x = 6 cm، فاصله‌ها 0.06 m و 0.24 m هستند. سهم بار مثبت k(2×10⁻⁶)/0.06 = +3.0×10⁵ V و سهم بار منفی k(−8×10⁻⁶)/0.24 = −3.0×10⁵ V است؛ پس Vکل = 0.
در x = −10 cm، فاصله‌ها 0.10 m و 0.40 m هستند. دو سهم به‌ترتیب +1.8×10⁵ V و −1.8×10⁵ V می‌شوند و دوباره یکدیگر را خنثی می‌کنند. نسبت فاصله‌ها در هر دو پاسخ r₂/r₁ = 4 است؛ این همان پیش‌بینی کیفی معادله بود.
کنترل واحد نیز روشن است: (N·m²/C²)(C/m) = N·m/C = J/C = V. در مرحله یافتن مکان می‌توان همه فاصله‌ها را بر حسب سانتی‌متر نگه داشت، چون فقط نسبت فاصله‌ها وارد می‌شود؛ اما برای محاسبه مقدار هر پتانسیل با k در SI، تبدیل سانتی‌متر به متر الزامی است.
صفر بودن پتانسیل را با صفر بودن میدان اشتباه نگیر
در نقطه میانی x = 6 cm، میدان بار مثبت از آن دور می‌شود و به سمت راست است؛ میدان بار منفی نیز به سوی بار منفی و باز هم به سمت راست است. پس دو میدان هم‌جهت‌اند و نمی‌توانند صفر شوند. اندازه میدان کل در این نقطه 6.25×10⁶ N/C است، با اینکه پتانسیل صفر است.
در x = −10 cm، میدان بار مثبت به چپ و میدان بار منفی به راست است، اما اندازه‌ها برابر نیستند. میدان بار مثبت 1.8×10⁶ N/C و میدان بار منفی 4.5×10⁵ N/C است؛ بنابراین برآیند 1.35×10⁶ N/C به چپ خواهد بود.
علت تفاوت بنیادی است: صفرشدن پتانسیل از q/r و جمع جبری می‌آید، درحالی‌که صفرشدن میدان به |q|/r² و خنثی‌شدن بردارها نیاز دارد. صفر بودن V فقط می‌گوید انرژی پتانسیل q₀V برای هر بار آزمون در آن مرجع صفر است؛ از آن نمی‌توان نیروی صفر را نتیجه گرفت.
خطاهای رایج و چک‌لیست حل این تیپ مسئله
رایج‌ترین خطا حذف علامت بار منفی و نوشتن جمع دو مقدار مثبت است؛ در آن صورت هیچ خنثی‌شدنی دیده نمی‌شود. خطای دوم استفاده از فاصله علامت‌دار، مانند r = x − 30 با مقدار منفی، در رابطه پتانسیل است؛ r اندازه فاصله و همیشه مثبت است. علامت سهم پتانسیل فقط از q می‌آید.
خطای سوم حل‌کردن تنها ناحیه میان دو بار است. برای بارهای ناهم‌نام و نابرابر ممکن است روی خط یک جواب دیگر در بیرون فاصله و سمت بار کوچک‌تر وجود داشته باشد. خطای چهارم پذیرفتن خروجی معادله بدون بازگرداندن آن به ناحیه‌ای است که فاصله‌ها بر اساس آن تعریف شده‌اند.
برای حل مطمئن، ابتدا علامت بارها و مرجع پتانسیل را بنویس، سپس خط را ناحیه‌بندی و rها را مثبت تعریف کن. بعد V = 0 را حل، جواب را در ناحیه و معادله اصلی کنترل و در پایان جداگانه بررسی کن آیا سؤال میدان صفر را هم مطرح کرده است. مقاله نقطه صفر میدان روش برداری آن مسئله را نشان می‌دهد؛ راهنمای میدان یا پتانسیل معیار انتخاب رابطه و مقاله کار نیروی الکتریکی معنای انرژیِ V را تکمیل می‌کنند.
- علامت qها در جمع جبری حفظ شده است؟
- r₁ و r₂ اندازه‌های مثبت فاصله‌اند؟
- هر سه ناحیه روی خط بررسی شده‌اند؟
- هر جواب داخل بازه فرض‌شده قرار دارد؟
- واحد فاصله هنگام محاسبه ولت به متر تبدیل شده است؟
- V = 0 با E = 0 یکی گرفته نشده است؟
در مسئله نقطه صفر پتانسیل الکتریکی، علامت بارها را در V = kΣ(qᵢ/rᵢ) نگه دار، اما فاصله‌ها را همواره مثبت بنویس. برای +2 μC در x = 0 و −8 μC در x = 30 cm، شرط r₂ = 4r₁ در ناحیه میانی x = 6 cm و در ناحیه چپ x = −10 cm را می‌دهد؛ ناحیه راست جواب سازگار ندارد. جای‌گذاری مستقیم، در هر دو نقطه جمع پتانسیل‌ها را صفر می‌کند، ولی جمع برداری میدان‌ها صفر نمی‌شود. همین کنترل نهایی مرز این تیپ سؤال را با نقطه صفر میدان روشن می‌کند.