در لوله پرتو ایکس، الکترونی که از اختلاف پتانسیل V عبور میکند حداکثر انرژی جنبشی eV میگیرد. اگر در یک برخورد تمام این انرژی به یک فوتون تبدیل شود، بیشینه انرژی فوتون E_max = eV و کمینه طول موج λ_min = hc/(eV) است. میانبُر عددی مفید این است: λ_min(nm) ≈ 1.24/V(kV). این حد کوتاهموج به ولتاژ لوله وابسته است، نه جنس هدف؛ جنس هدف جای خطوط مشخصه طیف را تعیین میکند.
لوله پرتو ایکس را به سه مرحله ساده تبدیل کن
کاتد گرمشده الکترون آزاد میکند. اختلاف پتانسیل زیاد میان کاتد و آند، الکترونها را در خلأ به سوی هدف فلزی شتاب میدهد. خلأ برخورد الکترونها با مولکولهای هوا را کم میکند تا بخش بزرگی از انرژی پیش از رسیدن به هدف تلف نشود.
الکترونهای پرانرژی هنگام برخورد با هدف کند میشوند. بخشی از انرژی آنها به فوتونهای پرتو ایکس و بخش زیادی به انرژی درونی هدف تبدیل میشود. برای محاسبه حد کوتاهموج لازم نیست سهم واقعی تبدیل انرژی را بدانیم؛ فقط حالت مرزی یک الکترون و یک فوتون را بررسی میکنیم.
- کاتد: منبع الکترون
- اختلاف پتانسیل: شتابدهنده الکترون
- آند فلزی: هدف و محل تولید پرتو ایکس
انرژی الکترون را از ولتاژ شتابدهنده پیدا کن
اندازه تغییر انرژی پتانسیل الکتریکی بار e در اختلاف پتانسیل V برابر eV است. اگر انرژی جنبشی اولیه الکترون در برابر انرژی نهایی ناچیز و اتلاف مسیر قابل صرفنظر باشد، K_max = eV. این V نماد ولتاژ است و حاصل eV را نباید با واحد الکترونولت اشتباه گرفت.
تعریف الکترونولت محاسبه را کوتاه میکند: الکترونی که از اختلاف پتانسیل 1 V عبور کند، 1 eV انرژی میگیرد. بنابراین ولتاژ 35 kV مستقیماً انرژی 35 keV برای هر الکترون میسازد. برای تبدیل به ژول میتوان از 1 eV ≈ 1.602×10^−19 J استفاده کرد.
- V بر حسب ولت ← انرژی بر حسب eV
- V بر حسب کیلوولت ← انرژی بر حسب keV
- در حالت آرمانی: K_max = eV
رابطه کمینه طول موج را از پایستگی انرژی بساز
فوتون پرتو ایکس انرژی E = hf = hc/λ دارد. پرانرژیترین فوتون ممکن زمانی ساخته میشود که یک الکترون در یک رویداد تمام انرژی جنبشی خود را به همان فوتون بدهد. پس eV = hc/λ_min و در نتیجه λ_min = hc/(eV). واژه «ممکن» مهم است: بیشتر برخوردها همه انرژی را به یک فوتون منتقل نمیکنند و طول موجهای بلندتری میسازند.
با hc ≈ 1240 eV·nm میتوان نوشت λ_min(nm) ≈ 1240/V(V)، یا شکل سریعتر λ_min(nm) ≈ 1.24/V(kV). چون طول موج با ولتاژ نسبت وارون دارد، دوبرابرشدن ولتاژ کمینه طول موج را نصف و بیشینه انرژی فوتون را دو برابر میکند.
- انرژی بیشینه فوتون: E_max = eV
- بسامد بیشینه: f_max = eV/h
- طول موج کمینه: λ_min = hc/(eV)
مثال حلشده: لوله پرتو ایکس با ولتاژ ۴۰ کیلوولت
الکترونهای یک لوله پرتو ایکس با اختلاف پتانسیل 40 kV شتاب میگیرند. بیشینه انرژی فوتون و کمینه طول موج تابش را به دست آور.
انرژی الکترون به زبان الکترونولت مستقیماً 40 keV است؛ بنابراین E_max = 40 keV. اگر پاسخ ژولی بخواهیم، E_max = 40×10³×1.602×10^−19 J ≈ 6.41×10^−15 J میشود.
برای طول موج از میانبُر سازگار با واحدها استفاده میکنیم: λ_min = 1.24/40 nm = 0.031 nm. به متر، پاسخ 3.1×10^−11 m است. کنترل جهت تغییر نیز درست است: ولتاژ دهها کیلوولت باید فوتونی بسیار پرانرژیتر و کوتاهموجتر از نور مرئی بسازد.
طیف پیوسته را با خطوط مشخصه اشتباه نگیر
کندشدن الکترونها در میدان هستههای هدف میتواند مقدارهای متفاوتی از انرژی را به فوتونها بدهد؛ به همین دلیل زمینهای پیوسته از طول موجها تشکیل میشود. λ_min لبه کوتاهموج همین زمینه است و با ولتاژ شتابدهنده تعیین میشود. با بیشترشدن V، این لبه به طول موجهای کوتاهتر جابهجا میشود.
اگر الکترون برخوردی یکی از الکترونهای لایه داخلی اتم هدف را بیرون براند، الکترونی از تراز بالاتر میتواند جای خالی را پر کند و فوتونی با انرژی برابر اختلاف دو تراز بسازد. این فوتونها خطوط مشخصهاند؛ پس انرژی آنها به ساختار اتمی و جنس هدف وابسته است. ولتاژ باید برای ایجاد جای خالی کافی باشد، اما پس از عبور از آستانه، محل خود خط را اختلاف ترازها تعیین میکند.
- حد کوتاهموج طیف پیوسته: وابسته به ولتاژ
- خطوط مشخصه: وابسته به جنس هدف
- شدت بیشتر با انرژی بیشینه یکسان نیست
مسئله معکوس ولتاژ لازم را بدون تبدیل اضافی حل کن
اگر کمینه طول موج داده شده باشد، رابطه را به صورت V(kV) ≈ 1.24/λ_min(nm) حل کن. برای نمونه، تولید λ_min = 0.020 nm دستکم به V = 1.24/0.020 = 62 kV نیاز دارد. واژه دستکم از اینجا میآید که این ولتاژ فقط حد انرژی یک فوتون را فراهم میکند.
اگر بیشینه انرژی فوتون بر حسب keV داده شده باشد، عدد ولتاژ بر حسب kV همان است: فوتون 75 keV به الکترونی با دستکم 75 keV انرژی و در مدل آرمانی به اختلاف پتانسیل 75 kV نیاز دارد. در این مسیر ضرب دوباره در بار الکترون، وقتی هر دو طرف را با eV و V نوشتهای، خطای رایج است.
مسیر حل چهارگامی و دامهای رایج را کنترل کن
یک: خواسته را میان E_max، f_max و λ_min مشخص کن. دو: انرژی الکترون را از K = eV یا برابری عددی kV و keV بساز. سه: از E = hf = hc/λ فقط تبدیل لازم را انجام بده. چهار: واحد و جهت تناسب را کنترل کن؛ افزایش ولتاژ باید انرژی و بسامد بیشینه را زیاد و طول موج کمینه را کوچک کند.
کمینه طول موج را با کمینه انرژی یکی نگیر؛ چون انرژی با طول موج نسبت وارون دارد، λ_min متعلق به E_max است. شدت بیشتر لزوماً λ_min را عوض نمیکند و تغییر جنس آند نیز در ولتاژ ثابت، حد کوتاهموج را جابهجا نمیکند. برای مرور تبدیل انرژی فوتون، راهنمای طیف الکترومغناطیسی را بخوان؛ مقاله اثر فوتوالکتریک نیز همان رابطه E = hf را در فرایندی متفاوت به کار میگیرد.
- kV را مستقیم با keV جفت کن.
- برای λ بر حسب nm از hc = 1.24 keV·nm استفاده کن.
- λ_min به بیشینه انرژی مربوط است.
- حد پیوسته را از خط مشخصه جدا نگه دار.
برای یافتن حد کوتاهموج لوله پرتو ایکس، ولتاژ شتابدهنده را به انرژی الکترون تبدیل کن و در حالت مرزی eV = hf_max = hc/λ_min بنویس. با افزایش ولتاژ، بیشینه انرژی و بسامد زیاد و کمینه طول موج کم میشود. λ_min ویژگی بخش پیوسته و مستقل از جنس هدف است؛ اما خطوط مشخصه از اختلاف ترازهای انرژی اتم هدف میآیند. در پایان، kV را با keV و nm را با رابطه 1.24 keV·nm کنترل کن.