تلسکوپ نجومی و بزرگنمایی زاویه‌ای آن در تنظیم عادی با دو عدسی همگرا تحلیل می‌شود: عدسی شیئی با فاصله کانونی fₒ از جسم بسیار دور یک تصویر حقیقی و وارونه در صفحه کانونی خود می‌سازد و عدسی چشمی با فاصله کانونی fₑ همان تصویر را مانند ذره‌بین می‌بیند. اگر دو صفحه کانونی بر هم منطبق باشند، تصویر نهایی در بی‌نهایت است، طول لوله L = fₒ + fₑ و بزرگنمایی زاویه‌ای M = −fₒ/fₑ می‌شود. علامت منفی وارونه‌بودن تصویر و |M| تعداد برابر بزرگ‌ترشدن زاویه دید را نشان می‌دهد.
نقش عدسی شیئی و چشمی را جدا کن
در مدل استاندارد تلسکوپ نجومی شکستی، شیئی عدسی همگرا با فاصله کانونی بلند و چشمی عدسی همگرا با فاصله کانونی کوتاه است. پرتوهای رسیده از جسم نجومی تقریباً موازی‌اند؛ بنابراین شیئی آن‌ها را نزدیک صفحه کانونی خود جمع می‌کند و تصویری حقیقی، کوچک و وارونه می‌سازد. این تصویر میانی را می‌توان روی پرده تشکیل داد، هرچند در استفاده عادی پرده‌ای در مسیر نیست.
تصویر میانی برای چشمی نقش جسم را دارد. در استفاده عادی، چشمی از آن یک تصویر حقیقی تازه روی پرده نمی‌سازد؛ پرتوها را طوری به چشم می‌رساند که تصویر با زاویه بزرگ‌تری دیده شود. به همین دلیل کمیت اصلی تلسکوپ «بزرگنمایی زاویه‌ای» است، نه بزرگنمایی خطی یک تصویر روی صفحه.
- شیئی: ساخت تصویر میانی حقیقی و وارونه
- چشمی: افزایش زاویه دید مانند ذره‌بین
- جسم نجومی: در تقریب مسئله بسیار دور و پرتوها موازی
تلسکوپ نجومی و بزرگنمایی زاویه‌ای را از دو زاویه بساز
فرض کن تصویر میانی در صفحه کانونی مشترک دو عدسی ارتفاع h داشته باشد. برای زاویه‌های کوچک، زاویه دید جسم بدون تلسکوپ از رابطه θₒ ≈ h/fₒ و زاویه خروجی از چشمی از θₑ ≈ −h/fₑ به دست می‌آید. نسبت این دو زاویه، M = θₑ/θₒ = −fₒ/fₑ است؛ ارتفاع h حذف می‌شود و فقط فاصله‌های کانونی باقی می‌مانند.
علامت منفی یعنی جهت زاویه خروجی نسبت به زاویه ورودی عوض شده و تصویر نهایی وارونه دیده می‌شود. اگر سؤال فقط «چند برابر» را بخواهد، قدرمطلق را گزارش کن: |M| = fₒ/fₑ. پس برای بزرگنمایی بیشتر، فاصله کانونی شیئی باید نسبت به فاصله کانونی چشمی بزرگ‌تر باشد؛ کوتاه‌کردن fₑ در همین مدل |M| را افزایش می‌دهد.
- بزرگنمایی علامت‌دار: M = −fₒ/fₑ
- اندازه بزرگنمایی: |M| = fₒ/fₑ
- M کمیتی بی‌واحد است.
- منفی‌بودن M به معنی کوچک‌شدن تصویر نیست.
طول تلسکوپ را در تنظیم عادی محاسبه کن
تنظیم عادی یا چشم آسوده یعنی تصویر میانی دقیقاً در کانون جلویی چشمی قرار گیرد. در این حالت پرتوها پس از چشمی موازی خارج می‌شوند و تصویر نهایی در بی‌نهایت است. فاصله میان دو عدسی برابر جمع فاصله‌های کانونی است: L = fₒ + fₑ. این رابطه مخصوص دو عدسی همگرای تلسکوپ نجومی کپلری در تنظیم عادی است.
اگر تصویر نهایی در فاصله محدودی تشکیل شود، تصویر میانی دیگر دقیقاً روی کانون چشمی نیست و نباید L = fₒ + fₑ را بی‌بررسی به کار برد. همچنین طول فیزیکی بدنه و فاصله اپتیکی دو عدسی در یک دستگاه واقعی ممکن است به‌علت اجزای مکانیکی دقیقاً یکسان گزارش نشوند؛ در مسئله آرمانی، منظور از طول همان فاصله دو عدسی است.
مثال حل‌شده: بزرگنمایی و طول یک تلسکوپ
تلسکوپی در تنظیم عادی، عدسی شیئی با فاصله کانونی 100 cm و عدسی چشمی با فاصله کانونی 5 cm دارد. بزرگنمایی زاویه‌ای، وضعیت تصویر و فاصله دو عدسی را پیدا کن.
فاصله‌ها هم‌واحدند؛ بنابراین M = −fₒ/fₑ = −100/5 = −20. تصویر نهایی وارونه است و زاویه دید آن 20 برابر زاویه دید بدون تلسکوپ می‌شود. طول در تنظیم عادی نیز L = fₒ + fₑ = 100 + 5 = 105 cm است.
کنترل پاسخ ساده است: چون شیئی بیست برابر چشمی فاصله کانونی دارد، قدرمطلق بزرگنمایی باید 20 باشد. طول نیز باید از فاصله کانونی شیئی کمی بیشتر شود؛ جواب 105 cm با این انتظار سازگار است.
از طول و بزرگنمایی، فاصله‌های کانونی را پیدا کن
گاهی |M| = n و طول L داده می‌شود. از fₒ = nfₑ و L = fₒ + fₑ داریم L = (n + 1)fₑ؛ پس fₑ = L/(n + 1) و fₒ = nL/(n + 1). استفاده از قدرمطلق در این دستگاه معادله‌ها مناسب است، زیرا طول‌های کانونی دو عدسی همگرا مثبت‌اند و علامت منفی M فقط وارونگی را بیان می‌کند.
برای نمونه، اگر تلسکوپ تنظیم عادی طول 84 cm و بزرگنمایی 20 برابر داشته باشد، fₑ = 84/21 = 4 cm و fₒ = 20×4 = 80 cm است. جمع دو فاصله 84 cm و نسبتشان 20 می‌شود؛ بنابراین هر دو داده سؤال هم‌زمان کنترل شده‌اند.
فاصله کانونی، قطر عدسی و بزرگنمایی را قاطی نکن
در مدل آرمانی این مقاله، بزرگنمایی فقط از نسبت فاصله‌های کانونی به دست می‌آید. قطر شیئی در رابطه M = −fₒ/fₑ حضور ندارد؛ پس نمی‌توان فقط با دو برابرکردن قطر، بزرگنمایی را دو برابر دانست. اگر سؤال قطر یا توان تفکیک را مطرح کند، مسئله درباره ویژگی دیگری از ابزار است و فرمول بزرگنمایی به‌تنهایی پاسخ کامل نمی‌دهد.
همچنین فرمول توان عدسی P = 1/f برای فاصله کانونی بر حسب متر است، اما در نسبت fₒ/fₑ می‌توان هر واحد مشترکی به کار برد. اگر یکی از فاصله‌ها سانتی‌متر و دیگری متر باشد، ابتدا آن‌ها را هم‌واحد کن. مقاله عدسی نازک ساخت تصویر شیئی را مرور می‌کند، راهنمای ذره‌بین نقش چشمی را روشن می‌کند و ترکیب عدسی‌ها تفاوت عدسی‌های چسبیده با دو عدسیِ جدا در تلسکوپ را نشان می‌دهد.
چک‌لیست حل تست تلسکوپ را اجرا کن
یک: مشخص کن تلسکوپ دو عدسی همگرا و در تنظیم عادی است. دو: fₒ را به شیئی و fₑ را به چشمی نسبت بده. سه: واحدها را یکسان کن. چهار: برای بزرگنمایی M = −fₒ/fₑ و برای طول L = fₒ + fₑ را بنویس. پنج: علامت M را به جهت تصویر و قدرمطلق آن را به تعداد برابر بزرگنمایی ترجمه کن. شش: نسبت و جمع فاصله‌ها را در پاسخ معکوس دوباره کنترل کن.
دام‌های پرتکرار عبارت‌اند از وارونه‌نوشتن نسبت fₑ/fₒ، حذف معنای علامت منفی، کم‌کردن فاصله‌های کانونی در تلسکوپ دوعدسی همگرا و استفاده از فرمول طول تنظیم عادی برای تصویر نهایی محدود. اگر نوع چشمی واگرا یا محل تصویر نهایی متفاوت باشد، آرایش و علامت‌ها عوض می‌شوند و باید مسئله را از رسم پرتوها دوباره ساخت.
- شیئی باید در صورت کسر بزرگنمایی باشد.
- در تنظیم عادی، تصویر نهایی در بی‌نهایت است.
- برای دو عدسی همگرا، L = fₒ + fₑ است.
- |M| تعداد برابر بزرگنمایی و علامت M جهت تصویر را می‌دهد.
در تلسکوپ نجومی شکستی با تنظیم عادی، شیئیِ بلندکانون تصویر میانی حقیقی و وارونه می‌سازد و چشمیِ کوتاه‌کانون زاویه دید آن را افزایش می‌دهد. دو رابطه اصلی M = −fₒ/fₑ و L = fₒ + fₑ هستند؛ پس علامت منفی جهت تصویر و قدرمطلق M اندازه بزرگنمایی زاویه‌ای را می‌دهد. پیش از محاسبه، واحد فاصله‌های کانونی را یکسان کن، حالت تنظیم عادی را از متن سؤال تشخیص بده و قطر عدسی را وارد فرمول بزرگنمایی نکن.