پاسخ مستقیم این است: اگر برآیند گشتاور خارجی حول محور انتخابی صفر باشد، تکانه زاویهای دستگاه پایسته میماند. برای جسم صلبی که حول محور ثابت میچرخد، L = Iω است؛ پس میان دو حالت میتوان I₁ω₁ = I₂ω₂ نوشت. در نتیجه با نزدیکشدن جرم به محور و کاهش ممان لختی، اندازه سرعت زاویهای بیشتر میشود. این قانون را فقط پس از انتخاب دستگاه و محور و بررسی گشتاورهای خارجی به کار ببر؛ صفر بودن نیروی خارجی یا ثابت بودن انرژی جنبشی شرط این قانون نیست.
تکانه زاویهای را همراه با محور و جهت تعریف کن
تکانه زاویهای کمیتی وابسته به نقطه یا محور مرجع است. برای ذرهای با بردار مکان r و تکانه خطی p = mv، تعریف برداری آن L = r × p است و اندازهاش از L = rmv sinθ به دست میآید؛ θ زاویه میان r و v است. اگر ذره عمود بر شعاع و روی دایره حرکت کند، رابطه به L = mrv ساده میشود.
برای جسم صلبی که همه بخشهایش با سرعت زاویهای یکسان حول یک محور اصلی ثابت میچرخند، مجموع تکانه زاویهای بخشها برابر L = Iω است. ممان لختی I نشان میدهد جرم چگونه نسبت به محور پخش شده است؛ بنابراین تغییر آرایش جرم میتواند L یا ω را تغییر دهد، حتی اگر جرم کل ثابت بماند.
جهت L را با قاعده دست راست تعیین کن: انگشتان را در جهت چرخش خم کن، شست جهت بردار تکانه زاویهای را نشان میدهد. اگر جهت مثبت محور را از قبل مشخص کردهای، چرخش در یک جهت ω مثبت و در جهت مخالف ω منفی است.
- ذره: L = r × p و |L| = rmv sinθ
- جسم صلب حول محور ثابت: L = Iω
- یکای تکانه زاویهای: kg·m²/s
پیش از نوشتن پایستگی، گشتاور خارجی را بررسی کن
رابطه بنیادی τ_ext = dL/dt میگوید تغییر تکانه زاویهای را برآیند گشتاور نیروهای خارجی میسازد. اگر این برآیند حول محور انتخابی صفر باشد، L دستگاه ثابت میماند. نیروهای داخلی میتوانند آرایش اجزای دستگاه و ممان لختی را تغییر دهند، اما گشتاورهای داخلی جفتی در تکانه زاویهای کل دستگاه ایجاد نمیکنند.
صفر بودن برآیند نیروی خارجی بهتنهایی کافی نیست، زیرا یک زوج نیرو میتواند نیروی خالص صفر و گشتاور خالص ناصفر داشته باشد. برعکس، ممکن است نیروی خارجی وجود داشته باشد ولی خط اثر آن از محور بگذرد و گشتاورش حول همان محور صفر شود. پس هر مسئله را نسبت به محور مشخص بررسی کن، نه با یک حکم کلی درباره وجود نیرو.
مسئله پایستگی تکانه زاویهای را در پنج گام حل کن
یک: دستگاه را تعیین کن؛ مثلاً دانشآموز و صفحه چرخان را با هم بگیر. دو: محور دوران و جهت مثبت آن را مشخص کن. سه: گشتاور نیروهای خارجی را حول همان محور بسنج. چهار: اگر τ_ext = 0 است، L_before = L_after بنویس. پنج: ممان لختی هر حالت را وارد کن و علامت و یکای جواب را کنترل کن.
اگر همه اجزا در هر حالت با یک ω مشترک میچرخند، میتوان از I₁ω₁ = I₂ω₂ استفاده کرد. اگر چند جزء سرعتهای زاویهای متفاوت دارند، تکانه زاویهای آنها را با علامت جمع کن: L_total = ΣIiωi. رابطه ساده یک حاصلضرب را به دستگاه چندسرعته تحمیل نکن.
- دستگاه و محور را انتخاب کن.
- فقط گشتاورهای خارجی را برای پایستگی بسنج.
- تکانه زاویهای همه اجزای دستگاه را با علامت جمع کن.
- پس از حل، ثابتماندن L کل را دوباره کنترل کن.
مثال حلشده: جمعکردن دستها روی صفحه چرخان
دانشآموزی روی صفحهای با اصطکاک ناچیز میچرخد. ممان لختی کل دانشآموز و صفحه در حالت بازبودن دستها 4.0 kg·m² و سرعت زاویهای 2.0 rad/s است. پس از جمعکردن دستها، ممان لختی به 1.6 kg·m² میرسد. سرعت زاویهای نهایی و تغییر انرژی جنبشی دورانی را پیدا کن.
دستگاه را دانشآموز و صفحه میگیریم. گشتاور خارجی حول محور قائم ناچیز است، پس I₁ω₁ = I₂ω₂. بنابراین ω₂ = (4.0×2.0)/1.6 = 5.0 rad/s. کاهش ممان لختی باعث افزایش سرعت زاویهای شده و حاصلضرب Iω در هر دو حالت برابر 8.0 kg·m²/s است.
انرژی آغازین K₁ = 1/2 I₁ω₁² = 8 J و انرژی نهایی K₂ = 1/2 I₂ω₂² = 20 J است؛ پس انرژی جنبشی 12 J افزایش یافته است. تناقضی با پایستگی تکانه زاویهای وجود ندارد: دانشآموز برای جمعکردن دستها کار انجام داده و انرژی شیمیایی بدن به انرژی جنبشی دورانی تبدیل شده است.
پایستگی تکانه زاویهای را با پایستگی انرژی یکی نگیر
اگر L ثابت باشد و جسم با یک ممان لختی مؤثر I بچرخد، انرژی دورانی را میتوان K = L²/(2I) نوشت. بنابراین با کمشدن I در حالی که L ثابت است، K افزایش مییابد. منبع این افزایش میتواند کار نیروهای داخلی باشد؛ مانند فردی که دستهایش را به محور نزدیک میکند.
در برخورد چسبنده دو دیسک هم ممکن است تکانه زاویهای کل حول محور پایسته باشد، اما بخشی از انرژی جنبشی به گرما و تغییر شکل تبدیل شود. پس برای هر کمیت شرط خودش را بررسی کن: گشتاور خارجی صفر برای پایستگی L، و نبود کار نیروهای اتلافی یا تبدیلهای دیگر برای پایستگی انرژی مکانیکی.
برای ذره، مؤلفه عمود بر شعاع را پیدا کن
ذرهای با جرم 0.50 kg در فاصله 0.40 m از مبدأ، با تندی 6.0 m/s حرکت میکند و سرعتش با بردار مکان زاویه 30° دارد. اندازه تکانه زاویهای آن نسبت به مبدأ برابر L = rmv sinθ = 0.40×0.50×6.0×sin30° = 0.60 kg·m²/s است.
اگر همان سرعت در راستای شعاع باشد، θ صفر یا 180 درجه و L صفر است، هرچند تکانه خطی ذره صفر نیست. این مثال نشان میدهد در L = rmv تنها مؤلفه سرعت عمود بر r سهم دارد. فاصله عمودی خط حرکت تا مبدأ نیز میتواند بهعنوان بازوی مؤثر استفاده شود.
خطاهای رایج را پیش از ثبت پاسخ کنترل کن
خطای نخست، نوشتن I₁ω₁ = I₂ω₂ بدون بررسی گشتاور خارجی است. خطای دوم، حذف علامت جهت در برخورد اجسامی است که خلاف هم میچرخند. خطای سوم، استفاده از mrv برای هر زاویه است؛ در حالت عمومی عامل sinθ لازم است. خطای چهارم، نتیجهگیری ثابتبودن انرژی جنبشی از ثابتبودن تکانه زاویهای است.
در پایان بررسی کن که واحد L برابر kg·m²/s باشد، جهت بردار با قاعده دست راست سازگار بماند و حاصلجمع تکانه زاویهای پیش و پس از رویداد برابر شود. برای یادآوری مفهوم بازوی نیرو به راهنمای گشتاور و تعادل میله، و برای ارتباط I و انرژی دورانی به مقاله غلتش بدون لغزش برو.
برای حل مسئله پایستگی تکانه زاویهای، دستگاه و محور را روشن انتخاب کن، نیروهای خارجی و بازوی آنها را بررسی کن و تنها اگر گشتاور خارجی خالص صفر است بنویس L₁ = L₂. در چرخش جسم صلب حول محور ثابت، این رابطه به I₁ω₁ = I₂ω₂ تبدیل میشود. کاهش I باعث افزایش |ω| میشود، اما انرژی جنبشی لزوماً ثابت نیست و ممکن است بهعلت کار نیروی داخلی تغییر کند. جهت تکانه زاویهای، یکای kg·m²/s و ثابتبودن حاصلضرب Iω سه کنترل نهایی پاسخاند.