تعداد تصاویر در دو آینه تخت به زاویه θ میان سطح بازتابنده آن‌ها و در بعضی حالت‌ها به جای جسم بستگی دارد. ابتدا k = 360°/θ را حساب کن: اگر k عدد صحیح زوج باشد، N = k − 1؛ اگر k صحیح فرد باشد، جسم روی نیمساز N = k − 1 و جسم خارج از نیمساز N = k تصویر می‌سازد؛ اگر k صحیح نباشد، در مدل رایج آینه‌های ایدئال N = floor(k) است. دو آینه روبه‌روی هم و موازی نیز در حالت ایدئال بی‌نهایت تصویر می‌سازند. این قواعد را فقط پس از تشخیص زاویه داخلی و وضعیت نیمساز به کار ببر.
چرا دو آینه چند تصویر می‌سازند؟
هر آینه ابتدا یک تصویر مجازی از جسم می‌سازد. سپس تصویر ساخته‌شده در آینه اول برای آینه دوم مانند یک جسم عمل می‌کند و برعکس؛ بنابراین بازتاب‌های پیاپی، تصویرهای مرتبه دوم، سوم و بیشتر را می‌سازند. همه این تصویرها پشت یکی از آینه‌ها دیده می‌شوند و در مدل آینه تخت هم‌اندازه جسم‌اند.
روش هندسی این است که نقطه جسم را نسبت به هر خط آینه قرینه کنی و همین قرینه‌سازی را برای تصویرهای تازه ادامه دهی. وقتی تصویرهای جدید با تصویر قبلی منطبق شوند یا زنجیره تقارن یک دور کامل 360 درجه را پر کند، شمار تصویرهای متمایز محدود می‌شود. پس فرمول شمارش، خلاصه همین تقارن‌های پیاپی است؛ نه رابطه‌ای مستقل از شکل.
- تصویر هر آینه می‌تواند جسمِ آینه دیگر شود.
- فقط تصویرهای متمایز شمرده می‌شوند.
- اندازه و زاویه دید آینه واقعی می‌تواند بعضی تصویرها را پنهان کند.
تعداد تصاویر در دو آینه تخت را از زاویه حساب کن
θ را زاویه کوچک‌تر میان دو سطح بازتابنده بگیر و k = 360°/θ را بساز. اگر k یک عدد صحیح زوج باشد، تعداد تصویرهای متمایز همیشه N = k − 1 است. نمونه آشنای آن θ = 90° است: k = 4 و در نتیجه سه تصویر داریم؛ دو تصویر حاصل از یک بازتاب و یک تصویر حاصل از بازتاب در هر دو آینه.
اگر k صحیح و فرد باشد، جای جسم مهم می‌شود. جسم دقیقاً روی نیمساز زاویه، دو تصویر نهاییِ متقارن را روی هم می‌اندازد و N = k − 1 است؛ جسم خارج از نیمساز این انطباق را از بین می‌برد و N = k می‌شود. اگر k صحیح نباشد، در پرسش‌های استاندارد با آینه‌های ایدئال، تعداد برابر بخش صحیح k است؛ مثلاً floor(3.6) = 3.
- k صحیح و زوج: N = k − 1
- k صحیح و فرد، جسم روی نیمساز: N = k − 1
- k صحیح و فرد، جسم بیرون نیمساز: N = k
- k غیرصحیح: N = floor(k)
سه مثال حل‌شده از حالت زوج، فرد و غیرصحیح
مثال اول: زاویه دو آینه 60° است. داریم k = 360/60 = 6؛ چون 6 صحیح و زوج است، جای جسم اثری بر شمار ندارد و N = 6 − 1 = 5 تصویر تشکیل می‌شود. اگر صورت سؤال فقط زاویه را داده باشد، همین تشخیص برای پاسخ کافی است.
مثال دوم: زاویه 72° است؛ پس k = 360/72 = 5، یعنی عددی صحیح و فرد. اگر جسم روی نیمساز باشد، N = 5 − 1 = 4 است. اگر جسم را از نیمساز کنار ببریم، تصویرهای انتهایی دیگر منطبق نیستند و N = 5 می‌شود. این همان حالتی است که استفاده بی‌شرط از فرمول k − 1 پاسخ را خراب می‌کند.
مثال سوم: زاویه 100° است. k = 360/100 = 3.6 عدد صحیح نیست، پس بخش صحیح آن را می‌گیریم و N = 3 می‌شود. گردکردن معمولی ممنوع است؛ 3.6 را به 4 گرد نکن، زیرا فقط سه ناحیه کاملِ تصویری در هندسه بازتاب‌ها جا می‌گیرد.
دو آینه موازی را جدا از فرمول زاویه بررسی کن
وقتی دو آینه روبه‌روی هم و موازی‌اند، پرتوها می‌توانند بارها میان آن‌ها بازتاب شوند و هر تصویر، تصویرهای بعدی را بسازد. در مدل آینه‌های بی‌نهایت بزرگ با بازتاب کامل، تعداد تصویرها بی‌نهایت است. این حالت را نباید با گذاشتن θ = 0 در 360/θ محاسبه کرد، چون تقسیم بر صفر تعریف نشده است.
در واقعیت، تصویرهای دورتر کم‌نورتر می‌شوند و قاب آینه یا زاویه دید بخشی از آن‌ها را حذف می‌کند. بنابراین «بی‌نهایت» نتیجه مدل هندسی ایدئال است، نه ادعای اینکه چشم در یک آزمایش واقعی بی‌نهایت تصویر روشن و جداگانه می‌بیند.
پاسخ را با رسم قرینه‌ها کنترل کن
برای کنترل حالت‌های مشکوک، دو آینه را به صورت دو نیم‌خط با رأس مشترک رسم کن. جای جسم را مشخص و تصویر نخست را نسبت به هر آینه قرینه کن؛ خط آینه باید عمودمنصف پاره‌خط جسم و تصویر باشد. سپس تصویر هر طرف را نسبت به آینه دیگر قرینه کن و نقاط تکراری را فقط یک بار بشمار.
در زاویه 90°، دو قرینه مستقیم در پشت دو آینه قرار می‌گیرند و قرینه دوباره هر کدام به یک نقطه مشترک در ناحیه پشت گوشه می‌رسد؛ پس سه تصویر متمایز دیده می‌شود. همین رسم نشان می‌دهد چرا در برخی حالت‌های متقارن باید یک واحد کم کرد: دو مسیر بازتابی متفاوت ممکن است به یک مکان تصویری برسند.
چک‌لیست حل تست تعداد تصویر را اجرا کن
یک: مطمئن شو هر دو سطح، آینه تخت و روبه‌روی جسم‌اند. دو: زاویه داخلی میان سطح‌های بازتابنده را θ بگیر. سه: پیش از هر فرمول، موازی‌بودن آینه‌ها را بررسی کن. چهار: k = 360°/θ را بدون گردکردن حساب کن. پنج: صحیح یا غیرصحیح و سپس زوج یا فرد بودن k را تشخیص بده. شش: اگر k فردِ صحیح است، محل جسم نسبت به نیمساز را بخوان. هفت: در پایان فقط تصویرهای متمایز را بشمار.
دام‌های رایج عبارت‌اند از به‌کاربردن همیشگی N = 360/θ − 1، اشتباه‌گرفتن زاویه بازِ بیرونی با زاویه میان آینه‌ها، گردکردن k غیرصحیح و فراموش‌کردن شرط نیمساز در k فرد. برای مرور مکان تصویر در یک آینه، راهنمای آینه تخت را بخوان؛ مقاله آینه‌های کروی تفاوت تصویر تخت با کانون و بزرگنمایی را روشن می‌کند و آموزش سایه و نیم‌سایه رسم پرتوهای مرزی را تمرین می‌دهد.
- آینه‌ها موازی‌اند یا زاویه‌دار؟
- k عدد صحیح است؟
- اگر صحیح است، زوج است یا فرد؟
- در حالت فرد، جسم روی نیمساز است؟
- تصویرهای منطبق را یک بار شمرده‌ای؟
مرز فرمول و آنچه واقعاً دیده می‌شود را بشناس
قاعده شمارش برای جسم نقطه‌ای، آینه‌های تخت ایدئال و اندازه کافی آینه‌ها نوشته می‌شود. برای جسم گسترده، هر نقطه همان تقارن هندسی را دارد، اما قاب کوچک ممکن است کل یک تصویر را به چشم نرساند. کدرشدن، جذب نور و بازتابندگی کمتر از صددرصد نیز تصویرهای مرتبه بالا را کم‌نور می‌کند.
تعداد هندسی تصویرها را با تعداد تصویرهای قابل مشاهده از جای خاص ناظر یکی نگیر. اولی از زاویه و تقارن به دست می‌آید؛ دومی علاوه بر آن به ابعاد آینه، محل چشم، موانع و شدت نور وابسته است. مگر آنکه سؤال این محدودیت‌ها را داده باشد، تست‌های دبیرستانی معمولاً همان مدل ایدئال را می‌خواهند.
برای محاسبه تعداد تصاویر در دو آینه تخت، زاویه داخلی θ را پیدا و k = 360°/θ را بررسی کن. k زوجِ صحیح همیشه N = k − 1 می‌دهد؛ k فردِ صحیح فقط وقتی جسم بیرون نیمساز باشد N = k است و روی نیمساز به k − 1 کاهش می‌یابد؛ برای k غیرصحیح از بخش صحیح k استفاده کن. آینه‌های موازی حالت جداگانه با بی‌نهایت تصویر ایدئال‌اند. پاسخ را با رسم تقارن‌های پیاپی و حذف تصویرهای منطبق کنترل کن و محدودبودن اندازه و بازتابندگی آینه واقعی را از نتیجه هندسی جدا نگه دار.