تشدید زمانی رخ میدهد که یک نیروی دورهای، نوسانگری را با بسامدی برابر یا بسیار نزدیک به بسامد طبیعی آن وادار به نوسان کند؛ در این حالت انتقال انرژی از عامل خارجی به نوسانگر مؤثرتر و دامنه پاسخ بزرگتر میشود. برای حل سؤال، ابتدا نوسانگر و عامل وادارنده را جدا کن، بسامد طبیعی f₀ را با بسامد محرک f مقایسه کن و سپس اثر میرایی را بر ارتفاع و پهنای قله تشدید بسنج. دامنه نیروی محرک با بسامد آن یکی نیست و افزایش نیرو بهتنهایی به معنی وقوع تشدید نیست.
نوسان آزاد، بسامد طبیعی و نوسان اجباری را جدا کن
اگر نوسانگر را یک بار از تعادل دور و سپس رها کنیم، پس از قطع اثر اولیه با بسامد طبیعی خودش نوسان میکند؛ این حرکت را نوسان آزاد مینامیم. بسامد طبیعی به ویژگیهای سامانه وابسته است. برای جرم–فنر آرمانی f₀ = (1/2π)√(k/m) است؛ افزایش سختی فنر f₀ را بیشتر و افزایش جرم آن را کمتر میکند.
در نوسان اجباری، عامل خارجی نیرویی دورهای وارد میکند؛ مانند هلدادن پیدرپی تاب. پس از گذشت رفتار آغازین، پاسخ پایدار نوسانگر با بسامد عامل محرک انجام میشود. این نکته دام رایج تستهاست: بسامد طبیعی تعیین میکند سامانه در کدام بسامد پاسخ بزرگتری دارد، اما بسامد حرکت پایدار را محرک تعیین میکند.
- بسامد طبیعی ویژگی خود نوسانگر است.
- بسامد محرک ویژگی نیروی دورهای خارجی است.
- در پاسخ پایدار، بسامد نوسان با بسامد محرک برابر است.
شرط تشدید را با مقایسه دو بسامد تشخیص بده
وقتی f به f₀ نزدیک میشود، نیروی محرک در چرخههای پیاپی میتواند انرژی را هماهنگتر به نوسانگر منتقل کند و دامنه پاسخ افزایش مییابد. در مدل ساده کتاب درسی، بیشترین پاسخ را در f ≈ f₀ تشخیص میدهیم. عبارت «نزدیک» مهم است، زیرا در سامانه میرا شکل دقیق پاسخ به مقدار میرایی نیز وابسته است.
اگر بسامد محرک خیلی کمتر یا خیلی بیشتر از بسامد طبیعی باشد، دامنه پاسخ معمولاً از مقدار نزدیک تشدید کمتر است. برابرشدن دامنه نیروی محرک با کمیتی دیگر هیچ شرطی برای تشدید نمیسازد؛ فقط نسبت یا مقایسه f و f₀ را بررسی کن.
نمودار دامنه–بسامد را درست بخوان
در نمودار پاسخ تشدید، محور افقی بسامد محرک و محور عمودی دامنه نوسان پایدار است. قله نمودار ناحیه تشدید را نشان میدهد. برای مقایسه دو نوسانگر، جای افقی قله اطلاعات مربوط به بسامد طبیعی را میدهد و ارتفاع و پهنای قله بیشتر به میرایی مربوطاند.
در یک سامانه با میرایی کم، قله بلندتر و باریکتر است؛ یعنی تغییر اندک بسامد در نزدیکی تشدید اثر محسوسی بر دامنه دارد. با افزایش میرایی، انرژی مکانیکی سریعتر تلف میشود، قله کوتاهتر و پهنتر میگردد و تشدید تیز و برجسته نیست.
مثال حلشده: تنظیم بسامد محرک جرم–فنر
جرمی برابر 0.25 kg به فنری با ثابت 100 N/m متصل است و نیرویی دورهای به آن وارد میشود. بسامد طبیعی سامانه از f₀ = (1/2π)√(100/0.25) به دست میآید. چون √400 = 20، داریم f₀ = 20/(2π) ≈ 3.2 Hz. پس میان محرکهای ۱، ۳.۲ و ۸ هرتز، محرک ۳.۲ هرتزی سامانه را به ناحیه تشدید میبرد.
اگر جرم به 1 kg افزایش یابد و فنر عوض نشود، f₀ = (1/2π)√(100/1) ≈ 1.6 Hz میشود. بنابراین برای تشدید دوباره باید بسامد محرک را کاهش داد. چهاربرابرشدن جرم، بسامد طبیعی را نصف کرده است؛ دامنه نیروی محرک در این محاسبه نقشی در محل تشدید ندارد.
تشدید را در تاب و آونگ بدون فرمول اضافه تحلیل کن
برای بزرگکردن دامنه تاب، هلدادنها باید با زمانبندی هماهنگ با حرکت طبیعی تاب تکرار شوند. هلدادن نامنظم ممکن است در بخشی از حرکت انرژی اضافه و در بخشی دیگر از آن کم کند؛ اما نیروی دورهای نزدیک بسامد طبیعی در چرخههای متوالی انتقال انرژی مؤثرتری دارد.
اگر طول تاب بیشتر شود، دوره طبیعی آونگ افزایش و بسامد طبیعی آن کاهش مییابد. در نتیجه عامل وادارنده نیز باید آهستهتر تکرار شود تا دوباره نزدیک تشدید قرار بگیریم. برای محاسبه دقیق این تغییر، میتوان از رابطه دوره آونگ ساده در مقاله مرتبط استفاده کرد.
دامنه، انرژی و میرایی را به جای هم به کار نبر
در نوسان اجباری پایدار، عامل خارجی پیوسته انرژی وارد میکند و نیروهای مقاومتی انرژی را میگیرند. ثابتماندن دامنه به معنی نبود انتقال انرژی نیست؛ یعنی انرژی ورودی متوسط با انرژی تلفشده متوسط موازنه شده است. اگر محرک حذف شود، حرکت باقیمانده بر اثر میرایی بهتدریج کاهش مییابد.
دامنه بزرگتر معمولاً با انرژی مکانیکی بیشتر نوسانگر همراه است، اما بسامد بزرگتر الزاماً دامنه را بیشتر نمیکند. هنگام تغییر بسامد محرک، دامنه ابتدا تا نزدیکی تشدید رشد میکند و سپس با دورشدن از آن کاهش مییابد. پس رابطهای از نوع «هرچه f بیشتر، A بیشتر» درست نیست.
مسیر حل تستهای تشدید را در پنج گام اجرا کن
یک: سامانه نوسانگر و عامل نیروی دورهای را مشخص کن. دو: f₀ را از دادهها محاسبه یا تغییرش را به صورت نسبتی تعیین کن. سه: f محرک را جدا بنویس و میزان نزدیکی f و f₀ را بسنج. چهار: اگر نمودار داده شده، جای قله را برای بسامد و شکل قله را برای میرایی بخوان. پنج: درباره دامنه، انرژی یا بسامد فقط همان کمیتی را نتیجه بگیر که سؤال خواسته است.
سه خطای پرتکرار، یکیگرفتن بسامد طبیعی و بسامد پاسخ در همه شرایط، دانستن نیروی بزرگتر بهعنوان شرط تشدید، و تصور نامحدودشدن دامنه در سامانه واقعی است. برای مرور مفاهیم دوره و بسامد، راهنمای نوسان و موج را بخوان؛ برای وابستگی f₀ به طول نیز مقاله آونگ ساده و برای ارتباط دامنه و انرژی، مقاله انرژی نوسانگر جرم–فنر مکمل این راهنماست.
- محل قله پاسخ: ناحیه بسامد طبیعی سامانه.
- قله کوتاهتر و پهنتر: میرایی بیشتر.
- بسامد پاسخ پایدار: برابر بسامد نیروی محرک.
- شرط تشدید: نزدیکی بسامد محرک و طبیعی، نه بزرگبودن نیرو.
برای تشخیص تشدید، سه پرسش را بهترتیب پاسخ بده: نوسانگر چه بسامد طبیعیای دارد، عامل خارجی با چه بسامدی نیرو وارد میکند و میرایی چقدر است؟ نزدیکشدن بسامد محرک به بسامد طبیعی، انتقال انرژی و دامنه پاسخ را افزایش میدهد؛ میرایی بیشتر قله را کوتاهتر و پهنتر میکند. در حالت پایدار، نوسانگر با بسامد محرک حرکت میکند، نه با بسامد طبیعی خود. پس در هر تست، بسامد، دامنه و انرژی را کمیتهای جداگانه در نظر بگیر.