پاسخ مستقیم این است: برای عدسیهای نازکِ هممحور و چسبیده در هوا، توانها با علامت جمع میشوند؛ یعنی P_eq = P₁ + P₂ + … و چون P = 1/f با f بر حسب متر است، داریم 1/f_eq = 1/f₁ + 1/f₂ + …. توان مثبت دستگاه را همگرا و توان منفی آن را واگرا میکند. پس ابتدا فاصلههای کانونی را به متر تبدیل کن، علامت هر عدسی را بنویس، توانها را جمع کن و فقط اگر محل تصویر خواسته شده است، دستگاه را مانند یک عدسی با f_eq در رابطه عدسی نازک قرار بده.
توان هر عدسی را با واحد و علامت درست بنویس
توان عدسی با P = 1/f تعریف میشود؛ در این رابطه فاصله کانونی باید بر حسب متر باشد و یکای توان، دیوپتر یا m⁻¹ است. عدسی همگرا فاصله کانونی و توان مثبت دارد و عدسی واگرا فاصله کانونی و توان منفی. برای نمونه، عدسی همگرایی با f = +20 cm توان +5 D و عدسی واگرایی با f = −50 cm توان −2 D دارد.
تبدیل سانتیمتر به متر را پیش از وارونکردن انجام بده. اگر بهاشتباه 1/20 را بهجای 1/0.20 بنویسی، پاسخ صد برابر کوچک میشود. راه سریع و همارز برای f بر حسب سانتیمتر این است که P(D) = 100/f(cm) بنویسی، اما علامت f همچنان باید حفظ شود.
- عدسی همگرا: f > 0 و P > 0
- عدسی واگرا: f < 0 و P < 0
- یک دیوپتر برابر 1 m⁻¹ است.
چرا در عدسیهای چسبیده توانها جمع میشوند؟
عدسی اول پرتو را میشکند و عدسی دوم بلافاصله شکست دیگری ایجاد میکند. وقتی ضخامت عدسیها و فاصله میان آنها در مقایسه با فاصلههای مسئله ناچیز باشد، اثر این دو شکست را میتوان با یک عدسی معادل نمایش داد. برای این دستگاه 1/f_eq = 1/f₁ + 1/f₂ است؛ بنابراین با تعریف توان، P_eq = P₁ + P₂ به دست میآید.
این جمع، جبری است نه جمع اندازهها. یک عدسی واگرا با توان منفی میتواند بخشی از همگرایی عدسی مثبت را خنثی کند. اگر جمع توانها مثبت باشد مجموعه همگراست، اگر منفی باشد واگراست و اگر صفر شود پرتوهای موازی پس از دستگاه نیز موازی میمانند؛ در مدل آرمانی فاصله کانونی معادل در بینهایت است.
مسئله ترکیب عدسیها را در پنج گام حل کن
یک: بررسی کن عدسیها نازک، هممحور و چسبیدهاند یا فاصله آنها قابل چشمپوشی اعلام شده است. دو: نوع هر عدسی را مشخص و برای همگرا علامت مثبت و برای واگرا علامت منفی انتخاب کن. سه: همه فاصلههای کانونی را به متر تبدیل کن. چهار: از P_i = 1/f_i توان هر عدسی را بساز و P_eq = ΣP_i را حساب کن. پنج: نوع دستگاه را از علامت P_eq تشخیص بده و در صورت نیاز f_eq = 1/P_eq را به دست آور.
اگر سؤال علاوه بر عدسی معادل، مکان یا نوع تصویر را بخواهد، شیء را نسبت به مجموعه در نظر بگیر و بنویس 1/f_eq = 1/d_o + 1/d_i. در قرارداد رایج، d_o برای شیء حقیقی مثبت است؛ d_i مثبت تصویر حقیقی در سوی دیگر عدسی و d_i منفی تصویر مجازی در سوی شیء را نشان میدهد.
- شرط چسبیدهبودن را بررسی کن.
- واحد f را پیش از محاسبه یکسان کن.
- توانها را همراه علامت جمع کن.
- فقط پس از ساخت عدسی معادل سراغ رابطه تصویر برو.
مثال حلشده: عدسی همگرا و واگرای چسبیده
یک عدسی همگرا با فاصله کانونی +20 cm به عدسی واگرایی با فاصله کانونی −50 cm چسبیده است. توان و فاصله کانونی معادل را بیاب. اگر شیئی در فاصله 50 cm از مجموعه باشد، تصویر در کجا تشکیل میشود؟
فاصلهها را به متر تبدیل میکنیم: f₁ = +0.20 m و f₂ = −0.50 m. پس P₁ = +5 D و P₂ = −2 D؛ در نتیجه P_eq = +3 D. دستگاه همگراست و f_eq = 1/3 m، یعنی تقریباً +33.3 cm.
برای تصویر، همه طولها را با یک واحد مینویسیم: 1/33.3 = 1/50 + 1/d_i بر حسب cm⁻¹. بنابراین 1/d_i ≈ 0.030 − 0.020 = 0.010 و d_i ≈ +100 cm. علامت مثبت میگوید تصویر حقیقی در سوی دیگر مجموعه تشکیل میشود. کنترل کیفی هم سازگار است: شیء بیرون کانون عدسی معادل همگرا قرار دارد، پس تصویر حقیقی انتظار میرود.
ترتیب عدسیهای چسبیده چه اثری دارد؟
در مدل عدسیهای نازکِ کاملاً چسبیده، جابهجا کردن ترتیب عدسیها توان معادل را تغییر نمیدهد، زیرا P₁ + P₂ با P₂ + P₁ برابر است. بنابراین فاصله کانونی معادل نیز همان میماند. این نتیجه به معنای یکسانبودن شکل فیزیکی دو سطح بیرونی یا همه خطاهای نوری دستگاه واقعی نیست؛ فقط مدل پرتوهای نزدیک محور و عدسی نازک را توصیف میکند.
اگر بین عدسیها فاصله مشخص d وجود داشته باشد، نمیتوان بیدرنگ توانها را جمع کرد. پرتو پیش از رسیدن به عدسی دوم مسافتی طی میکند و تصویر میانی عدسی اول برای عدسی دوم نقش شیء را دارد. در چنین مسئلهای تصویر عدسی اول را مرحلهبهمرحله پیدا کن و آن را با قرارداد علامت مناسب ورودی عدسی دوم قرار بده.
اثر افزودن عدسی را پیش از محاسبه پیشبینی کن
افزودن یک عدسی همگرای مثبت به دستگاه همگرای مثبت، توان کل را بیشتر و فاصله کانونی مثبت را کوتاهتر میکند. افزودن عدسی واگرا، توان کل را کاهش میدهد؛ اگر اندازه توان منفی از توان مثبت کمتر باشد دستگاه هنوز همگراست، اگر برابر باشد دستگاه بیکانون میشود و اگر بیشتر باشد مجموعه واگرا خواهد شد.
برای کنترل عددی، به رابطه وارون میان |P| و |f| توجه کن: توان با اندازه بزرگتر یعنی فاصله کانونی با اندازه کوتاهتر. پس جمع دو عدسی +2 D و +3 D باید +5 D و f = 0.20 m بدهد، نه f = 0.83 m که از جمع اشتباه فاصلههای کانونی حاصل میشود.
چهار دام رایج را پیش از انتخاب گزینه حذف کن
دام اول، جمعکردن مستقیم f₁ و f₂ است؛ کمیتی که جمع میشود توان است. دام دوم، حذف علامت منفی عدسی واگراست. دام سوم، استفاده همزمان از سانتیمتر در f و دیوپتر در P است. دام چهارم، بهکاربردن رابطه عدسیهای چسبیده برای دو عدسی با فاصله قابلتوجه است.
در پایان پاسخ سه کنترل انجام بده: یکای توان باید D یا m⁻¹ باشد؛ علامت توان کل باید با نوع پیشبینیشده دستگاه سازگار باشد؛ و حاصل P_eq × f_eq با f بر حسب متر باید یک شود. برای مرور تشکیل تصویر یک عدسی، راهنمای عدسی نازک را بخوان و برای کاربرد توان بر حسب دیوپتر در عینک، مقاله اصلاح نزدیکبینی و دوربینی را ادامه بده.
در ترکیب عدسیهای نازک چسبیده، فاصلههای کانونی را مستقیم جمع نکن؛ هر f را با واحد متر و علامت مناسب به توان P = 1/f تبدیل کن و سپس P_eq = ΣP بنویس. علامت توان کل نوع دستگاه را مشخص میکند و f_eq = 1/P_eq فاصله کانونی آن است. برای یافتن تصویر، پس از این مرحله از رابطه 1/f_eq = 1/d_o + 1/d_i استفاده کن. اگر فاصله میان عدسیها قابل چشمپوشی نیست، فرمول جمع ساده توانها دیگر کافی نیست.