هر جسم با دمای بالاتر از صفر مطلق انرژی را به صورت موج الکترومغناطیسی تابش میکند. توان گسیلشده از سطحی با مساحت A، دمای مطلق T و گسیلندگی ε از P_emit = εσAT⁴ به دست میآید. اما اگر جسم در محیطی با دمای T_env باشد، محیط نیز به آن انرژی میتاباند و آهنگ خالص خروج گرما برابر P_net = εσA(T⁴ − T_env⁴) است. بنابراین نخست تشخیص بده سؤال «توان گسیلشده» میخواهد یا «توان خالص اتلاف»؛ سپس همه دماها را به کلوین تبدیل کن. توان چهارم به کل دمای مطلق مربوط است، نه اختلاف دما.
توان گسیلشده را از توان خالص جدا کن
قانون استفان–بولتزمن، توان تابشی خارجشده از سطح جسم را P_emit = εσAT⁴ میدهد. در این رابطه σ = 5.67×10⁻⁸ W/(m²·K⁴)، ε گسیلندگی سطح، A مساحت تابشکننده و T دمای مطلق جسم است. جسم سیاه آرمانی ε = 1 دارد و برای سطح واقعی 0 ≤ ε ≤ 1 است.
جسم همزمان از محیط تابش جذب میکند. اگر محیط بزرگ، یکنواخت و با دمای T_env باشد و همان ضریب جذب و گسیلندگی مؤثر را به کار ببریم، خروج خالص انرژی P_net = εσA(T⁴ − T_env⁴) است. اگر تنها P_emit خواسته شده، جمله محیط را کم نکن؛ اگر آهنگ سردشدن یا گرمای خالص ازدسترفته خواسته شده، نادیدهگرفتن محیط جواب را بیشبرآورد میکند.
- توان گسیل: P_emit = εσAT⁴
- خروج خالص به محیط: P_net = εσA(T⁴ − T_env⁴)
- یکای هر دو توان: وات
پیش از توان چهارم، دما را به کلوین ببر
دمای رابطه تابش باید مطلق باشد: T(K) = θ(°C) + 273. برای نمونه 27°C تقریباً 300 K است. قرار دادن 27 به جای 300 در T⁴ فقط یک تبدیل واحد ساده را جا نمیاندازد؛ نسبت فیزیکی دماها را کاملاً عوض میکند. اختلاف دمای سلسیوس و کلوین عدد یکسان دارد، اما اینجا خود دما به توان چهار میرسد.
عبارت خالص نیز (T⁴ − T_env⁴) است، نه (T − T_env)⁴. برای مثال اگر T = 400 K و T_env = 300 K باشد، باید 400⁴ − 300⁴ را حساب کرد. میتوان برای کاهش خطای محاسبه از تجزیه T⁴ − T_env⁴ = (T² − T_env²)(T² + T_env²) استفاده کرد.
مقایسه توانها را با نسبتگیری کوتاه کن
اگر محیط در محاسبه نقشی ندارد و فقط یکی از ویژگیها تغییر میکند، نسبتها مستقیماند: در دمای ثابت P با ε و A متناسب است و برای جسم، مساحت و گسیلندگی ثابت، P₂/P₁ = (T₂/T₁)⁴. بنابراین دو برابرشدن دمای مطلق، نه دمای سلسیوس، توان گسیل را 16 برابر میکند.
برای توان خالص، نسبتگیری باید اختلاف توان چهارم را حفظ کند. اگر دو جسم همسان در یک محیط باشند، P_net,2/P_net,1 = (T₂⁴ − T_env⁴)/(T₁⁴ − T_env⁴). حذف T_env فقط وقتی مجاز است که سؤال توان گسیل را بخواهد یا دمای محیط در برابر دمای جسم چنان کوچک فرض شود که صورت سؤال صریحاً تقریب را بپذیرد.
- A دو برابر → توان دو برابر
- ε نصف → توان نصف
- T مطلق دو برابر → توان گسیل ۱۶ برابر
مسئله تابش گرمایی را در پنج گام حل کن
یک: از واژههای «گسیل» یا «اتلاف خالص» نوع توان را تشخیص بده. دو: دمای جسم و محیط را به کلوین تبدیل کن. سه: مساحت کل سطحی را که تابش میکند به مترمربع بنویس؛ برای جسمی که همه وجههایش آزاد است، فقط مساحت یک وجه کافی نیست. چهار: ε و σ را با رابطه مناسب جایگذاری کن. پنج: علامت، یکا و روند جواب را بررسی کن.
اگر انرژی در بازه زمانی Δt خواسته شده و توان در این مدت ثابت فرض میشود، از Q = PΔt استفاده کن. اگر دما با زمان تغییر محسوسی دارد، توان نیز به دلیل وابستگی T⁴ ثابت نیست و این ضرب ساده فقط یک تقریب یا مربوط به بازهای است که صورت سؤال توان متوسط یا دمای ثابت را فرض کرده باشد.
مثال حلشده: توان خالص تابشی یک صفحه داغ
صفحهای با مساحت تابشکننده 0.20 m² و گسیلندگی 0.80 در دمای 500 K در اتاقی با دمای 300 K قرار دارد. توان خالصی را که صفحه بر اثر تابش از دست میدهد بیاب. چون سؤال اتلاف خالص را میخواهد، باید تابش دریافتی از محیط را نیز در نظر بگیریم.
از P_net = εσA(T⁴ − T_env⁴) استفاده میکنیم. اختلاف توان چهارم دماها برابر 500⁴ − 300⁴ = 5.44×10¹⁰ K⁴ است. پس P_net = 0.80×(5.67×10⁻⁸)×0.20×(5.44×10¹⁰) و در نتیجه P_net ≈ 494 W میشود.
برای کنترل، صفحه از محیط گرمتر است؛ بنابراین خروج خالص باید مثبت باشد. توان گسیلشده صفحه بهتنهایی حدود 567 W است و محیط حدود 73 W به آن میرساند؛ اختلاف این دو همان 494 W است. اگر فقط εσAT⁴ را جواب میدادیم، به جای تبادل خالص، کل گسیل صفحه را گزارش کرده بودیم.
چهار خطای رایج را پیش از انتخاب گزینه کنترل کن
خطاهای اصلی عبارتاند از استفاده از سلسیوس، نوشتن (T − T_env)⁴، فراموشکردن مساحت همه سطوح تابشکننده و بهکاربردن توان گسیل به جای توان خالص. یک کنترل ابعادی نیز مفید است: σ در ε، مترمربع و کلوین به توان چهار ضرب میشود و حاصل باید وات باشد.
رنگ ظاهری را بهتنهایی جایگزین گسیلندگی عددی نکن؛ در مسئله محاسباتی ε باید داده شود یا جسم سیاه آرمانی فرض شود. همچنین تابش با رسانش یکی نیست و برای انتقال به محیط خلأ به ماده واسطه نیاز ندارد. برای مقایسه این سازوکار با رسانش، راهنمای انتقال گرما در میله و دیواره و برای جایگاه موجهای تابشی، مقاله طیف الکترومغناطیسی را بخوان.
در مسئله تابش گرمایی، ابتدا میان توان گسیلشده و تبادل خالص فرق بگذار. برای گسیل از εσAT⁴ و برای جسم در محیط یکنواخت از εσA(T⁴ − T_env⁴) استفاده کن. دماها باید کلوین، مساحت باید سطح تابشکننده و گسیلندگی عددی بین صفر و یک باشد. علامت عبارت دمایی جهت تبادل خالص را نشان میدهد: جسم داغتر خالص انرژی از دست میدهد و جسم سردتر خالص انرژی میگیرد. برای مقایسهها، نسبتگیری معمولاً از محاسبه مستقیم توانهای چهارم کوتاهتر و کمخطاتر است.