برای محاسبه گرمای ویژه با اتلاف گرما، آهنگ گرم‌شدن و سردشدن را در یک دمای یکسان مقایسه کن. اگر شیب‌های علامت‌دار sروشن و sخاموش باشند، ظرفیت گرمایی کل مجموعه از Cکل = P/(sروشن − sخاموش) به دست می‌آید؛ سپس c = (Cکل − Cوسایل)/m است. شیب سردشدن منفی است؛ اگر اندازه مثبت آن را به کار ببری، دو اندازه شیب در مخرج جمع می‌شوند. این روش با دو موازنه انرژی، اتلاف مجهول را حذف می‌کند؛ لازم نیست آن را صفر فرض کنیم.
صورت مسئله: گرمای ویژه و اتلاف هر دو مجهول‌اند
مسئله تألیفی: نمونه‌ای جامد با جرم ۵۰۰ گرم را با گرم‌کن جریان مستقیم گرم می‌کنیم. ولتاژ دو سر خود گرم‌کن ۱۲ ولت و جریان آن ۲ آمپر است. نزدیک دمای ۴۰ درجه سلسیوس، آهنگ افزایش دما ۲٫۴ درجه سلسیوس بر دقیقه است. در نوبت سردشدن همان مجموعه، با گرم‌کن خاموش، اندازه آهنگ کاهش دما در همان دمای ۴۰ درجه برابر ۰٫۶ درجه سلسیوس بر دقیقه اندازه‌گیری می‌شود. ظرفیت گرمایی مجموع گرم‌کن، دماسنج و نگهدارنده ۳۰ ژول بر کلوین است. گرمای ویژه نمونه و توان اتلاف به محیط در ۴۰ درجه را پیدا کنید.
فرض‌ها: دمای محیط در هر دو نوبت ۲۰ درجه است؛ چیدمان، تماس حرارتی و جریان هوا تغییر نمی‌کند. نمونه و وسایلِ منظورشده در ظرفیت داده‌شده هم‌دما هستند؛ تأخیر دماسنج و اختلاف دمای درونی را ناچیز می‌گیریم. تغییر حالت، تغییر جرم و کار مکانیکی مؤثر نداریم و ظرفیت‌ها نزدیک ۴۰ درجه ثابت‌اند. تمام توان الکتریکی گرم‌کن ابتدا وارد همین مجموعه می‌شود و خروج انرژی از مرز مجموعه با توان اتلاف حساب می‌شود.
داده‌های آهنگ، شیب موضعی نمودار دما–زمان در نزدیکی ۴۰ درجه‌اند؛ میانگین کل مسیر از ۲۰ تا ۴۰ درجه نیستند. در مدل مسئله، اتلاف در دمای یکسان و محیط یکسان برابر است. این شرط اجازه نمی‌دهد اتلاف را در تمام دماها ثابت بدانیم.
محاسبه گرمای ویژه با اتلاف گرما از دو موازنه انرژی
سامانه را نمونه به‌اضافه وسایل بگیر و بنویس Cکل = mc + Cوسایل. در یک بازه کوتاه بدون تغییر حالت، افزایش انرژی درونی مجموعه CکلΔT است. بنابراین با تقسیم موازنه انرژی بر زمان، توان خالص ورودی برابر Cکلs می‌شود؛ s همان ΔT/Δt در نزدیکی دمای مورد بررسی است.
L را اندازه مثبت توان خروج گرما به محیط در ۴۰ درجه، با واحد وات، تعریف می‌کنیم؛ این نماد در این مقاله گرمای نهان نیست. در حالت روشن: P − L = Cکلsروشن. در حالت خاموش: −L = Cکلsخاموش. چون مجموعه از محیط گرم‌تر است، sخاموش منفی خواهد بود.
معادله خاموش را از روشن کم کن: P = Cکل(sروشن − sخاموش). در نتیجه Cکل = P/(sروشن − sخاموش). بعد از تعیین ظرفیت کل، سهم وسایل را کم کن و بر جرم نمونه تقسیم کن. تنها با داده حالت روشن، دو مجهول Cکل و L داریم و پاسخ یکتا به دست نمی‌آید؛ داده سردشدن معادله دوم را فراهم می‌کند.
برای مرور رابطه C = mc و تفاوت واحد این دو کمیت، راهنمای ظرفیت گرمایی و گرمای ویژه پیش‌نیاز این حل است؛ اینجا توان اتلاف نیز مجهول است.
گام‌های عددی: توان، تبدیل واحد و استخراج ظرفیت
گام اول، توان خود گرم‌کن است: P = VI = 12×2 = 24 W. از ولتاژ منبع به جای ولتاژ دو سر گرم‌کن استفاده نکن، مگر صورت سؤال برابری آن‌ها را مشخص کرده باشد.
گام دوم، تبدیل واحد و علامت: m = 500 g = 0.500 kg؛ sروشن = +2.4/60 = +0.040 K/s و sخاموش = −0.6/60 = −0.010 K/s. اختلاف یک درجه سلسیوس هم‌اندازه یک کلوین است؛ به تغییر دما عدد ۲۷۳ اضافه نمی‌کنیم. تقسیم بر ۶۰ لازم است، چون وات ژول بر ثانیه است.
گام سوم، ظرفیت کل: Cکل = 24/[0.040 − (−0.010)] = 24/0.050 = 480 J/K. اگر به جای شیب منفی، اندازه مثبت آهنگ سردشدن را نوشته‌ای، همین مخرج برابر 0.040 + 0.010 خواهد بود.
گام چهارم، ظرفیت نمونه و گرمای ویژه: Cنمونه = 480 − 30 = 450 J/K؛ سپس c = 450/0.500 = 900 J/(kg·K). ظرفیت ۴۸۰ به همه مجموعه تعلق دارد؛ نسبت‌دادن آن به نمونه به‌تنهایی، اثر وسایل را به جنس نمونه نسبت می‌دهد.
گام پنجم، بازگشت به حالت خاموش: L = −Cکلsخاموش = −480×(−0.010) = 4.8 W. این عدد آهنگ اتلاف در دمای ۴۰ درجه است؛ برای انرژی اتلافی یک بازه بلند، تغییر احتمالی این توان با دما هم باید معلوم باشد.
اگر در تفاوت وات و ژول یا انتخاب P = VI تردید داری، بخش رابطه توان در راهنمای توان و انرژی الکتریکی را مرور کن.
جواب را با موازنه توان و یکا کنترل کن
کنترل عددی حالت روشن: ظرفیت کل از جواب دوباره ساخته می‌شود، Cکل = 0.500×900 + 30 = 480 J/K. توان افزایش انرژی درونی آن 480×0.040 = 19.2 W است. جمع توان ذخیره‌شدن و اتلاف، 19.2 + 4.8 = 24 W می‌شود و با توان گرم‌کن برابر است.
کنترل حالت خاموش: بدون ورودی الکتریکی، آهنگ کاهش انرژی درونی 480×(−0.010) = −4.8 W است. اندازه آن با توان خروجی برابر و علامتش با سردشدن سازگار است. این کنترل دو حالت را جدا می‌آزماید.
کنترل واحد: W/(K/s) = (J/s)/(K/s) = J/K؛ پس تقسیم ظرفیت نمونه بر kg، واحد J/(kg·K) می‌دهد. همچنین باید 0 < L < P باشد تا مجموعه هنگام روشن‌بودن واقعاً گرم شود. جواب ۴٫۸ وات از ۲۴ وات کمتر است و ظرفیت کل نیز از ظرفیت ۳۰ ژول بر کلوین وسایل بیشتر است؛ بنابراین گرمای ویژه مثبت به دست می‌آید.
برای دیدن نقش ظرفیت ظرف در یک موازنه دیگر، مثال ظرف در راهنمای دمای تعادل و گرماسنجی را بخوان؛ در این مسئله توان ورودی داریم و شرط مجموع گرمای اجزای مجموعه برابر صفر نیست.
خطاهای رایج و شرط اعتبار روش دو شیب
خطای اول، حذف اتلاف و نوشتن Cکل = P/sروشن است. در این مثال نتیجه 600 J/K و پس از کسر وسایل، c = 1140 J/(kg·K) می‌شود. این برآورد بیش از جواب درست است، چون تمام توان گرم‌کن را به افزایش دما نسبت داده‌ای، درحالی‌که بخشی از آن هم‌زمان به محیط می‌رود.
خطای دوم، کم‌کردن دو اندازه مثبت شیب‌هاست. معادله با شیب علامت‌دار نوشته شده؛ سردشدن علامت منفی دارد. خطای سوم، استفاده مستقیم از دقیقه کنار وات است؛ این اشتباه ظرفیت و گرمای ویژه را با ضریب ۶۰ جابه‌جا می‌کند.
دو شیب را در دماهای متفاوت، مثلاً گرم‌شدن در ۴۰ و سردشدن در ۳۰ درجه، جای‌گذاری نکن؛ برابری اتلاف دیگر تضمین نشده است. همچنین اگر پس از خاموش‌کردن، گرم‌کن هنوز از نمونه داغ‌تر باشد یا دماسنج تأخیر چشمگیر داشته باشد، مدل هم‌دمایی برای آن داده‌ها معتبر نیست. نیاز نیست قانون مشخصی برای وابستگی اتلاف به دما حدس بزنیم؛ کافی است برابری اتلاف در دو اندازه‌گیریِ هم‌دما موجه باشد.
- شیب‌ها مربوط به دما و شرایط محیطی یکسان‌اند؟
- شیب سردشدن را با علامت منفی نوشته‌ای؟
- دقیقه به ثانیه و گرم به کیلوگرم تبدیل شده‌اند؟
- ظرفیت وسایل را پیش از تقسیم بر جرم کم کرده‌ای؟
- جمع توان افزایش انرژی درونی و اتلاف، برابر توان گرم‌کن است؟
در مثال تألیفی، تبدیل شیب‌ها به +۰٫۰۴ و −۰٫۰۱ کلوین بر ثانیه و توان ۲۴ وات، ظرفیت کل ۴۸۰ ژول بر کلوین را داد. با کم‌کردن ظرفیت ۳۰ ژول بر کلوین وسایل و تقسیم بر جرم ۰٫۵ کیلوگرم، گرمای ویژه ۹۰۰ ژول بر کیلوگرم‌کلوین و توان اتلاف در ۴۰ درجه برابر ۴٫۸ وات شد. شرط کلیدی، مقایسه دو شیب موضعی در دمای یکسان و شرایط محیطی یکسان است.