برای حل حرکت دایرهای، ابتدا آهنگ چرخش را به یک زبان مشترک تبدیل کن: اگر دوره T را داری، ω = 2π/T؛ اگر بسامد f را داری، ω = 2πf؛ و اگر سرعت چرخش n بر حسب دوربردقیقه یا rpm داده شده است، ω = 2πn/60. سپس سرعت خطی نقطهای در فاصله r از محور را از v = ωr به دست آور. همه نقاط یک جسم صلبِ در حال چرخش، سرعت زاویهای یکسان دارند؛ اما نقطه دورتر از محور، سرعت خطی بیشتری دارد.
دور، دوره و بسامد را به سرعت زاویهای تبدیل کن
یک دور کامل برابر زاویه 2π رادیان است. دوره T زمان یک دور و بسامد f تعداد دورها در هر ثانیه است؛ پس f = 1/T. سرعت زاویهای متوسط از نسبت تغییر زاویه به زمان به دست میآید و در چرخش یکنواخت به شکل ω = 2π/T = 2πf نوشته میشود.
واحد ω رادیانبرثانیه است. رادیان از نظر ابعادی بیبعد است، اما نوشتن rad/s کمک میکند آن را با بسامد بر حسب Hz اشتباه نگیری. برای نمونه، f = 5 Hz یعنی پنج دور در ثانیه و در نتیجه ω = 10π rad/s؛ عدد سرعت زاویهای با عدد بسامد برابر نیست.
- T بر حسب ثانیه و f بر حسب هرتز یا s⁻¹ نوشته میشود.
- در هر دور کامل، تغییر زاویه 2π رادیان است.
- روابط این مقاله برای چرخش یکنواخت حول محور ثابت به کار میروند، مگر خلاف آن گفته شود.
rpm را بدون جاانداختن ضریب ۶۰ تبدیل کن
rpm یعنی تعداد دور در یک دقیقه. اگر n rpm داده شده باشد، ابتدا آن را بر 60 تقسیم کن تا دوربرثانیه به دست آید: f = n/60. سپس در 2π ضرب کن؛ بنابراین ω = 2πn/60 = πn/30. این مسیر دو مرحلهای احتمال اشتباه واحد را کم میکند.
مثلاً چرخش 120 rpm برابر 120/60 = 2 دوربرثانیه است؛ پس دوره 0.5 s و سرعت زاویهای 4π rad/s خواهد بود. نوشتن 240π rad/s یعنی دقیقه را با ثانیه عوض نکردهای و پاسخ 60 برابر بزرگ شده است.
سرعت خطی هر نقطه را از فاصلهاش تا محور پیدا کن
طول کمان پیمودهشده نقطهای در فاصله r از محور برابر s = rθ است. با تقسیم دو طرف بر زمان، رابطه v = rω به دست میآید. پس در یک صفحه گردان صلب، همه نقاط در زمان یکسان زاویه یکسانی میپیمایند و ω مشترک دارند، اما v با r متناسب است.
مرکز صفحه r = 0 دارد و سرعت خطی آن صفر است؛ لبه صفحه بیشترین سرعت خطی را دارد. این تفاوت در سؤالهای مربوط به دو نقطه روی یک دیسک یا دو چرخ هممحور مهم است. اگر دو نقطه روی یک جسم صلب باشند، نسبت سرعتهایشان v₂/v₁ = r₂/r₁ است.
- روی یک جسم صلب: T، f و ω برای همه نقاط یکساناند.
- روی همان جسم: v برای نقاط با شعاع متفاوت یکسان نیست.
- شعاع r فاصله عمودی نقطه تا محور چرخش است، نه لزوماً شعاع کل جسم.
مثال حلشده: سرعت لبه چرخ از روی rpm
چرخی با شعاع 25 cm با سرعت ثابت 180 rpm میچرخد. سرعت زاویهای، سرعت خطی نقطهای روی لبه و شتاب مرکزگرای آن را بیاب. ابتدا واحدها را تبدیل میکنیم: r = 0.25 m و f = 180/60 = 3 Hz.
سرعت زاویهای برابر ω = 2πf = 6π rad/s است. سپس v = ωr = 6π × 0.25 = 1.5π m/s، یعنی تقریباً 4.71 m/s. برای شتاب مرکزگرا از a_c = v²/r یا شکل همارز a_c = ω²r استفاده میکنیم: a_c = (6π)² × 0.25 = 9π² m/s²، یعنی تقریباً 88.8 m/s².
کنترل پاسخ: نقطه لبه در هر ثانیه سه بار محیط 2πr را میپیماید؛ پس v = 3 × 2π × 0.25 = 1.5π m/s، همان نتیجه قبلی. این کنترل هندسی هم تبدیل rpm و هم رابطه v = ωr را میآزماید.
چرخهای در تماس و تسمه را با شرط سرعت خطی تحلیل کن
اگر دو چرخ بدون لغزش مستقیماً با هم تماس داشته باشند، اندازه سرعت خطی نقاط تماس برابر است؛ بنابراین ω₁r₁ = ω₂r₂. چرخ کوچکتر سرعت زاویهای بیشتری دارد و جهت چرخش دو چرخِ در تماس مخالف است. این نتیجه از شرط نلغزیدن میآید، نه از برابر بودن سرعت زاویهای.
در دو قرقره متصل با تسمهای که روی سطح نمیلغزد نیز سرعت خطی لبهها برابر است. در تسمه باز، قرقرهها همجهت میچرخند و در تسمه ضربدری جهتها مخالف میشود. برای محاسبه اندازهها همان ω₁r₁ = ω₂r₂ کافی است؛ جهت را جداگانه از شکل تعیین کن.
مسیر حل پنجمرحلهای را برای تستها اجرا کن
یک: محور چرخش و فاصله نقطه موردنظر تا محور را مشخص کن. دو: rpm را به دوربرثانیه و سانتیمتر را به متر تبدیل کن. سه: با داده موجود یکی از روابط f = 1/T یا ω = 2πf را به کار ببر. چهار: برای نقطه موردنظر v = ωr و در صورت نیاز a_c = ω²r را بنویس. پنج: پاسخ را با تناسبها کنترل کن؛ افزایش شعاع در ω ثابت باید v و a_c را به همان نسبت افزایش دهد.
اگر چند چرخ در مسئله هستند، ابتدا نوع اتصال را تشخیص بده. چرخهای هممحور و متصل، ω یکسان دارند؛ چرخهای مماس یا قرقرههای متصل با تسمه بدون لغزش، سرعت خطی لبه برابر دارند. انتخاب اشتباه میان این دو شرط، حتی با محاسبات درست نتیجه را خراب میکند.
دامهای رایج را با سه کنترل کوتاه کنار بزن
نخست، rpm را مستقیماً بهجای rad/s در v = ωr نگذار؛ هم دقیقه باید به ثانیه تبدیل شود و هم دور به رادیان. دوم، شعاع را بر حسب متر وارد کن تا سرعت بر حسب m/s به دست آید. سوم، سرعت ثابت را با شتاب صفر یکی نگیر: در حرکت دایرهای یکنواخت اندازه سرعت ثابت است، اما جهت بردار سرعت تغییر میکند و شتاب مرکزگرا وجود دارد.
در پایان از واحد و وابستگیها کمک بگیر. حاصل ωr باید واحد m/s و حاصل ω²r باید m/s² داشته باشد. اگر شعاع نقطهای دو برابر شود و ω ثابت بماند، هم سرعت خطی و هم شتاب مرکزگرای آن دو برابر میشوند. برای ادامه، راهنمای حرکت دایرهای و نیروی مرکزگرا مسیر تبدیل این شتاب به معادله نیرو را توضیح میدهد.
در حرکت دورانی یکنواخت، دور، دوره، بسامد و سرعت زاویهای فقط بیانهای متفاوت آهنگ چرخشاند. ابتدا داده را به ω بر حسب rad/s تبدیل کن، سپس با v = ωr سرعت خطی هر نقطه و در صورت نیاز با a_c = ω²r شتاب مرکزگرا را بساز. یکسانبودن ω را با یکسانبودن v اشتباه نگیر و پیش از محاسبه، rpm، شعاع و واحدها را به SI تبدیل کن.