برای محاسبه جریان از حرکت حاملهای بار، رابطه I = n|q|Avd را بنویس: n تعداد حاملهای آزاد در واحد حجم، |q| اندازه بار هر حامل، A سطح مقطع عمود بر حرکت و vd اندازه سرعت رانش است. جهت جریان قراردادی، جهت حرکت بار مثبت فرضی است؛ بنابراین در سیم فلزی، الکترونها خلاف جهت جریان رانش میکنند. سرعت رانش با سرعت انتشار اثر میدان در مدار یکی نیست و معمولاً بسیار کوچکتر است. این سه تفکیک، مسیر حل بیشتر سؤالهای میکروسکوپی جریان را روشن میکند.
جریان قراردادی را از حرکت حامل بار جدا کن
جریان متوسط از I = ΔQ/Δt تعریف میشود و یکای آن آمپر، یعنی کولن بر ثانیه است. جهت قراردادی جریان همان جهتی است که بار مثبت حرکت میکند. این قرارداد مستقل از نوع حامل واقعی است: در یک رسانای فلزی، الکترونهای آزاد بار منفی دارند و جهت رانش آنها خلاف جهت جریان است.
بدون میدان الکتریکی، الکترونهای رسانش حرکت گرمایی نامنظم دارند و عبور خالص بار از یک مقطع صفر است. با برقرارشدن میدان، میانگین این حرکتها یک مؤلفه کوچک جهتدار پیدا میکند که سرعت رانش نام دارد. پس سرعت رانش، میانگین حرکت جهتدار حاملهاست، نه سرعت لحظهای نامنظم آنها.
- تعریف جریان: I = ΔQ/Δt
- جهت جریان: جهت حرکت بار مثبت
- در فلز: جهت رانش الکترون خلاف جهت جریان
رابطه I = n|q|Avd را از حجم عبوری بساز
سیمی یکنواخت با سطح مقطع A در نظر بگیر. حاملها در بازه Δt به طور متوسط مسافت vdΔt را در راستای سیم میپیمایند. بنابراین حاملهایی که از مقطع میگذرند، ابتدا در استوانهای به حجم A vdΔt قرار داشتهاند. اگر n چگالی عددی حاملها باشد، تعداد آنها nA vdΔt است.
اندازه بار عبوری برابر ΔQ = n|q|A vdΔt میشود. با تقسیم بر Δt داریم I = n|q|Avd. قدرمطلق q برای محاسبه اندازه جریان است؛ علامت بار را جداگانه برای تعیین جهت حرکت حامل به کار ببر. شکل برداری چگالی جریان جزئیات بیشتری دارد، اما برای سؤالهای یکبعدی همین رابطه کافی است.
- n: تعداد حامل در هر متر مکعب (m⁻³)
- |q|: اندازه بار هر حامل (C)
- A: سطح مقطع عمود بر حرکت (m²)
- vd: اندازه سرعت رانش (m/s)
مسئله سرعت رانش را در چهار گام حل کن
یک: خواسته را مشخص و رابطه را برای آن بازنویسی کن؛ برای نمونه vd = I/(n|q|A). دو: چگالی عددی را بر حسب m⁻³ و سطح را بر حسب m² بنویس. سه: اگر شعاع r داده شده A = πr² و اگر قطر d داده شده A = πd²/4 است. چهار: مقدار را جایگذاری و جهت حامل را جدا از اندازه پاسخ گزارش کن.
کنترل ابعادی سریع مفید است: حاصل nAvd یکای s⁻¹ دارد و با ضرب در کولن، C/s یا آمپر میشود. اگر قطر سیم دو برابر شود و I، n و نوع حامل ثابت بماند، سطح مقطع چهار برابر و سرعت رانش یکچهارم میشود.
مثال حلشده: سرعت رانش الکترونها در سیم
از سیمی با سطح مقطع 1.0 mm² جریان 3.2 A میگذرد. چگالی الکترونهای آزاد را n = 8.0×10²⁸ m⁻³ و اندازه بار الکترون را e = 1.6×10⁻¹⁹ C بگیر. اندازه و جهت سرعت رانش را پیدا کن.
ابتدا سطح را تبدیل میکنیم: 1.0 mm² = 1.0×10⁻⁶ m². از vd = I/(neA) داریم vd = 3.2 / [(8.0×10²⁸)(1.6×10⁻¹⁹)(1.0×10⁻⁶)] = 2.5×10⁻⁴ m/s.
پس اندازه سرعت رانش 2.5×10⁻⁴ m/s یا 0.25 mm/s است. چون حاملها الکتروناند، جهت رانش آنها خلاف جهت جریان قراردادی است. جایگذاری mm² بدون تبدیل به m² پاسخ را یک میلیون برابر نادرست میکند.
اثر سطح مقطع و چگالی حامل را مقایسه کن
از vd = I/(n|q|A) میبینیم برای جریان ثابت، سرعت رانش با سطح مقطع و چگالی حامل نسبت وارون دارد. در دو بخش از یک سیم همجنس با سطحهای متفاوت و جریان پایا، بخش باریکتر سرعت رانش بیشتری دارد؛ زیرا همان آهنگ عبور بار باید از سطح کوچکتری بگذرد.
اما از این تناسب نمیتوان نتیجه گرفت مقاومت فقط به سرعت رانش وابسته است. مقاومت سیم با طول، سطح مقطع، جنس و دما مرتبط است و بررسی آن به رابطه R = ρL/A نیاز دارد. رابطه رانش توصیف میکند جریان معین چگونه با حرکت متوسط حاملها سازگار است.
- I و n ثابت: vd ∝ 1/A
- I و A ثابت: vd ∝ 1/n
- سیم دایرهای: vd ∝ 1/d²، اگر سایر کمیتها ثابت باشند
سرعت رانش را با سرعت برقرارشدن اثر میدان یکی نگیر
با بستن کلید، لامپ پس از زمان قابل توجهی که الکترونهای کنار کلید تا لامپ رانش کنند روشن نمیشود. حاملهای آزاد از قبل در سراسر سیم حضور دارند و تغییر میدان الکتریکی در مدار باعث پاسخ جمعی آنها میشود. سرعت انتقال اثر الکترومغناطیسی در مدار با سرعت رانش یک الکترون یکسان نیست.
تمثیل صف مهرهها فقط برای شهود اولیه مفید است: با فشار یک سر صف، مهره انتهای دیگر زود واکنش نشان میدهد، هرچند هر مهره جابهجایی اندکی دارد. این تمثیل جای مدل میدان را نمیگیرد، اما نشان میدهد چرا سرعت کم رانش با روشنشدن سریع مدار تناقض ندارد.
خطاهای رایج را پیش از پاسخ نهایی کنترل کن
خطای اول، قرار دادن قطر به جای سطح مقطع است. خطای دوم، تبدیلنکردن mm² یا cm² به m². خطای سوم، استفاده از علامت منفی بار الکترون در محاسبه اندازه و اعلام سرعت منفی بدون تعریف محور است. خطای چهارم، همجهت دانستن حرکت الکترون و جریان قراردادی و خطای پنجم، یکیگرفتن سرعت رانش با سرعت انتشار سیگنال است.
در پایان بررسی کن که n چگالی عددی است، نه چگالی جرمی؛ A بر مسیر حامل عمود است؛ و پاسخ اندازه جریان مثبت دارد. برای ادامه، مقاله مقاومت ویژه اثر جنس و هندسه سیم را توضیح میدهد، راهنمای نمودار جریان–زمان محاسبه بار عبوری را تمرین میکند و مقاله جریان–ولتاژ ارتباط جریان با رفتار رسانای اهمی را نشان میدهد.
در مدل یکنواخت رسانا، طی زمان Δt حاملهای موجود در حجم AvdΔt از یک مقطع میگذرند؛ پس ΔQ = n|q|AvdΔt و I = n|q|Avd. برای حل، همه کمیتها را به SI تبدیل کن، سطح مقطع را عمود بر حرکت بگیر و اگر قطر داده شده از A = πd²/4 استفاده کن. در فلز، جهت رانش الکترون خلاف جریان قراردادی است. همچنین روشنشدن سریع مدار را به سرعت بسیار کم رانش نسبت نده؛ میدان الکتریکی در مدار برقرار میشود و حاملهای موجود در سراسر سیم پاسخ میدهند.