مقاومت ویژه سیم؛ اثر طول، سطح مقطع و دما بر مقاومت الکتریکی

مقاومت و مقاومت ویژه چه تفاوتی دارند؟

مقاومت R رفتار یک قطعه مشخص در برابر عبور جریان را توصیف می‌کند و واحد آن اهم است. این کمیت فقط به جنس وابسته نیست؛ طول و سطح مقطع قطعه نیز آن را تغییر می‌دهند. در مقابل، مقاومت ویژه ρ ویژگی ماده در یک دمای معین است و واحد آن Ω·m است.

برای سیم استوانه‌ای یکنواخت می‌نویسیم R = ρL/A. دو سیم مسی با طول یا قطر متفاوت مقاومت یکسانی ندارند، هرچند مقاومت ویژه آن‌ها در دمای یکسان برابر است. همچنین دو سیم هم‌اندازه از دو ماده متفاوت، به‌دلیل تفاوت ρ می‌توانند مقاومت‌های متفاوتی داشته باشند.

• R به جنس، طول، سطح مقطع و دما وابسته است.
• ρ در دمای مشخص به جنس ماده مربوط است، نه ابعاد نمونه.
• واحد R اهم و واحد ρ اهم‌متر است.

مسیر حل مقایسه مقاومت دو سیم

برای حالت اول R₁ = ρ₁L₁/A₁ و برای حالت دوم R₂ = ρ₂L₂/A₂ را بنویس. تقسیم دو رابطه، فرمول نسبت را می‌دهد: R₂/R₁ = (ρ₂/ρ₁)(L₂/L₁)(A₁/A₂). این روش کمیت‌های ثابت را خودبه‌خود حذف می‌کند و معمولاً از جای‌گذاری جداگانه کوتاه‌تر است.

پیش از ساده‌سازی مشخص کن جنس و دما ثابت‌اند یا نه. اگر هر دو سیم از یک ماده و در یک دما باشند، ρ₂/ρ₁ = 1 است. سپس فقط نسبت طول‌ها و سطح مقطع‌ها باقی می‌ماند. در پایان جهت تغییر را کنترل کن: سیم بلندتر یا باریک‌تر باید مقاومت بیشتری داشته باشد.

• حالت اولیه و نهایی را با زیروندهای ۱ و ۲ جدا کن.
• عوامل ثابت را فقط با دلیل حذف کن.
• نسبت‌ها را پیش از واردکردن عدد ساده کن.
• جهت تغییر جواب را با R ∝ L/A بسنج.

چرا تغییر قطر اثرِ توانی بر مقاومت دارد؟

سطح مقطع سیم دایره‌ای A = πr² = πd²/4 است؛ پس در جنس، دما و طول ثابت، R با 1/d² متناسب می‌شود. اگر قطر دو برابر شود، سطح مقطع چهار برابر و مقاومت یک‌چهارم می‌شود. اشتباه رایج این است که دانش‌آموز مقاومت را وارون قطر بداند و پاسخ یک‌دوم به دست آورد.

مثال: دو سیم هم‌جنس و هم‌طول، قطرهای ۱ و ۳ میلی‌متر دارند. نسبت مقاومت سیم دوم به اول R₂/R₁ = A₁/A₂ = d₁²/d₂² = 1²/3² = 1/9 است. برای این نسبت لازم نیست میلی‌متر را به متر تبدیل کنیم، زیرا واحد یکسان در صورت و مخرج حذف می‌شود.

مثال حل‌شده: مقاومت سیم پس از کشیده‌شدن

سیمی را در دمای ثابت می‌کشیم تا طول آن دو برابر شود و فرض می‌کنیم چگالی، مقاومت ویژه و مقدار ماده تغییر نمی‌کند. ثابت‌ماندن مقدار ماده و چگالی یعنی حجم سیم ثابت است؛ بنابراین A₁L₁ = A₂L₂. با L₂ = 2L₁ نتیجه می‌شود A₂ = A₁/2.

اکنون نسبت مقاومت‌ها را می‌نویسیم: R₂/R₁ = (L₂/L₁)(A₁/A₂) = 2×2 = 4. پس مقاومت چهار برابر می‌شود، نه دو برابر؛ زیرا کشیدن سیم هم طول را زیاد و هم سطح مقطع را کم کرده است. به‌طور کلی اگر طول در این مدل k برابر شود، سطح مقطع 1/k برابر و مقاومت k² برابر خواهد شد.

شرط ثابت‌ماندن حجم را فقط وقتی به کار ببر که صورت سؤال کشیده‌شدن همان سیم و ثابت‌ماندن مقدار ماده را بیان یا القا کند. اگر یک سیم جدید با طول بیشتر اما همان سطح مقطع ساخته شده باشد، A ثابت می‌ماند و نتیجه متفاوت است.

بریدن سیم چه زمانی مقاومت معادل را تغییر می‌دهد؟

اگر سیم یکنواختی با مقاومت R به n قسمت مساوی بریده شود، طول هر قطعه L/n و مقاومت هر قطعه R/n است. اگر قطعه‌ها دوباره پشت سر هم متصل شوند، مقاومت معادل همان R می‌شود؛ چون مجموع طول رسانا تغییر نکرده است.

اگر همان n قطعه را موازی ببندیم، هر شاخه مقاومت R/n دارد و مقاومت معادل n شاخه برابر (R/n)/n = R/n² می‌شود. برای نمونه، با سه‌قسمت‌کردن سیم و موازی‌بستن قطعه‌ها، مقاومت معادل R/9 است. این نتیجه را با رابطه هندسی نیز می‌توان دید: طول مؤثر یک‌سوم و سطح مقطع مؤثر سه برابر شده است.

• مقاومت هر قطعه مساوی پس از برش: R/n
• اتصال سری همه قطعه‌ها: R
• اتصال موازی همه قطعه‌ها: R/n²

دما چگونه وارد رابطه مقاومت سیم می‌شود؟

در رابطه R = ρL/A، اثر دما معمولاً از راه تغییر مقاومت ویژه وارد می‌شود. در مدل ساده کتاب درسی برای یک رسانای فلزی و بازه دمایی محدود، افزایش دما باعث افزایش ρ و در نتیجه افزایش R می‌شود. اگر صورت سؤال ضریب دمایی یا رابطه تغییرات را نداده باشد، از ساختن یک رابطه عددی تازه خودداری کن و فقط تغییر کیفی خواسته‌شده را بیان کن.

لامپ رشته‌ای نمونه‌ای است که نشان می‌دهد مقاومت یک رسانا ممکن است با گرم‌شدن ثابت نماند؛ بنابراین نمودار جریان–ولتاژ آن الزاماً خطی نیست. برای جداکردن بحث مقاومت ثابت از رفتار غیرخطی رساناها، راهنمای نمودار جریان–ولتاژ و مقاومت ادامه مناسبی است.

مثال ترکیبی: تغییر جنس، طول و قطر

سیم ۲ نسبت به سیم ۱ مقاومت ویژه‌ای دو برابر، طولی سه برابر و قطری دو برابر دارد. نسبت سطح مقطع‌ها A₂/A₁ = d₂²/d₁² = 4 است. پس R₂/R₁ = (ρ₂/ρ₁)(L₂/L₁)(A₁/A₂) = 2×3×1/4 = 3/2؛ مقاومت سیم دوم ۱٫۵ برابر سیم اول است.

نکته اصلی این مثال آن است که هیچ عامل را جداگانه ملاک نتیجه نگیری. هرچند قطر بیشتر به‌تنهایی مقاومت را کم می‌کند، افزایش مقاومت ویژه و طول در اینجا اثر بزرگ‌تری دارند. نسبت نهایی برآیند هم‌زمان هر سه تغییر را نشان می‌دهد.

خطاهای رایج و چک‌لیست کنترل پاسخ

خطاهای رایج شامل یکی‌گرفتن R و ρ، حذف سطح مقطع بدون ثابت‌بودن آن، استفاده از نسبت قطر به‌جای مربع نسبت قطرها، و ثابت فرض‌کردن هم‌زمان طول و سطح مقطع هنگام کشیده‌شدن همان سیم است. در سؤال‌های مدار نیز ابتدا مقاومت هر سیم را پیدا کن و سپس قواعد سری و موازی را به کار ببر؛ راهنمای ساده‌سازی مدارهای الکتریکی این مرحله را مرور می‌کند.

برای کنترل ابعادی، از ρL/A باید Ω به دست آید: (Ω·m)×m/m² = Ω. برای کنترل فیزیکی، افزایش طول در شرایط دیگرِ ثابت نباید مقاومت را کاهش دهد و افزایش سطح مقطع نباید آن را بیشتر کند. اگر پاسخ با این جهت‌ها ناسازگار است، نسبت A₁/A₂ یا زیروندهای اولیه و نهایی را دوباره بررسی کن.

• جنس و دمای دو حالت را مشخص کن.
• قطر را با A ∝ d² به سطح مقطع تبدیل کن.
• در کشیده‌شدن، درباره ثابت‌بودن حجم تصمیم بگیر.
• بعد از یافتن هر مقاومت، اتصال سری یا موازی را جداگانه تحلیل کن.