برای موج عرضی روی یک تار کشیده و یکنواخت، سرعت انتشار از v = √(T/μ) به دست میآید؛ T کشش تار و μ = m/L جرم واحد طول آن است. پس افزایش کشش موج را تندتر و افزایش چگالی خطی آن را کندتر میکند. بعد از یافتن سرعت، اگر بسامد منبع f معلوم باشد، طول موج را از λ = v/f حساب کن. پیش از جایگذاری مشخص کن که طول یا کشش تغییر کرده و آیا جرم همان قطعه تار ثابت مانده است؛ بیشتر خطاهای این مبحث از ثابت فرضکردن نادرست μ میآیند.
مدل سرعت موج روی تار را درست به کار ببر
در مدل درسیِ تار نازک، یکنواخت و کشیده با دامنه نوسان کوچک، سرعت موج عرضی برابر v = √(T/μ) است. کشش T بر حسب نیوتن و چگالی خطی μ بر حسب kg/m وارد میشوند و پاسخ سرعت بر حسب m/s خواهد بود. این رابطه برای هر موج یا هر محیطی یک قانون عمومی نیست؛ شرطهای مدل تار باید برقرار باشند.
رابطه از رقابت دو ویژگی خبر میدهد: کشش بیشتر نیروی بازگرداننده را افزایش میدهد و موج سریعتر پیش میرود، در حالی که جرم بیشتر در هر متر از تار، پاسخدادن تار را دشوارتر و موج را کندتر میکند. این برداشت کیفی کمک میکند پیش از محاسبه جهت تغییر جواب را پیشبینی کنی. رابطه و محدوده کاربرد آن در مبحث موج مکانیکی کتاب فیزیک پایه دوازدهم معرفی میشود.
- اگر T چهار برابر و μ ثابت شود، سرعت دو برابر میشود.
- اگر μ چهار برابر و T ثابت شود، سرعت نصف میشود.
- دامنه و بسامد منبع مستقیماً در رابطه سرعت این مدل حضور ندارند.
چگالی خطی را از جرم و طول تار بساز
چگالی خطی یعنی جرم در واحد طول و از μ = m/L به دست میآید. برای نمونه، اگر جرم یک تار 12 g و طولش 3 m باشد، جرم را ابتدا به کیلوگرم تبدیل میکنیم: m = 0.012 kg؛ بنابراین μ = 0.012/3 = 0.004 kg/m است. استفاده مستقیم از گرم، واحد سرعت را ناسازگار میکند.
اگر فقط بخشی از یک تار یکنواخت بررسی شود، نسبت جرم به طول آن بخش با کل تار یکسان است. اما دو تار با جنس یکسان الزاماً μ یکسان ندارند؛ سطح مقطع نیز مهم است. برای تار استوانهای میتوان نوشت μ = ρA، پس تار ضخیمتر از همان جنس چگالی خطی بیشتری دارد.
مثال حلشده: سرعت و طول موج را مرحلهبهمرحله پیدا کن
تاری یکنواخت با جرم 20 g و طول 5 m تحت کشش 36 N قرار دارد. منبعی با بسامد 30 Hz روی آن موج میسازد. ابتدا چگالی خطی را حساب میکنیم: μ = 0.020/5 = 0.004 kg/m.
اکنون v = √(36/0.004) = √9000 ≈ 94.9 m/s است. سپس از λ = v/f داریم λ ≈ 94.9/30 ≈ 3.16 m. کنترل واحد نیز درست است: N/(kg/m) معادل m²/s² و ریشه آن m/s میشود. گردکردن را بهتر است تا مرحله پایانی عقب بیندازی.
- دادهها را به kg، m، N و Hz تبدیل کن.
- μ را پیش از سرعت محاسبه کن.
- پس از یافتن v، رابطه v = fλ را به کار ببر.
دو تار یا دو وضعیت را با نسبتگیری مقایسه کن
برای دو وضعیت، نسبت سرعتها برابر v₂/v₁ = √[(T₂/T₁)(μ₁/μ₂)] است. این شکل جلوی جایگذاریهای طولانی را میگیرد، اما فقط پس از مشخصکردن کمیتهای ثابت مفید است. مثلاً اگر کشش 9 برابر و چگالی خطی 4 برابر شود، سرعت به اندازه √(9/4) = 3/2 برابر میشود.
عبارت «تار مشابه» را با دقت بخوان. اگر دو تار همجنس و همقطر باشند، μ آنها برابر است و طول کل بهتنهایی سرعت را تغییر نمیدهد. اگر همان قطعه تار کشیده و بلندتر شود، جرم ثابت میماند و μ کاهش مییابد؛ در عین حال ممکن است کشش نیز تغییر کند. در این حالت باید هر دو تغییر را در رابطه وارد کرد.
هنگام ورود موج به تار دیگر، بسامد و طول موج را جدا کن
وقتی موج از محل اتصال وارد تار دیگری میشود، بسامد نوسان در دو سوی مرز همان بسامدی است که منبع تحمیل میکند. اما چون T یا μ میتواند در محیط دوم متفاوت باشد، سرعت تغییر میکند. در نتیجه λ = v/f نشان میدهد طول موج نیز متناسب با سرعت عوض میشود.
برای مثال، اگر سرعت در تار دوم نصف شود و منبع همچنان 20 Hz باشد، طول موج نیز نصف میشود. گفتن اینکه «سرعت موج برابر بسامد ضربدر طول موج است، پس با تغییر محیط بسامد تغییر میکند» استدلال درستی نیست؛ در این موقعیت بسامد ثابت است و طول موج خود را با سرعت تازه سازگار میکند.
کشش تار را با وزن آویزه اشتباه نگیر
در بعضی مسئلهها تار از روی قرقره میگذرد و جرمی از انتهای آن آویزان است. اگر آویزه ساکن باشد و نخ و قرقره آرمانی فرض شوند، تعادل آویزه میدهد T = Mg. آنگاه این مقدار در رابطه سرعت موج قرار میگیرد.
اگر جرم آویزان شتاب داشته باشد، دیگر نمیتوان بیدرنگ T = Mg نوشت. باید برای آویزه قانون دوم نیوتن را بنویسی و کشش واقعی را به دست آوری. همچنین در دستگاه غیرآرمانی ممکن است کشش دو سوی قرقره یکسان نباشد؛ فقط فرضهای صریح صورت سؤال مجوز سادهسازیاند.
خطاهای رایج و چکلیست نهایی را مرور کن
رایجترین خطاها تبدیلنکردن گرم به کیلوگرم، استفاده از چگالی حجمی به جای چگالی خطی، قرار دادن جرم کل به جای μ و حذف ریشه دوماند. خطای مفهومی دیگر این است که با زیادشدن بسامد منبع، سرعت موج روی همان تار را بیشتر فرض کنیم؛ در مدل حاضر T و μ سرعت را تعیین میکنند و افزایش f طول موج را کاهش میدهد.
برای ادامه، مقاله موج ایستاده در تار و لوله صوتی نشان میدهد چگونه همین سرعت وارد شرطهای هارمونیک میشود. راهنمای نوسان و موج نیز ارتباط دوره، بسامد و نمودار موج را مرور میکند و مقاله تحلیل ابعادی برای کنترل واحد رابطهها مفید است.
- شرطهای مدل و یکنواختبودن تار را بررسی کن.
- μ = m/L را با واحد kg/m بساز.
- تغییرهای T و μ را همزمان در نظر بگیر.
- جهت تغییر جواب و واحد نهایی را کنترل کن.
مسیر حل را کوتاه و ثابت نگه دار: ابتدا μ = m/L را برای وضعیت موردنظر پیدا کن، سپس v = √(T/μ) را بنویس و در صورت نیاز از v = fλ استفاده کن. در مقایسه دو حالت، کمیتهای ثابت را پیش از نسبتگیری مشخص کن. بسامد را منبع تعیین میکند، اما سرعت به ویژگی تار و کشش آن وابسته است؛ بنابراین با عبور موج به تار دیگر معمولاً طول موج تغییر میکند. واحدها و رفتار حدی پاسخ، کنترل نهایی محاسبهاند.