پاسخ مستقیم این است: برای گاز کامل، سرعت مؤثر یا rms مولکولها از v_rms = √(3RT/M) به دست میآید؛ T باید دمای مطلق بر حسب کلوین و M جرم مولی بر حسب kg/mol باشد. بنابراین سرعت مؤثر با ریشه دوم دما زیاد و با ریشه دوم جرم مولی کم میشود. برای مقایسه دو حالت معمولاً نیازی به مقدار R نیست: v₂/v₁ = √[(T₂/T₁)(M₁/M₂)]. این سرعت، میانگین برداری سرعتها نیست؛ معیاری از اندازه سرعتهای نامنظم مولکولهاست.
سرعت مؤثر دقیقاً چه کمیتی را نشان میدهد؟
مولکولهای گاز در جهتهای گوناگون حرکت میکنند. در گازی که در ظرف ساکن و در تعادل است، میانگین برداری سرعتها تقریباً صفر است، اما این به معنی ساکنبودن مولکولها نیست. برای سنجیدن اندازه حرکت نامنظم آنها، ابتدا مربع سرعت هر مولکول را میانگین میگیریم و سپس ریشه دوم میگیریم؛ به همین دلیل نام این کمیت ریشه میانگین مربع سرعت یا rms است.
سرعت مؤثر با نماد v_rms نوشته میشود و برای گاز کامل تکاتمی یا چنداتمی نیز رابطه انتقالی v_rms = √(3RT/M) را دارد. این کمیت را با تندی متوسط یا محتملترین تندی یکی نگیر؛ هر سه از یک توزیع سرعت به دست میآیند، اما مقدارشان دقیقاً برابر نیست. در مسئله دبیرستانی هرگاه «سرعت مؤثر» خواسته شد، همین رابطه rms منظور است.
- میانگین برداری سرعت مولکولها در گاز ساکن تقریباً صفر است.
- سرعت مؤثر مثبت و وابسته به میانگین مربع سرعتهاست.
- v_rms با تندی متوسط یکسان نیست.
اثر دما و جرم مولی را پیش از محاسبه پیشبینی کن
از v_rms = √(3RT/M) میبینیم که برای یک گاز ثابت، v_rms با √T متناسب است. اگر دمای مطلق چهار برابر شود، سرعت مؤثر دو برابر میشود؛ دو برابرشدن دمای کلوین فقط سرعت را √2 برابر میکند. این تناسب را نمیتوان با دمای سلسیوس به کار برد، زیرا صفر سلسیوس مبدأ انرژی گرمایی نیست.
در دمای برابر، گاز با جرم مولی کمتر سرعت مؤثر بیشتری دارد. اگر جرم مولی یک گاز چهار برابر گاز دیگر باشد، سرعت مؤثرش نصف میشود. جرم مولی در این رابطه ویژگی نوع گاز است؛ زیادکردن تعداد مولهای همان گاز در دما و شرایط تعادل یکسان، سرعت مؤثر تکمولکولها را تغییر نمیدهد.
- برای یک گاز: v_rms ∝ √T
- در دمای ثابت: v_rms ∝ 1/√M
- دما را فقط بر حسب کلوین مقایسه کن.
واحدها را برای محاسبه مستقیم آماده کن
در دستگاه SI، ثابت عمومی گازها R = 8.314 J/(mol·K)، دما بر حسب K و جرم مولی M بر حسب kg/mol وارد میشوند. جرم مولیهای جدولهای شیمی معمولاً g/mol هستند؛ برای نمونه 32 g/mol باید به 0.032 kg/mol تبدیل شود. جاگذاشتن عدد 32 در رابطه، سرعت را بهطور جدی نادرست میکند.
کنترل ابعادی نیز مفید است: واحد RT/M به J/kg میرسد و J/kg با m²/s² برابر است؛ پس ریشه آن واحد m/s دارد. اگر سؤال فقط نسبت سرعتها را بخواهد و واحد جرم مولی هر دو گاز یکسان باشد، تبدیل g/mol به kg/mol در نسبت حذف میشود.
مثال حلشده: سرعت مؤثر مولکولهای اکسیژن
سرعت مؤثر مولکولهای اکسیژن را در دمای 27°C حساب کن. جرم مولی اکسیژن 32 g/mol و R = 8.314 J/(mol·K) است. ابتدا T = 27 + 273 = 300 K و M = 32×10⁻³ = 0.032 kg/mol را مینویسیم.
اکنون v_rms = √[(3×8.314×300)/0.032] است. مقدار زیر رادیکال تقریباً 233831 m²/s² و سرعت مؤثر تقریباً 484 m/s میشود. این عدد سرعت یک مولکول مشخص در تمام لحظهها نیست؛ rms مجموعه بزرگی از مولکولها در تعادل گرمایی است.
برای کنترل روند، اگر همین گاز تا 1200 K گرم شود، دمای کلوین چهار برابر شده و سرعت مؤثر باید دو برابر، یعنی حدود 968 m/s شود. این نتیجه بدون محاسبه دوباره کل عبارت به دست میآید.
دو گاز یا دو دما را با روش نسبتی مقایسه کن
برای دو حالت بنویس v₂/v₁ = √[(T₂/T₁)(M₁/M₂)]. ترتیب جرمها برعکس ترتیب دماهاست، چون جرم مولی در مخرج رابطه اصلی قرار دارد. اگر نوع گاز ثابت باشد، Mها حذف میشوند؛ اگر دما ثابت باشد، Tها حذف میشوند.
مثلاً نیتروژن با M = 28 g/mol و هلیوم با M = 4 g/mol را در دمای یکسان مقایسه کن. نسبت سرعت مؤثر هلیوم به نیتروژن برابر √(28/4) = √7 ≈ 2.65 است. هر دو گاز دمای یکسان دارند، ولی مولکولهای سبکتر هلیوم برای داشتن انرژی جنبشی انتقالی متوسط یکسان، سریعترند.
سرعت مؤثر را به انرژی جنبشی متوسط پیوند بده
برای هر مولکول گاز کامل، انرژی جنبشی انتقالی متوسط برابر ½m v_rms² = 3/2 k_BT است. سمت راست فقط به دمای مطلق وابسته است؛ بنابراین دو گاز کامل در دمای یکسان، انرژی جنبشی انتقالی متوسط یکسانی برای هر مولکول دارند، حتی اگر جرم و سرعت مؤثرشان متفاوت باشد.
اگر جرم مولکول بیشتر باشد، برای ثابتماندن ½mv² باید سرعت مؤثر کمتر شود. این استدلال همان وابستگی وارون v_rms به √M را توضیح میدهد. انرژی جنبشی انتقالی را با کل انرژی داخلی همه گازها یکی نگیر؛ درجههای آزادی دورانی یا ارتعاشی میتوانند در انرژی داخلی نقش داشته باشند، در حالی که رابطه سرعت مؤثر فقط حرکت انتقالی را توصیف میکند.
مسیر حل و خطاهای رایج را کنترل کن
یک: مشخص کن محاسبه مستقیم میخواهی یا نسبت. دو: همه دماها را به کلوین ببر. سه: در محاسبه مستقیم M را به kg/mol تبدیل کن. چهار: نسبتها را پیش از گرفتن ریشه ساده کن. پنج: پاسخ را با این روند بسنج که گرمایش سرعت را بیشتر و جرم مولی بزرگتر آن را کمتر میکند.
خطاهای رایج شامل استفاده از دمای سلسیوس، قراردادن g/mol در فرمول SI، حذف ریشه دوم، وارونهنوشتن نسبت جرمها و یکیگرفتن سرعت مؤثر با میانگین برداری سرعت است. برای مرور تبدیل دما و ثابتبودن مقدار گاز، راهنمای قانون گازها را بخوان؛ برای ارتباط تغییرات گاز با کار و گرما به مقاله قانون اول ترمودینامیک و برای بررسی یکاها به راهنمای تحلیل ابعادی مراجعه کن.
برای حل مسئله سرعت مؤثر گاز، ابتدا دما را به کلوین و جرم مولی را به kg/mol تبدیل کن، سپس v_rms = √(3RT/M) را به کار ببر. در سؤالهای مقایسهای از نسبت ریشهای استفاده کن: سرعت با √T مستقیم و با √M وارون است. در یک دمای یکسان، انرژی جنبشی متوسط مولکولهای گازهای کامل برابر است، اما مولکول سبکتر برای داشتن همان انرژی سریعتر حرکت میکند. کنترل واحد، روند پاسخ و تمایز سرعت مؤثر از سرعت متوسط برداری سه بررسی پایانیاند.