سرعت گریز، کمترین تندی آغازین جسمی است که بدون نیروی پیشران و با صرفنظر از مقاومت هوا بتواند از فاصله r نسبت به مرکز یک جرم کروی با جرم M دور شود و در بینهایت با تندی صفر برسد. از پایستگی انرژی، ½mv² − GMm/r = 0 و در نتیجه v_escape = √(2GM/r) به دست میآید. جرم جسم پرتابی حذف میشود؛ پس در این مدل سرعت گریز به جرم پرتابه وابسته نیست. برای پرتاب از سطح سیاره، r شعاع سیاره است، نه ارتفاع از سطح.
شرط گریز را با انرژی مکانیکی کل بنویس
انرژی پتانسیل گرانشی جسمی با جرم m در فاصله r از مرکز جرم M برابر U = −GMm/r است؛ مرجع انرژی پتانسیل را در بینهایت صفر میگیریم. انرژی مکانیکی آغازین جسم پس از پرتاب، E = ½mv₀² − GMm/r است. اگر E منفی باشد، جسم در میدان گرانشی مقید میماند؛ اگر E صفر یا مثبت باشد، میتواند تا بینهایت دور شود.
در حالت مرزیِ کمترین سرعت، جسم در بینهایت درست با تندی صفر میرسد؛ پس انرژی نهایی صفر است. با برابرگذاشتن انرژی آغازین و نهایی داریم ½mv_escape² − GMm/r = 0. پس v_escape = √(2GM/r). حذفشدن m نشان میدهد یک سنگ و یک فضاپیما از نقطهای یکسان، در مدل بدون مقاومت هوا، سرعت گریز یکسانی دارند.
- انرژی مرزی فرار: E = 0
- سرعت گریز: v_escape = √(2GM/r)
- فاصله r همیشه از مرکز جرم مرکزی سنجیده میشود.
مسئله سرعت گریز را در چهار گام حل کن
یک: جرم مرکزی M و فاصله آغازین r از مرکز آن را مشخص کن؛ اگر جسم در ارتفاع h از سطح سیارهای با شعاع R است، r = R + h. دو: تعیین کن سؤال کمترین سرعت گریز را میخواهد یا جسم باید در بینهایت هنوز سرعتی غیرصفر داشته باشد. سه: انرژی ½mv² − GMm/r را در ابتدا و انتها بنویس. چهار: پس از حل، واحد و وابستگی جواب به M و r را کنترل کن.
اگر سرعت نهایی در بینهایت v∞ داده شده باشد، انرژی نهایی دیگر صفر نیست و باید ½mv₀² − GMm/r = ½mv∞² بنویسی. بنابراین v₀² = v_escape² + v∞². جمعکردن خود سرعتها درست نیست، چون رابطه از جمع انرژیهای جنبشی و در نتیجه مجذور سرعتها میآید.
مثال حلشده: سرعت گریز سیارهای با دادههای ساده
سیارهای کروی با جرم M = 6.0×10²⁴ kg و شعاع R = 6.4×10⁶ m در نظر بگیر. با G = 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg² و صرفنظر از جو و چرخش سیاره، کمترین سرعت پرتاب از سطح را پیدا کن.
چون پرتاب از سطح انجام میشود، r = R است. از v_escape = √(2GM/R) داریم v_escape = √([2×6.67×10⁻¹¹×6.0×10²⁴]/[6.4×10⁶]). عبارت زیر رادیکال تقریباً 1.25×10⁸ m²/s² است؛ پس v_escape ≈ 1.12×10⁴ m/s، یعنی حدود 11.2 km/s میشود.
برای کنترل، میتوان از g = GM/R² استفاده کرد و رابطه را به v_escape = √(2gR) تبدیل کرد. با g ≈ 9.8 m/s² همان مقدار تقریبی به دست میآید. این عدد سرعت جسم درست پس از پرتاب در مدل آرمانی است، نه سرعت ثابتی که در تمام مسیر حفظ شود؛ تندی جسم هنگام دورشدن کاهش مییابد.
سرعت گریز را با سرعت مدار دایرهای مقایسه کن
برای مدار دایرهای در شعاع r، نیروی گرانش نقش نیروی مرکزگرا را دارد و v_orbit = √(GM/r) به دست میآید. بنابراین در همان فاصله، v_escape = √2 v_orbit است. این نسبت فقط وقتی هر دو سرعت را در یک r و پیرامون همان جرم مرکزی مقایسه کنیم معتبر است.
جهت سرعت نیز در تفسیر حرکت مهم است. جسمی با تندی مداری و جهت مماس میتواند در مدار دایرهای بماند، اما پرتاب شعاعی با همان تندی چنین مداری نمیسازد. در فرمول سرعت گریز، انرژی مکانیکی تعیین میکند جسم مقید است یا نه؛ اگر تندی به حد گریز برسد، جهت آغازین در مدل جرم مرکزیِ منفرد بر امکان فرار اثر تعیینکننده ندارد، هرچند شکل مسیر را عوض میکند.
- مدار دایرهای: v_orbit = √(GM/r)
- گریز: v_escape = √(2GM/r)
- در یک شعاع یکسان: v_escape/v_orbit = √2
برای فرار تا بینهایت از mgh استفاده نکن
رابطه ΔU ≈ mgh زمانی تقریب مناسبی است که تغییر ارتفاع در مقایسه با شعاع سیاره کوچک باشد و g را بتوان تقریباً ثابت گرفت. در مسئله گریز، جسم تا فاصلههای بسیار بزرگ میرود و شتاب گرانش با فاصله تغییر میکند؛ بنابراین باید از U = −GMm/r استفاده کرد.
اگر بیدلیل ½mv² = mgh بنویسی و h را بینهایت بگیری، انرژی لازم نیز بینهایت میشود؛ این نتیجه نادرست است. میدان گرانشی با دورشدن ضعیف میشود و انرژی لازم برای رفتن از شعاع R تا بینهایت مقدار محدود GMm/R دارد. برای ارتفاعهای کوچک نزدیک سطح، mgh همچنان میتواند تقریب مناسبی باشد، اما دامنه اعتبار آن را باید از صورت مسئله تشخیص داد.
اثر جرم و شعاع سیاره و فرضهای مدل را کنترل کن
از v_escape ∝ √(M/r) میبینیم در فاصله یکسان، جرم مرکزی بیشتر سرعت گریز را افزایش میدهد و با دورشدن از مرکز، سرعت گریز کاهش مییابد. اگر چگالی متوسط دو کره یکسان باشد، M با R³ متناسب است و سرعت گریز از سطح با R متناسب میشود؛ این نتیجه فقط با فرض چگالی برابر به دست میآید.
فرمول پایه، جرم مرکزی کروی و ساکن، نبود مقاومت هوا و پایانیافتن نیروی پیشران پس از پرتاب را فرض میکند. در پرتاب واقعی، جو انرژی میگیرد و چرخش سیاره میتواند بسته به جهت پرتاب بخشی از سرعت آغازین را فراهم کند. این جزئیات را بدون داده وارد مسئله دبیرستانی نکن، اما محدودیت مدل را در تفسیر جواب به خاطر داشته باش.
چهار خطای رایج را پیش از انتخاب گزینه کنار بگذار
خطای اول، گذاشتن ارتفاع h به جای فاصله R + h است. خطای دوم، استفاده از mgh برای مسیر تا بینهایت. خطای سوم، باقیگذاشتن جرم پرتابه در پاسخ نهایی و خطای چهارم، یکیگرفتن سرعت گریز با سرعت مدار دایرهای است. در پایان بررسی کن واحد GM/r برابر m²/s² و واحد ریشه آن m/s باشد.
اگر داده مسئله g و R باشد، v_escape = √(2gR) فقط برای g سطح همان جرم مرکزی قابل استفاده است. برای مرور استخراج سرعت مداری، مقاله قانون گرانش و حرکت ماهواره را بخوان؛ تغییر g با فاصله در راهنمای شتاب گرانش در ارتفاع توضیح داده شده و مقاله پایستگی انرژی نیز در انتخاب مرجع انرژی و نوشتن معادله آغاز و پایان کمک میکند.
سرعت گریز از شرط صفرشدن انرژی مکانیکی کل در مرز فرار به دست میآید: v_escape = √(2GM/r). فاصله r را از مرکز جرم مرکزی بگیر، انرژی پتانسیل را −GMm/r بنویس و در حالت مرزی تندی نهایی در بینهایت را صفر قرار بده. جرم پرتابه در مدل آرمانی حذف میشود و سرعت گریز در یک فاصله مشخص √2 برابر سرعت مدار دایرهای همان فاصله است. این نتیجه مقاومت هوا، چرخش سیاره و ادامه کار موتور را در نظر نمیگیرد.