حل مسئله نمودار فشار–حجم؛ کار و گرمای چرخه چندمرحله‌ای

صورت مسئله، داده‌ها و فرض‌های چرخه را دقیق بنویس

مقداری گاز در یک سیلندر بسته چرخه A→B→C→D→A را طی می‌کند. مختصات حالت‌ها روی نمودار P–V چنین‌اند: A برابر (۲ L، ۱۰۰ kPa)، B برابر (۲ L، ۳۰۰ kPa)، C برابر (۵ L، ۳۰۰ kPa) و D برابر (۵ L، ۱۰۰ kPa). کار خالص و گرمای خالص چرخه را بیابید. همچنین اگر تغییر انرژی درونی در مسیر B→C برابر +۱۳۵۰ J باشد، گرمای همان مرحله را حساب کنید.

فرض می‌کنیم فرایندها شبه‌ایستا، گاز بسته و تنها کار مکانیکی از نوع فشار–حجم است. محور افقی حجم و محور عمودی فشار است. قرارداد این حل W = کار انجام‌شده به‌وسیله گاز و ΔU = Q − W است؛ پس گرمای ورودی Q مثبت، انبساط W مثبت و تراکم W منفی خواهد بود.

نقاط، یک مستطیل می‌سازند و جهت A→B→C→D→A ساعت‌گرد است. همین مشاهده پیش از محاسبه پیش‌بینی می‌کند کار خالص گاز باید مثبت باشد؛ چون انبساط در فشار ۳۰۰ kPa و تراکم در فشار کمتر ۱۰۰ kPa رخ می‌دهد.

• دستگاه: همان مقدار گاز در سیلندر بسته
• قرارداد: ΔU = Q − W و W کار گاز
• تبدیل کلیدی: 1 kPa·L = 1 J
• جهت چرخه: ساعت‌گرد و کار خالص مثبت

در حل مسئله نمودار فشار–حجم رابطه مناسب هر مسیر را انتخاب کن

رابطه عمومی کار گاز W = ∫P dV است. برای پاره‌خط افقی، فشار ثابت است و رابطه به W = PΔV تبدیل می‌شود. برای پاره‌خط عمودی، حجم ثابت و ΔV = 0 است؛ بنابراین حتی با تغییر فشار، کار آن مرحله صفر می‌ماند.

لازم نیست فشار و حجم را جداگانه به Pa و m³ تبدیل کنیم، زیرا kPa·L مستقیماً ژول است: (10³ Pa)(10⁻³ m³) = 1 Pa·m³ = 1 J. نوشتن این زنجیره هم واحد نهایی را روشن می‌کند و هم جلوی خطای ضریب هزار را می‌گیرد.

قانون اول را پس از تعیین علامت کار به کار می‌بریم. در هر مرحله Q = ΔU + W است. برای کل چرخه، حالت نهایی همان حالت آغازین است؛ پس ΔU_cycle = 0 و بدون دانستن جزئیات انرژی درونی هر مرحله، Q_cycle = W_cycle خواهد بود.

کار هر چهار مرحله را گام‌به‌گام محاسبه کن

در A→B حجم ۲ لیتر ثابت است؛ پس W_AB = 0. در B→C گاز در فشار ثابت ۳۰۰ kPa از ۲ به ۵ لیتر منبسط می‌شود: ΔV = +3 L و W_BC = (300 kPa)(+3 L) = +900 J. علامت مثبت با حرکت به راست نمودار سازگار است.

در C→D حجم ۵ لیتر ثابت می‌ماند؛ بنابراین W_CD = 0. در D→A گاز در فشار ۱۰۰ kPa از ۵ به ۲ لیتر متراکم می‌شود: ΔV = −3 L و W_DA = (100 kPa)(−3 L) = −300 J. منفی‌بودن یعنی محیط روی گاز کار خالص انجام می‌دهد، نه اینکه اندازه هندسی سطح منفی باشد.

اکنون کارها را با علامت جمع می‌کنیم: W_cycle = 0 + 900 + 0 − 300 = +600 J. واحد نهایی ژول است و مثبت‌بودن آن می‌گوید گاز در یک دور، ۶۰۰ ژول کار خالص به محیط می‌دهد.

قانون اول را برای یک مرحله و کل چرخه اجرا کن

برای مرحله B→C داده شده است ΔU_BC = +1350 J و از محاسبه قبلی W_BC = +900 J. از ΔU = Q − W داریم Q_BC = ΔU_BC + W_BC = 1350 + 900 = +2250 J. پس در این انبساط، ۲۲۵۰ ژول گرما وارد گاز شده؛ ۱۳۵۰ ژول انرژی درونی را افزایش داده و ۹۰۰ ژول به کار تبدیل شده است.

برای کل چرخه، ΔU_cycle = 0 است، زیرا انرژی درونی تابع حالت است و گاز دوباره به A می‌رسد. در نتیجه 0 = Q_cycle − W_cycle و Q_cycle = +600 J. گرمای خالص دریافتی چرخه ۶۰۰ ژول است؛ این نتیجه درباره جمع علامت‌دار همه تبادل‌های گرمایی است و نمی‌گوید در تک‌تک مراحل گرما وارد گاز شده است.

اگر سؤال گرمای هر چهار مرحله را بخواهد، باید ΔU هر مرحله یا اطلاعات کافی برای یافتن آن را نیز بدهد. نمودار P–V به‌تنهایی کار مسیر را تعیین می‌کند، اما برای یافتن Q هر مرحله به کمک قانون اول، ΔU همان مرحله هم لازم است.

جواب را با مساحت، علامت و پایستگی انرژی کنترل کن

کنترل هندسی: مساحت مستطیل داخل چرخه برابر اختلاف فشار ضربدر اختلاف حجم است: (300 − 100) kPa × (5 − 2) L = (200)(3) kPa·L = 600 J. جهت ساعت‌گرد علامت این مساحت را مثبت می‌کند؛ پس با جمع مرحله‌ها یکسان است.

کنترل مرتبه: کار انبساط ۹۰۰ ژول و قدرمطلق کار تراکم ۳۰۰ ژول است. چون هر دو تغییر حجم ۳ لیتر دارند اما فشار انبساط سه برابر است، خالص ۶۰۰ ژول باید بین صفر و ۹۰۰ ژول باشد؛ جواب همین شرط را دارد.

کنترل انرژی: در یک چرخه کامل، ΔU نمی‌تواند مقداری غیرصفر داشته باشد. بنابراین Q خالص و W خالص باید هم‌علامت و هم‌اندازه باشند. +۶۰۰ ژول برای هر دو، هم قانون اول و هم تفسیر چرخه ساعت‌گرد را تأیید می‌کند.

• W_cycle = +600 J از جمع چهار مسیر
• W_cycle = +600 J از مساحت محصور
• ΔU_cycle = 0 چون ابتدا و انتها یک حالت است
• Q_cycle = +600 J از قانون اول

خطاهای رایج چرخه P–V را پیش از پاسخ حذف کن

خطای رایج نخست این است که سطح هندسی زیر مسیر تراکم را مثبت وارد کنیم. اندازه سطح مثبت است، اما در D→A حجم کم می‌شود و ΔV منفی است؛ پس کار گاز −۳۰۰ ژول است. خطای دوم، گرفتن کار برای مسیر عمودی است: تغییر فشار به‌تنهایی کار P–V ایجاد نمی‌کند و وقتی ΔV = 0 باشد، W نیز صفر است.

خطای سوم، ضرب مستقیم kPa در m³ یا Pa در L بدون تبدیل است. یا هر دو کمیت را به SI ببر، یا جفت سازگار kPa و L را نگه دار. خطای چهارم نیز صفرگرفتن Q کل فقط به دلیل صفرشدن ΔU کل است؛ قانون اول می‌گوید در چرخه Q خالص برابر W خالص است، نه لزوماً صفر.

برای مرور قرارداد علامت و سطح زیر مسیر، راهنمای نمودار فشار–حجم و قانون اول ترمودینامیک را بخوان. مقاله فرایندهای هم‌دما، هم‌فشار، هم‌حجم و بی‌دررو تشخیص نوع هر مسیر را تکمیل می‌کند و راهنمای ماشین گرمایی نشان می‌دهد کار خالص چرخه چگونه با ورودی و خروجی گرما مرتبط می‌شود.

منابع علمی

• OpenStax Physics — First Law of Thermodynamics: Thermal Energy and Work
• OpenStax University Physics Volume 2 — Thermodynamic Processes
• OpenStax College Physics for AP Courses 2e — The First Law and Simple Processes